第15讲-导数中的隐零点问题(高阶拓展)(学生版).docx

第15讲 导数中的隐零点问题（高阶拓展）
（核心考点精讲精练）

1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2020年新I卷，第21题,12分
导数中的隐零点问题
不等式恒成立问题

2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数求解函数基本问题
2掌握函数零点存在性定理及其应用
3能设而不求进行隐零点的相关替换求值或范围
【命题预测】零点问题是高考的热点问题，隐零点的代换与估计问题是函数零点中常见的问题之一, 其源于含指对函数的方程无精确解, 这样 我们只能得到存在性之后去估计大致的范围，高考中曾多次考查隐零点代换与估计, 所以本节我们做一个专门的分析与讨论，方便学生高考综合复习

知识讲解
在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”．

1. 解题步骤
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程 , 并结合 的单调性得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到 的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程 适当变形, 整体代入 最值式子进行化简:
（1）要么消除 最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到 最值式的估计.

2. 隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能 很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应 用: 原理分析

所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.

考点一、隐零点综合问题

1．（2020·山东·统考高考真题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．

2．证明

3．求 的极值

4．已知函数 ，若, 求 的取值范围.

1．已知函数 ，当 且 时, 不等式 在 上恒成立, 求 的最大值.

2．已知函数 对任意的 恒成立, 其中实数 , 求 的取值范围.

3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数， 且.
(1)求a；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且.

4．（2023·全国·模拟预测）已知函数在处取得极小值．
(1)求实数的值；
(2)当时，证明：．

5．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)当时，证明：在，上各有一个零点，且这两个零点互为倒数．

【能力提升】
1．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知为函数的极值点．
(1)求；
(2)证明：当时，．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数，是的导函数．
(1)当时，求证：存在唯一的，使得；
(2)若存在实数a，b，使得恒成立，求的最小值．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上有两个极值点，，且．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，．
4．（2023春·福建厦门·高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知函数f(x)=-ln(x+m).
(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（2）当m≤2时，证明f(x)>0.
5．（2023春·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考开学考试）已知函数，求：
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，总有，求整数的最小值.
6．（2022秋·福建莆田·高二莆田一中校考期中）设函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）
7．（2021·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）已知函数，.
（1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数；
（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值.
8．（2021秋·四川成都·高三双流中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数在处的切线方程
(2)证明：在区间内存在唯一的零点；
(3)若对于任意的，都有，求整数的最大值．
9．（2022春·浙江舟山·高三浙江省普陀中学校考阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；
(3)若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．
10．（2021·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）已知函数在点处的切线过点．
(1)求实数的值，并求出函数单调区间；
(2)若整数使得在上恒成立，求的最大值．