一元二次方程(思维导图+资料).doc

1、 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
2、 经历探究将一般一元二次方程化成（形式的过程，进一步理解配方法的意义
3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程
难点：把一元二次方程转化为的（x＋m）2= n（n≥0）形式
二、知识准备
1、 请说出完全平方公式。
（a＋b）2 = （a-b）2 =
2、 用直接开平方法解下例方程：
（1） （2） （1） （2）

三、学习过程
问题1、请你思考方程与 有什么关系，如何解方程呢？

问题2、能否将方程转化为（的形式呢？

由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x＋m）2= n的形式（其中m、n都是常数），如果n≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
（1）－4x＋3＝0. （2）x2＋3x－1 = 0

四、知识梳理
问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？
问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

达标检测一
1、填空：
（1）x2+6x+ =(x+ )2；(2)x2-2x+ =(x- )2；
(3)x2-5x+ =(x- )2；(4)x2+x+ =(x+ )2；
(5)x2+px+ =(x+ )2；
2、将方程x2+2x-3=0化为(x+m)2=n的形式为 ；
3、用配方法解方程x2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。

1、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）
A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9
C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57
2、、已知方程x2-5x+q=0可以配方成(x- )2=的形式，则q的值为（ ）
A. B. C. D. -
3、、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q的值是（　）
A.9 B.7 C.2 D.-2
4、、用配方法解下列方程：
（1）x2-4x=5； （2）x2-100x-101=0；
（3）x2+8x+9=0； （4）y2+2y-4=0；

5、试用配方法证明：代数式x2+3x-的值不小于-。

1、用配方法解下列方程：
(1)x2-6x-16=0； (2)x2+3x-2=0；

2、请你思考方程x2-x+1=0与方程2x2-5x+2=0有什么关系？

三、学习内容
问题1、如何解方程2x2-5x+2=0？ 　　　　　　　-

四、知识梳理
问题1：对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要注意什么？
问题2、：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
系数化一，移项，配方，开方，解一元二次方程
1、填空：
(1)x2-x+ =(x- )2, (2)2x2-3x+ =2(x- )2.
2、用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0的步骤中第一步是 。
3、方程2(x+4)2-10=0的根是 .
4、用配方法解方程2x2-4x+3=0，配方正确的是（ ）
A.2x2-4x+4=3+4 B. 2x2-4x+4=-3+4
C.x2-2x+1=+1 D. x2-2x+1=-+1
5、用配方法解下列方程：
（1）； （2）

1、用配方法解下列方程，配方错误的是（ ）
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100　　B.t2-7t-4=0化为(t-)2=
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25　　　D.3x2-4x-2=0化为(x-)2=
2、a2+b2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )2
2、用配方法解下列方程：
(1)2x2+1=3x； (2)3y2-y-2=0；

3、试用配方法证明：2x2-x+3的值不小于. 4、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.
一、知识目标
1、 会用公式法解一元二次方程
2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0
3、在公式的推导过程中培养学生的符号感
重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程
难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误

二、知识准备
1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

2、 用配方法解下例方程
（1） （2）

三、学习内容
问题1：如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）？

回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：
因为，方程两边都除以，得
移项，得
配方，得 　　　　　　　　　　　　
即
问题2、为什么在得出求根公式时有限制条件b2－4ac≥0？
当，且时，大于等于零吗？
让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当时，因为，所以，从而
到此，你能得出什么结论？
让学生讨论、交流，从中得出结论，当时，一般形式的一元二次方程的根为，即。
由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式： （）
这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

例 6 解下列方程：
⑴ x2＋3x＋2 = 0 ⑵ 2 x2－7x = 4

四、知识梳理
引导学生总结：
1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？
2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。
3、若解一个一元二次方程时，b2－4ac＜0，请说明这个方程解的情况。

五、达标检测
达标检测一

1、把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为 ，b2-4ac= .
2、方程x2+x-1=0的根是 。
3、用公式法解方程x2+4x=2,其中求的b2-4ac的值是（ ）
A.16 B. 4 C. D.64
4、用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac= ，方程的根是 .。
5、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
A.x1.2= B. x1.2=
C. x1.2= D. x1.2=
达标检测二

1、把方程(2x-1)(x+3)=x2+1化为ax2 + bx + c = 0的形式，b2-4ac= ，方程的根是 .
2、方程的解为 ．
3、方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ）
A. x1=1,x2=3 B.x=22 C.x=2 D.x=-22
4、已知y=x2-2x-3，当x= 时，y的值是-3
5、用公式法解下列方程：
（1）x2-2x-8=0； （2）x2+2x-4=0；

（3）2x2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0.

4、 已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程的一个根，求这个三角形的周长。

一、学习目标
1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用
2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况
3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程
重点：一元二次方程根与系数的关系
难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值

一、 知识准备
1、 一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）当时，X1,2 =
2、 解下例方程：
（1）x2 -4x+4=0 （2）2x2 -3x -4=0 (3) x2+3x+5=0

三、学习内容
1、情境创设
1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3
2、探索活动
1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
例 解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－2x＋3 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0

分析：本题三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出b2－4ac的值可以发现它的符号决定着方程的解。

3、 你能得出什么结论？
由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：
当b2－4ac＞0时，方程有
当b2－4ac = 0时，方程有
当b2－4ac ＜ 0时，方程
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式。
4、若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到的值的符号呢？
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac
当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac
当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac
例题教学
不解方程，判断下列方程根的情况：
1、； 2、；
3、

四、知识梳理
请同学们议一议一元二次方程根与系数的关系

五、达标检测
达标检测一

1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .
2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（ ）
A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能确定
3下列方程中，没有实数根的方程式（ ）
A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0
4、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ）
A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0
C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0
5、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .

达标检测二

1、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.不能确定
2、关于x的一元二次方程 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3、关于x的方程x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k( )
A.k＞-1 B.k≥-1 C.k＞1 D.k≥0
4、已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= .
5、若方程有实数根，则的范围是_____________________。
6、若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则___________。
7、不解方程，判断下列方程根的情况：
（1） 3x2－x＋1 = 3x （2）5（x2＋1）= 7x （3）3x2－4x =－4

8、当k为何值时，关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根？