2017二次函数中的面积问题.doc

二次函数——面积问题
〖知识要点〗
一．求面积常用方法：
1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）
2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方
3. 利用同底或同高三角形面积的关系
4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）
二． 常见图形及公式

抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0)
抛物线与x轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=
抛物线顶点坐标（-, ）
抛物线与y轴交点（0，c）
“歪歪三角形中间砍一刀” ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
D
B
A
O
y
x
P
C
B
A
O
y
x

B
C
铅垂高
水平宽
h
a
图1

〖基础习题〗
1、若抛物线y=-x2–x+6与x轴交于A、B两点，则AB= ，此抛物线与y轴交于点C，则C点的坐标为 ，△ABC的面积为 .
2、若抛物线y=x2 + 4x的顶点是P，与X轴的两个交点是C、D两点，则△PCD的面积是_____________.
3、已知抛物线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则= ，= ．
〖典型例题〗
l 面积最大问题
1、二次函数的图像与轴交于点A（-1,0）、B（3 ，0），与轴交于点C，∠ACB=90°.
（1）求二次函数的解析式；
（2）P为抛物线X轴上方一点，若使得△PAB面积最大，求P坐标
（3）P为抛物线X轴上方一点，若使得四边形PABC面积最大，求P坐标
(4) P为抛物线上一点，若使得，求P点坐标。

l 同高情况下，面积比=底边之比
2．已知：如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求B、C两点的坐标和抛物线的解析式；
（2）若点P在直线BC上，且，求点P的坐标．

3．已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

l 三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
4．阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）

（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
（3）在第一象限内抛物线上求一点P，使S△PAB=S△CAB．
法一：同底情况下，面积相等转化成平行线
法二：同底情况下，面积相等转化成铅垂高相等

变式一：如图2，点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

变式二：抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明

l 点动+面积
5．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

l 形动+面积
6．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？