八年级上教案《全等三角形辅助线作法》.doc

全等三角形常用辅助线作法
一、 倍长中线（或类中线）法：
若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，
构造全等三角形。
1、基本模型：

（1）

△ABC中AD是BC边中线

方式1： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE

方式2：间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE

方式3： 延长MD到N，使DN=MD，连接CD

经典例题
例1、（核心母题） 已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

变式练习
1、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。

2、 已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE。

3、 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。

4、 已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.
求证：AE平分。

二、截长补短法
截长补短法：若遇到证明线段的和、差、倍、分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。
①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

例1、（核心母题）如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，
求证：AB=AD+BC．

例2、已知：如图，是等边三角形，， 求证：.
A
B
C
D

例3、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC
于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

变式练习
1、已知四边形中，，°，为四边形的对角线上一点，且，求证：

A
B
C
D
E
O
2、如图，在中，，AD，CE分别为的平分线，求证：AC=AE+CD

3、如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°
求证：BD+DC=AB

4、已知：如图在△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，∠ABD=60°，∠ADB=90°－∠BDC，求证：AB=BD＋DC。

三、角平分线、中垂线法
角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。

例1、（核心母题）
在中，，是的平分线．是上任意一点．
求证：．

例2、如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，
过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．
求证：BF=CG．

例3、已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．

变式练习
1、 如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由．

2、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E、AD⊥BE于D，求证：
（1）AC-BE=AE；
（2）AC=2BD．

3、如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交 于点，若，求证：为的角平分线．

四、 角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法
角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。
例1、（核心母题） 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，
求证：EF=BE+DF.

例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，
（1） 求证：EF=BE+FD
（2） 如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。

例3、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°
求证：AD平分∠CDE.

变式练习
1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAQ=45°，AH⊥EF，求证：AH=AB.

2、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，
求证：①.∠MAN=②.③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.

3、如图，在四边形ABCD中，AB=BC,∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、N分别是AB、BC上的点，若△BKN的周长是AB的2倍，求∠KDN的度数？

4、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积．