第三讲圆周角定理.doc

第三讲——圆周角定理及推论
一、 知识要点：
圆周角定理及其推论：（1）圆周角的度数等于它所对的弧所对的圆心角的一半；（2）半圆或直径所对的圆周角是直角；（3）90°的圆周角所对的弦是直径.（4）同(等)弧所对圆周角相等，同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.
二、例题讲解：
二、能力训练
例1.如图, AB是⊙O的直径, 弦CD⊥AB, P是弧CAD上一点(不与C、D重合) .
(1) 求证：∠CPD＝∠COB；
B
A
C
D
O
(2) 若点P在劣弦CD上(不与C、D重合), ∠CPD与∠COB的数量关系是否发生变化?若不变, 请画图并证明；若变化, 请写出新的关系式并画图证明.
B
A
C
D
O
P

例2.如图，△ABC内接于⊙O，两条高线AD、BE交于H点，Q为弧BC上的一个动点，当Q在上运动时，请问：∠BHC与∠BQC是否总存在某种确定的大小关系？证明你的结论.

例3.如图, ⊙O的内接△ABC的外角∠ACB的平分线交⊙O于E, EF⊥BD于F.(1) 探索EO与AB的位置关系, 并予以证明；
A
B
C
D
E
F
O

A
B
C
D
E
F
O
(2) 当△ABC的形状发生改变时, 的值是否发生改变?若不变, 请求出该值；若改变, 请求出其变化范围.

例4.如图，已知AB是⊙O的直径，D是弧AB上一点，C是弧AD的中点，AD、BC相交于E，CF⊥AB，F为垂足，CF交AD于G，
⑴求证：CG=EG. ⑵若CG=2，GF=1，求AB的长.

例5.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中上一点，延长DA至点E，使CE=CD.
⑴求证：AE=BD；

⑵若AC⊥BC，求证：AD+BD=CD．

三、课堂练习及作业：
1.如图，△ABC内接于⊙O，∠C=30°，AB=2，求⊙O的半径.

2.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠BAC=20°，AD=CD.求∠DAC的度数.

3.如图，已知直径BA与弦DC的延长线交于点P，且PC=CO，弧CD等于弧AC加弧DB，求∠DOB的度数.

4.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D.求证：∠BAD＝∠CAO.

5.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F.
求证：BE＝CF.

6.如图，AB为⊙O的直径，D、E分别为弦AC、半径OA的中点，DE＝，AC＝5，求BC的长.

7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， E是上一点，AE、DC的延长线相交于点F.
求证：∠AED =∠CEF.

8.如图，P是等边三角形ABC的外接圆上任意一点，求证： PA =PB+PC.

9.如图，△ABC中，AB＞AC,∠A的平分线交△ABC的外接圆于D,DE⊥AB于E,
(1)求证:AB-AC=2BE;

(2)若BC为直径，AB=8,AC=6,求AD的长.

10.⊙O是△ABC的外接圆，AD、BE是两条高，BE交AD、⊙O分别于H、F,
(1)求证：∠OAB=∠CAD;

(2)求证：EH=EF;

(3)若∠BAC=60°，OA=5,求AH的长.

4
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