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用量子力学计算氢原子

用量子力学计算氢原子
摘 要：氢原子是最简单的原子，在量子力学建立过程中有着特殊 地位，有必要对其进行详细的求解。该论文用量子力学理论，通过求 解氢原子在库伦势场中的定态薛定谔方程，得到氢原子的能量及能量 本征函数。
关键词：量子力学 氢原子 能量 本征函数
从 17 世纪牛顿力学出现以后，直到 19 世纪，电动力学，热力学 和统计力学也陆续被建立，从而形成了一个完整的经典物理学体系。
可是，在解决黑体辐射、光电效应等实验时，经典物理学遇到了空前 的挑战，需建立全新的理论来解决面临的困难。 1900 年，普朗克假说 在黑体辐射上有新的突破， 1905 年，爱因斯坦用量子化解释了光电效 应， 1913 年，玻尔建立“玻尔理论”。但玻尔理论具有一定的局限性， 十年之后，量子力学体系逐步建立起来，才完全解释了原子问题。而 氢原子是最简单的原子。因此，有必要用量子力学的方法对其进行严 格的求解。
1 理论计算
氢原子是最简单的原子，它是由一个电荷为的原子核与一个电荷 为的电子构成的。如果取无穷远为势能的零点，则质子与电子的库仑 势能为 V(r)=。则根据定态薛定谔方程可求出氢原子的能量及能量本征 函。在以下的计算中，采用自然单位。为方便，给出氢原子的自然单 位：长度的自然单位：，能量的自然单位：。氢原子的约化质量为， 质子与电子的.库仑势能为 V(r)=。考虑到 V(r)的球对称性，我们采用球 极坐标系。而因为 []=0 ，所以角动量是守恒的，在球极坐标系下，薛 定谔方程可表示为：
[]=E (1)
由于的各分量是守恒的，而各分量不对易，则根据简并定理可知 能级有简并。是守恒量，且与的每一个分量都对易，因此体系的守恒 量完全集可以方便的选为() ，方程(1)的解同时选为的本征态，即：

…… (2)
代入式(1) ，可得出径向波函数满足方程：
=0 (3)
和满足方程：而为的本征值，待定。
对于式(3) ，若令，则在自然单位下满足：
(4)
r=0 ，是微分方程的两个奇点。
当时，按照波函数的统计诠释，在任何体积元中找到粒子的概率 都应为有限值。因此，求解径向方程 (3)时，只有渐进行为是∝的解才 是物理上可接受的解。
当 r 时，我们只限于讨论束缚态(E ﹤ 0) ，则方程(4)可化为：
(5)
该方程属合流超几何方程。方程 (5)在邻域有界的解为合流超几何 函数： (6)
当时，无穷级数解~不满足在无穷远处的束缚态边条件。为了得 到物理上允许的解，只要等于 0 或负整数，可以满足这一条件。按式 (6)并将其添上能量的自然单位，得出氢原子的能量本征值：(…)，其 中：。与相应的径向波函数可表示为：~其中(添上长度的自然单位)， 归一化的径向函数为：，
(7)
对于式(4) ，在球坐标系下，可表示成：
(8)
将式(7)，(8)代入方程(4) ，并成为勒让德方程得：
(9)
在-1≤≤1 的区域内，有两个正则奇点，其余各点均为常数。由此 可知，只当(…)时，方程就有一个多项式解，即勒让德多项式：(≤m≤)， 它在-1≤≤1 区域中是有界的，利用正交归一性公式，可以定义一个归 一化的部分的波函数(实)：()。满足。这样， (10)
由此可得，氢原子的束缚能量本征函数为：其中为式 (8) ，为式
(11)。

2 结语
本文运用量子理论，求解了氢原子在库伦势场中的定态薛定谔方 程，得到了氢原子的能量及能量本征函数：
(1)氢原子的能量为：，其中：…(主量子数 );(2)能量本征函数为， 其中：，。
参考文献
[1] 曾谨言.量子力学导论[M].北京：北京大学出版社， 1998.
[2] 周世勋.量子力学教程[M].北京：高等教育出版社， 1979.
[3] 李钰.一维、二维、三维氢原子能级和电子分布概率 [J].广西物 理， 1998(19).
[4] 张爱军，耿延珍，吕正山 .对氢原子光谱线的讨论 [J].大学物理 实验， 1999(12).
[5] 罗任远 .如何理解量子力学中氢原子的能级 [J].赣南师范学院学 报， 1999(6).