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概率复习概率复习一一.一维随机变量一维随机变量:离散型离散型随机变量随机变量:随机变量随机变量X,取值只有有限个或可数个取值只有有限个或可数个.离散型随机变量离散型随机变量分布列分布列:X取值为取值为 x1,x2,且且 称为称为随机变量随机变量X X的的分布列分布列.满足满足:结束结束 1随随机机变变量量:取取值值由由随随机机试试验验的的结结果果决决定定的的变变量量,分分为为连连续续型型和和离离散散型型两两大大类类.由由多多个个随随机机变变量量组组成成的的向向量量称称为为随随机机向向量量或或多多元随机变量元随机变量.分布列常用一维表格表示分布列常用一维表格表示:Xx1x2xkPp1p2pk称称X X为为连续型连续型随机变量随机变量,f(x)为为X的的分布密度分布密度或或密度函数密度函数.它有它有:结束结束 2知道了知道了密度函数密度函数f(x),就可以解决任何事件的概率计算就可以解决任何事件的概率计算:一元随机变量的一元随机变量的分布函数分布函数F(x)=P(X x)连续型连续型随机变量随机变量:存在非负可积的函数存在非负可积的函数 f(x),对任意实数对任意实数 x,有有F(x)有有如下性质如下性质:对连续型随机变量对连续型随机变量X,X,若其密度函数为若其密度函数为 f(x),则则:结束结束 3例例:7:7件产品件产品4 4件一等品件一等品,3,3 件二等品件二等品,从中任取从中任取 3 3 件件,求求1)1)含有一等品件数含有一等品件数 X X 的分布列的分布列;2)X 2)X 的分布函数的分布函数;3)3)至少含有至少含有 1 1 件一等品的概率件一等品的概率.1)X可能的取值是可能的取值是 0,1,2,3;X0123P1/3512/3518/354/35X的分布列的分布列:结束结束 42)按分布函数的定义按分布函数的定义:3)结束结束 5二二.常用分布常用分布1.1.0-10-1分分布布:X B(1,p),属属离离散散型型,描描述述只只有有两两个个状状态态的的随随机机实实验验.结束结束 6X01P1-p-qp2.2.二二项项分分布布:X B(n,p),属属离离散散型型,描描述述只只有有两两个个状状态态的的多多次次随随机实验机实验.也称为也称为n重贝努利分布重贝努利分布.n=1时时,就是就是0-1分布分布.X012nPCn0p0qnCn1p1qn-1Cn2p2qn-2Cnnpnq0结束结束 73.3.泊松分布泊松分布:X P(),属离散型属离散型,描述随机到达现象描述随机到达现象.X012nPe-0/0!e-1/1!e-2/2!e-n/n!4.4.均均匀匀分分布布:X U(a,b),属属连连续续型型.X在在a,b内内连连续续地地机机会会均均等等地取值地取值,其密度函数为其密度函数为:结束结束 8其分布函数为其分布函数为:5.5.指指数数分分布布:X E(),属属连连续续型型.常常用用于于描描述述人人或或物物的的寿寿命命问问题题,其密度函数为其密度函数为:6.6.正正态态分分布布:X N(a,2),属属连连续续型型.大大量量随随机机变变量量的的分分布布近近似似于于正态分布正态分布,是是最重要的分布最重要的分布之一之一,其密度函数为其密度函数为:N N(0,1)(0,1)称为标准正态分布称为标准正态分布,其密度函数为其密度函数为:结束结束 9标准正态分布的分布函数为标准正态分布的分布函数为:这个积分较难计算这个积分较难计算,可查书后的表可查书后的表1 1得到得到.1.1.数学期望数学期望:结束结束 10三三.随机变量的数字特征随机变量的数字特征X X是离散型是离散型:X X是连续型是连续型,其密度函数是其密度函数是 f(x):期望期望EXEX有如下性质有如下性质:2.2.方差方差:DX=E(X-EX)2结束结束 11X X是离散型是离散型:X X是连续型是连续型,其密度函数是其密度函数是 f(x):方方差差表表示示随随机机变变量量对对于于其其重重心心(期期望望)的的离离散散程程度度,它它的的计计算算一一般用如下公式般用如下公式:结束结束 12方差方差DX有如下性质有如下性质:四四.常用分布的数字特征常用分布的数字特征:结束结束 13二二.多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 n 维随机变量常记为维随机变量常记为:特别地特别地,2 维随机变量常记为维随机变量常记为:它们也分为连续型和离散型它们也分为连续型和离散型.1.以以 2 维离散随机变量维离散随机变量(X,Y)为例为例,它的联合分布列为它的联合分布列为:它也可表示为一个二维表它也可表示为一个二维表(矩阵矩阵)结束结束 14随机变量随机变量X 的分布列为的分布列为:随机变量随机变量Y 的分布列为的分布列为:称为称为(X,Y)的边缘分布列的边缘分布列,有有结束结束 15当然也有当然也有2.多多 维连续型随机变量维连续型随机变量 1)1)联合分布密度联合分布密度:对对 X 有非负可积函数有非负可积函数 和实数和实数称为随机变量称为随机变量X的联合分布密度的联合分布密度:对二对二 维连续型随机变量维连续型随机变量(X,Y),(X,Y),联合分布密度为联合分布密度为 f(x,y):):结束结束 162)2)边缘分布密度边缘分布密度:3.3.多维随机变量多维随机变量分布函数分布函数(以二维为例以二维为例)4.4.多维随机变量多维随机变量独立性独立性(以二维为例以二维为例)1)1)离散型离散型结束结束 172)2)连续型连续型称称 X,Y 相互独立相互独立三三.大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理独立同分布独立同分布,记记且已知且已知 则有则有大数定律大数定律:即即 依概率收敛到依概率收敛到 ,即即即不管即不管 Xi 服从什么分布服从什么分布,当当 n 相当大时相当大时,它们的均值接近于它们的均值接近于它们的数学期望它们的数学期望结束结束 18独立同分布独立同分布,记记则有则有中心极限定理中心极限定理:即即即不管即不管 Xi 服从什么分布服从什么分布,当当 n 相当大时相当大时,它们的均值它们的均值 近似地服从正态分布近似地服从正态分布.结束结束 19结束结束 205.5.协方差协方差,相关系数相关系数:协方差协方差,相关系数的性质相关系数的性质:结束结束 211)1)协方差矩阵协方差矩阵:定义定义B1:B1:协方差矩阵协方差矩阵结束结束 22结束结束 232)2)定义定义B2:B2:随机向量随机向量X X的相关系数矩阵的相关系数矩阵3)3)协方差矩阵和相关系数矩阵的性质协方差矩阵和相关系数矩阵的性质:结束结束 246.6.多元正态分布多元正态分布定义定义B3:B3:多元正态分布多元正态分布结束结束 25多元正态分布的性质多元正态分布的性质: