数列极限的几种求法.doc

数列极限的几种求法

一、定义法:
数列极限的定义如下:设{}是一个数列,若存在确定的数a,对>0 N>0使当n>N时,都有<则称数列{}收敛于a，记为=a，否则称数列{}不收敛（或称数列{}发散）。故可从最原始的定义出发计算数列极限。
例1、 用-N方法求
解：令 =t+1 则 t>0
n+1=

>0 取 则当时，有

=1
二、单调有界法：
首先我们介绍单调有界定理，其内容如下：
在实数系中，有界的单调数列必有极限。
证明：不妨设{}为有上界的递增数列。由确界原理，数列{}有上界，记为{}。以下证明a就是{}的极限。事实上，>0，按上确界的定义，存在数列{}中某一项，使得 又由{}的递增性，当时有
，
这就证得 。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。
例2、证明数列

收敛，并求其极限。
证：，易见数列{}是递增的。现用数学归纳法来证明{}有上界。
显然 。假设,则有，从而对一切n 有,即{}有上界。
由单调有界定理，数列{}有极限，记为a 。由于
，
对上式两边取极限得 ，即有
（a+1）（a-2）=0，解得 a=-1或a=2
由数列极限的保不等式性，a=-1是不可能的，故有

三、运用两边夹法：
迫敛法：（两边夹法）设收敛数列{}，都以a为极限，数列满足：存在正数当时有 （1） 则数列收敛且
证： 由 分别存在正数与使得
当时有 （2）
当时有 （3）
取 则当时不等式（1），（2），（3）同时成立即有

从而有
即证所得结果。
例3、求
解： （1）
=1
由（1）式及两边夹法则 =1 。
四、先求和再求极限：

例4、求极限
解:

五、先用放缩法再求极限：
例5、求极限
解：记
则

又
由两边夹法则 =
六、用施笃兹公式：
首先我们介绍并证明施笃兹公式：
施笃兹公式（stolz）：设数列{}单调递增趋向于， （1）（可以为无穷）则

例6、设
求：
解：由施笃兹公式