数列极限的几种求法.doc

数列极限的几种求法 一、定义法:数列极限的定义如下:设是一个数列,若存在确定的数a,对0 N0使当nN时,都有0n+1=0 取 则当时，有 =1二、单调有界法：首先我们介绍单调有界定理，其内容如下：在实数系中，有界的单调数列必有极限。证明：不妨设为有上界的递增数列。由确界原理，数列有上界，记为。以下证明a就是的极限。事实上，0，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得 又由的递增性，当时有 ，这就证得 。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。例2、证明数列收敛，并求其极限。证：，易见数列是递增的。现用数学归纳法来证明有上界。显然 。假设,则有，从而对一切n 有,即有上界。由单调有界定理，数列有极限，记为a 。由于 ，对上式两边取极限得 ，即有 （a+1）（a-2）=0，解得 a=-1或a=2由数列极限的保不等式性，a=-1是不可能的，故有 三、运用两边夹法：迫敛法：（两边夹法）设收敛数列，都以a为极限，数列满足：存在正数当时有 （1） 则数列收敛且证： 由 分别存在正数与使得 当时有 （2） 当时有 （3）取 则当时不等式（1），（2），（3）同时成立即有 从而有 即证所得结果。 例3、求解： （1）=1由（1）式及两边夹法则 =1 。四、先求和再求极限：例4、求极限解: 五、先用放缩法再求极限：例5、求极限 解：记 则又由两边夹法则 =六、用施笃兹公式：首先我们介绍并证明施笃兹公式：施笃兹公式（stolz）：设数列单调递增趋向于， （1）（可以为无穷）则例6、设 求： 解：由施笃兹公式