35曲线的凹向及函数图形描绘.pptx

3.5 曲线的凹凸性与函数的图形的描绘一、曲线凹凸性与拐点一、曲线凹凸性与拐点二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘返返 回回一、曲线的凹凸性与拐点 凡呈凸形的弧段其切线总位于曲线的上方凡呈凸形的弧段其切线总位于曲线的上方,凡呈凡呈凹形的弧段凹形的弧段,其切线总位于曲线的下方其切线总位于曲线的下方.返返 回回定义定义1若曲线若曲线在某区间内位于其切线的在某区间内位于其切线的则称该曲线在此区间内是凹的则称该曲线在此区间内是凹的,此区间为凹区间此区间为凹区间.反之反之,若曲线位于其切线的下方若曲线位于其切线的下方,则称曲线在此区间是则称曲线在此区间是凸的凸的,此区间称为凸区间此区间称为凸区间.上方上方,返返 回回定理定理1 1返返 回回证证返返 回回因此因此返返 回回返返 回回例例1 1解解注意到注意到,定义定义2设函数设函数在某区间内连续在某区间内连续,则曲线则曲线在该区间内的凹凸分界点在该区间内的凹凸分界点,叫做该曲线的拐点叫做该曲线的拐点.定理定理2（拐点的必要条件）（拐点的必要条件）注意：注意：定理定理3返返 回回例例1间与拐点间与拐点.解解间间.返返 回回返返 回回例例2 2解解返返 回回注意注意:例例3 3解解返返 回回二、函数图形的描绘定义定义1.曲线的水平渐近线和垂直渐近线曲线的水平渐近线和垂直渐近线返返 回回1 1）.垂直渐近线垂直渐近线返返 回回返返 回回2 2）.水平渐近线水平渐近线所以所以返返 回回返返 回回2.函数图形的描绘函数图形的描绘描绘函数的图形其一般步骤为：描绘函数的图形其一般步骤为：（1）确定函数的定义域，并讨论其对称性和周期性；）确定函数的定义域，并讨论其对称性和周期性；（2）讨论函数的单调性，极值点和极值；）讨论函数的单调性，极值点和极值；（3）函数图形的凹凸区间和拐点；）函数图形的凹凸区间和拐点；（4）讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线；）讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线；（5）根据需要补充函数图形上的若干点（如与坐标轴）根据需要补充函数图形上的若干点（如与坐标轴的交点等等）；的交点等等）；（6）描图）描图.返返 回回例例4返返 回回解：将上述讨论列为下表将上述讨论列为下表返返 回回返返 回回例例5 5解解求该函数的一阶导数和二阶导数，得求该函数的一阶导数和二阶导数，得返返 回回返返 回回 根据以上结论，即可描绘出所给函数的图形根据以上结论，即可描绘出所给函数的图形.返返 回回1例例6 6解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.返返 回回列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点返返 回回作图作图返返 回回例例解解求该函数的一阶导数和二阶导数，得求该函数的一阶导数和二阶导数，得返返 回回将上述情况归结为下表：将上述情况归结为下表：因为因为返返 回回返返 回回