案例分析优化与统计实例.doc

案例分析1 线性优化
广州某财务分析公司是为许多客户管理股票资产组合的投资公司。一名新客户要求该公司处理80000元的投资组合。作为个人投资战略，该客户希望限制他的资产组合在下面两个股票的混合中：
股票
每股价格（元）
每股最大预期年收益（元）
可能的投资（元）
西北石油
50
6
50000
西南石油
30
4
45000
决策变量，目标函数，约束条件。

设x=西北石油的股份数；y=西南石油的股份数。
a假设客户希望最大化总的年收益，则目标函数是什么？
b写出在下面3个条件下的每一个的数学表达式：
(1)总的投资基金是80000元。
(2)对西北石油的最大投资是50000元。
(3)对西南石油的最大投资是45000元。
A目标函数：

案例分析2：线性优化
某投资公司的财务顾问得知有两家公司很可能有并购计划。西部电缆公司是制造建筑光缆方面的优秀公司，而康木交换公司是一家数字交换系统方面的新公司。西部电缆公司股票的现在每股交易价是40元，而康木交换公司的每股交易价是25元。如果并购发生了，财务顾问预测西部电缆公司每股价格将上涨到55元，康木交换公司每股价格将上涨到43元。财务顾问确认投资康木交换公司的风险比较高。假设投资在这两种股票上的资金的最大值50000元，财务顾问希望至少在西部电缆公司上投资15000元，至少在康木交换公司投资10000元。有因为康木交换公司的风险比较高，所有财务顾问建议对康木交换公司的最大投资不能超过25000元。
A建立线性规划模型，决定对西部电缆公司和康木交换公司应该各投资多少才能使总投资回报最大？
B画出可行域。
C确定每个极点的坐标。
D找出最优解。

设x=西部电缆公司的比例；y=康木交换公司的比例

(375,400)；（1000,400）；（625,1000）；（375,1000）
X=625;y=1000,总回报=27375

案例分析3：线性优化
广州某创业投资基金公司为计算机软件和互联网的应用发展提供创业基金。目前该基金公司有两个投资机会：一个是需要资金去开发互联网安全软件的公司；另一个是需要资金去开发对顾客满意度进行调查的应用软件的公司，开发安全软件的公司要求该基金运作公司必须在接下来3年给其第1年提供600000元，第2年提供600000元，第3年提供250000元。开发调查应用软件的公司要求基金公司在接下来3年给其第1年提供500000元，第2年提供350000元，第3年提供400000元。该基金公司认为这两项投资都是值得尝试的。但是，由于其他的投资，公司只能在第1年共800000元，第2年投资700000元，第3年投资500000元。
该基金运作公司的金融分析小组对这两项计划进行了调查，建议公司的目标应该是追求总投资利润现值最大化。净现值应考虑到3年后两家公司的股票价值和3年内的资金流出量。按8%的回报率计算，该基金公司的金融分析小组估计，如果对开发安全软件的公司进行100%的投资，净现值应该是1800000元；对开发调查软件的公司进行100%的投资，净现值应该是1600000元。
该基金公司对安全公司和市场调查的公司投入任何比例的资金。比如，如果基金公司对安全公司投资40%的资金，那么第1年就需要0.40*600000=240000元，第2年需要0.40*600000=240000元，第1年需要0.40*250000=100000元，，在这种情况下，净利润的值就是0.40*180000=720000元。对市场分析公司的投资计算方法相同。
管理报告
对基金公司的投资问题进行分析，准备一个报告展示你的建议和结论。包括如下内容
1这两种投资各应该占多大的比例？总投资的净现值是多少？
2接下来3年的为两个公司的资金分配计划是什么？基金公司每年投资的总额是多少？
3如果基金公司愿意在第1年追加100000元投资，会对投资计划产生什么影响？
4制定追加100000元投资以后的投资分配计划。
5你是否建议第1年再追回投资100000元。
在该报告的中应该包括线性规划和图形的解等。

设x=开发互联网安全软件的公司的比例；y=调查的应用软件的公司的比例

案例分析4：线性优化
广州某投资咨询公司，为大量的客户管理高达1.2亿元的资金。公司运用一个很有价值的模型，为每个客户安排投资量，分别投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金。为了保证客户投资的多元化，公司对这三种投资的数额加以限制。一般来说，投资在股票方面的资金应该占总投资的20%~40%，投资在收入基金方面的资金应该确保在20%~50%，货币市场方面的投资至少应该占30%。
此外，公司还尝试着引入了风险承受能力指数，以迎合不同投资者的需求。如该公司的一位新客户希望投资800000元。对其风险承受能力进行评估得出其风险指数为0.05。公司的风险分析人员计算出，股票市场的风险指数是0.10，收入基金的风险指数是0.07，货币市场的风险指数是0.01，整个投资的风险指数是各项投资占投资的百分率与其风险指数乘积的代数和。
此外该公司预测股票基金的年收益是18%，收入基金的收益率是12.5%，货币市场基金的收益率是7.5%。现在基于以上信息，公司应该如何安排这位客户的投资呢？建立线性规划模型，求出使总收益最大的解，并根据模型写出管理报告。
1如何将800000元投资于这三种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？
2假设客户的风险承受指数提高到0.055，那么投资计划更改后，收益将增加多少？
3假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05，而股票成长基金的年收益率从16%下降到14%，那么新的最佳投资方案是什么？
4假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？
5当遇到预期收益率变化时，你所建立的线性规模模型应该可以对客户的投资方案做出修改，那么这个模型的适用范围是什么？

设投资于三种基金的数额分别是，则投资的年收益是：
1

2

3

4
，

5对1部分的模型：

由管理科学家软件可得出a,b,c的范围。

案例分析5：线性优化
国家保险联合会对股票证券领域进行投资。现有一笔200000元的资金需要将其投资于股票市场。拟投资的股票以及相应的财务数据如下：

股票
A
B
C
D
每股价格（元）
100
50
80
40
年收益率
0.12
0.08
0.06
0.10
单元元投资风险指数
0.10
0.07
0.05
0.08
风险指数是衡量股票你年预期年收益的相对不确定性的，数值越高，风险越大。风险指数是由公司的高级财务顾问制定的。国家保险联合会的高级管理层制定了以下的投资方针：总的年收益率至少为9%，任何一种股票投入资金量都不可以超过总资金量的50%。
A建立一个线性规划模型来确定风险最小的投资组合
B如果公司忽略风险，以最大年收益率作为投资目标，那么应如何投资？
C上述两部分的投资组合在投资金额上相差多少元，为什么公司可能会更偏好（A）的选择?
设投资于四种股票的数额分别是
A

B

C由上述两部分得出。

案例分析6：线性优化
海滨财务服务公司的一名投资顾问想要开发一个用于分配投资资金的模型。公司有以下4种投资选择股票、债券、共同基金和现金。该公司预估了在下一个投资期里以上4种投资的年收益率和相应的风险如下表所示。
投资
年收益率%
风险
股票
10
0.8
债券
3
0.2
基金
4
0.3
现金
1
0.0
风险是用介于0~1之间的一个指数来衡量的，更高的风险值意味着更大的波动性和不确定性由于现金是一种货币市场资金，它的年收益较低，但同时它是无风险的。我们的目的是确定投资组合中每种选择的资金比例，以使总投资组合的年回报最大化（针对客户所能承受的各个风险水平）。
总风险是所有投资选择的风险之和。比如，一个客户将40%资金投资于股票，30%投资于债券，20%投资于基金，10%投资于现金，那么他的总风险是：0.4*0.8+0.3*0.2++0.2*0.3+0.1*0=0.44.有一名投资顾问将会与每名投资者商讨其投资目标并决定一个最大风险值。对于一个谨慎的投资者，最大风险值不超过0.3；对于一个中度冒险的投资者，最大风险值介于0.3~0.5之间；对于一个偏爱风险的投资者，最大风险值介于0.5以上。
此外，对于所有的投资客户，海滨财务公司还制定了特别的方针，这些方针如下所示。
1对股票的投资不超过总资金的75%。
2对基金的投资不少于对债券的投资。
3对现金的投资介于总资金的10%~30%。
A假定某客户的最大风险是0.4，那么最优投资组合是什么？它的年收益率和总风险分别是多少？
B假定某一个比较谨慎的客户的最大风险值是0.18，那么最优投资组合是什么？它的年收益率和总风险分别是多少？
C假定某一个比较好冒险的客户的最大风险值是0.7，那么最优投资组合是什么？它的年收益率和总风险分别是多少？
D参照C的结果，该客户是否有兴趣让投资顾问增加对股票允许投资的最大比例或是减少对现金数量至少为10%比例的约束，请加以解释。
E相对于直接用投资资金的数量，即金额来表示决策变量，我们前面用投资比例来表示决策变量有什么优势？
决策变量：设投资于四种股票的比例分别是。
A

B

C

D

或

E模型简单明了。

案例分析7：线性优化
假设你是某基金管理公司的经理，基金现有100,000美元现金，根据基金顾问的建议，共有5个投资机会如下：

投资机会
预期收益率(%)
A
东海石油
7.3
B
南海石油
10.3
C
西北钢铁
6.4
D
东南钢铁
7.5
E
政府债券
4.5
基于以前的教训，持有人大会通过了决议，确立了投资方针如下：

投资限制
1
在任何行业（石油或钢铁）的投资不多于50,000美元
2
对政府债券的投资至少相当于对钢铁行业投资的25％
3
对南海石油这样高风险的投资项目，投资额不得多于投资石油行业总额的60％
请计算最优的投资组合？
设A,B,C,D,E分别表示投资于四个证券的资金数。则

案例分析8 线性优化
风险厌恶的投资者的投资组合模型设计

资产分配是关于决定如何分配投资资金到多种资产种类的过程，如股票、债券基金、房产和现金等。投资组合模型用来确定应该在每种资产种类上分配的投资资金的比例。目标是建立一个在风险和回报间提供最佳平衡的投资组合。我们现在将建立一个优化模型来确定一个包含混合的共同基金的最佳投资组合。一个模型是为风险厌恶的投资者设计，另一个模型是为风险偏好的投资这设计的。
广州某投资服务公司愿意建立一个投资组合模型，能用于确定一个混合6中共同基金的最佳投资组合。可以用多种方法代表风险，但是对金融资产的投资组合，所有方法都与回报的变化性相关。下表显示6种基金的5个一年期的年回报率%。第1年表示所有基金的年回报都是好的，第2年内大部分基金的年回报也是好的，但是第3年小市值价值基金的年回报不好，第4年的中期债券基金的年回报不好，第5年6个基金中有4个的年回报不好。
表1 5个选定的基金绩效（用于做接下来的12个月的计划）

年回报率%
基金名称
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
外国股票
10.06
13.12
13.47
45.42
-21.93
中期债券
17.64
3.25
7.51
-1.33
7.36
大市值成长
32.41
18.71
33.28
41.46
-23.26
大市值价值
32.36
20.61
12.93
7.06
-5.37
小市值成长
33.44
19.40
3.85
58.68
-9.02
小市值价值
24.56
25.32
-6.70
5.43
17.31
精确预测任一基金在接下来12个月的回报是不可能的，但该公司的投资组合管理者认为上表的这5种回报可用于代表下一年投资回报的可能性。出于为他们的客户建立投资组合的目的，该公司的投资组合管理者将选择这6种基金的一个投资组合，并假定这5个可能方案中有一个能描述接下来12个月的回报。
该公司的投资组合管理者被要求为公司的保守客户建立一个投资组合。这类客户对风险有很强的规避意识。经理的任务是决定投资在这6种基金上个各个比例，以使投资组合能以最小的风险提供最大可能的回报。
在投资组合模型中，风险可通过多样化达到最小化。为了说明多样化的价值，我们 假定把所有投资都放在这6种基金的一种上。则每种基金都有可能损失，如外国股票损失21.93%。中期债券损失1.33%等等。
现在我们看一下如何构建这些基金的一个多样化投资组合，以最小化损失的风险。
为了确定投资于每种基金的投资比例，我们使用如下变量：
A=投资于外国股票基金的投资比例
B=投资于中期国债基金的投资比例
C=投资于大市值成长基金的投资比例
D=投资于大市值价值基金的投资比例
E=投资于小市值成基金的投资比例
F=投资于小市值价值基金的投资比例
则
投资组合在未来12个月的回报依赖于上表所有的可能方案（）第1年到第5年）中哪一个会发生。用R1代表如果第1年代表的方案发生时投资组合的回报，用R2代表如果第2年代表的方案发生时投资组合的回报，以此类推。5个计划方案的投资组合回报如下所示：
方案1的回报：

方案2的回报：

方案3的回报：

方案4的回报：

方案5的回报：

现在我们引入变量M代表投资组合的最低回报。为了保证每种方案下的回报都至少与最低回报M一样大，我们添加如下的约束条件：
方案1的最低回报
方案2的最低回报
方案3的最低回报
方案4的最低回报
方案5的最低回报
代入前面的等的值，可得：

为了建立一个能以最小风险提供最大可能回报的投资组合，我们需要最大化投资组合的最低回报。因此，目标函数很简单，如下：

该模型被设计为最大化所有考虑方案的最低回报，所以称为最大最小模型。完整的模型如下：

s.t.

案例分析9：线性优化
风险偏好的投资者的投资组合模型设计
广州某投资服务公司的投资组合经理愿意为这样一类客户建立一个投资组合，这类客户为了试图获得更好的回报而愿意接受中等程度的风险。假定这种风险分类的客户愿意接受一些风险，但是不愿意投资组合的年回报低于2%。通过设定最大最小模型中的最低回报约束条件M=2，我们能约束模型来提供一个年回报最少2%的解。提供年回报最少2%的最低回报约束条件，如下所示：
方案1的最低回报
方案2的最低回报
方案3的最低回报
方案4的最低回报
方案5的最低回报
代入前面的等表达式，有下面5个最低回报约束条件：

例外每个基金的比例之和为1，即：

这个投资组合最优化问题需要一个不同的目标。一个普遍方法是最大化投资组合的回报预期值。例如，如果我们假定计划方案等可能性发生，我们为每个方案分配一个0.20的概率在这种情况下目标函数是：
回报的预期值=
目标函数中A的系数由下式决定：
=12.03
B的系数是6.89，C的系数是20.52，D的系数是13.52，E的系数是21.27，F的系数是13.18。因此目标函数是：

因为目标是最大化回报的预期值，我们写出该公司的目标如下：

这个投资组合最优化问题完整的线性优化表达式包括六个变量和六个约束条件。

s.t.

最优解使用Excel规划求解软件或管理科学家软件略。

案例分析10 整数线性优化
下面通过一个实例来讨论0-1整数规划在项目投资预算中的应用。
例：某通讯公司投资决策问题
某通讯公司在制定今后四年的发展计划中，面临着若干个发展项目的选择。这些项目是：引进新设备、研制新产品、培训人才和增加广告数量。这四个项目在今后四年内的年投资额和预计在四年内可获得的利润如表4-1所示。
表4-1 公司发展项目投资、利润与预算表
项目
引进新设备
研制新产品
培训人才
增加广告数量
资金预算
第一年投资（净现值）
25
20
10
8
60
第二年投资（净现值）
0
15
10
8
50
第三年投资（净现值）
20
20
10
8
50
第四年投资（净现值）
0
10
10
8
35
利润
40
80
40
20

该公司每年可为这些发展项目提供的资金预算如表4-1所示。该公司应当如何投资，可在预算允许的情况下获得最大利润？
解：根据题意，本问题要求在现有的四个发展项目中选择出在不超出资金预算条件下使得总利润最大的那些投资项目进行投资，这就是说，决策变量是对各个项目应当“投资”或“不投资”。这种逻辑关系可以用0-1变量表示。设本问题的决策变量为X1，X2，X3，X4，它们均为0-1变量，分别表示对四个项目的“投资”或不“不投资”决策，即当变量为1时，表示投资，当变量为0时，表示不投资。
本问题的目标函数是总利润最大。已知四个项目的利润分别为40，80，40，20（万元），而总利润应等于各项目利润与其0-1决策变量的乘积之和。这是因为当某个项目未被选中时，它的决策变量为0，该项目的利润与决策变量的乘积也等于0，说明这时该项目对总利润没有贡献；而当某个项目被选中时，它的决策变量为1，该项目的利润与决策变量的乘积就等于其利润值，说明这时该项目对总利润的贡献等于该项目的利润值。所以总利润表达式为：40X1+80X2+40X3+20X4。
本问题的约束条件有两个。第一个约束是资金约束，即各年总投资额不得超过预算额，例如第一年的总投资额等于所选中项目的投资之和，即各项目在第一年的投资额与其0-1决策变量乘积之和，它等于25X1+20X2+10X3+8X4，该值应不大于第一年的资金预算（60万元）。同理可得第二年至第四年的资金约束。第二个约束是0-1约束，即决策变量只能取1或0。
由此得到整数规划模型如下：
o.b. max 40X1+80X2+40X3+20X4
s.t. 25X1+20X2+10X3+8X4≤60（第一年资金约束）
15X2+10X3+8X4≤50（第二年资金约束）
20X1+20X2+10X3+8X4≤50（第三年资金约束）
10X2+10X3+8X4≤35（第四年资金约束）
X1，X2，X3，X4为0或1（0-1整数规划）
上述问题的Spreadsheet如表4-2所示。
表4-2 运算结果

A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1
例 某通讯公司投资决策问题

2
数据

3

4

单元（元）

5

引进新设备
研制新产品
培训人才
增加广告
可供资金(净现值)

6
第一年投资 (净现值)
25
20
10
8
60

7
第二年投资 (净现值)
0
15
10
8
50

8
第三年投资 (净现值)
20
20
10
8
50

9
第四年投资 (净现值)
0
10
10
8
35

10
项目利润 (净现值)
40
80
40
20

11

12
模型

13

14
总利润净现值最大化
160

左边

右边
15

55
<=
60
16

25
<=
50
17

引进新设备
研制新产品
培训人才
增加广告

50
<=
50
18
投资决策
1
1
1
0

20
<=
35

其求解步骤如下。
第一步，输入已经数据
与解一般线性规划问题相同，首先在Excel的工作表上输入已经数据：在单元格C6:F9中输入四个项目在各年所需要的投资，在单元格G6:G9中分别输入各年可提供的资金，在单元格C10:F10中分别输入四个项目的利润。
第二步：建立0-1整数规划模型
在Spreadsheet上描述规划问题的决策变量、目标函数与约束条件。
本问题的决策变量是对四个项目“投资”或“不投资”决策，分别用单元格C18:F18中的0-1变量表示。
本问题的目标函数是总利润最大，用单元格D14表示总利润，它应等于所选中项目的利润之和，即在单元格D14中输入下述公式：
=sumproduct(C10:F10,C18:F18)
本问题共有两个约束条件。第一个约束条件是资金约束，即各年投资额不得超过预算额。第一年资金约束条件的左边是第一年投资额。用单元格H15表示第一年的投资额，它应等于每个项目在第一年所需投资与其0-1决策变量乘积之和，即在单元格H15中输入下述公式：
=sumproduct(C6:F6,$C$18:$F$18)
将上述公式复制到单元格H16:H18，得到第二年到第四年的投资额。
在约束条件右边输入可提供资金额。用单元格J15表示可提供资金额，并输入下述公式：
=G6
将上述公式复制到J16:J18，得到第二年到第四年的可提供金额。
第二个约束条件是决策变量必须为0-1变量。该约束条件在下一步规划求解时输入。
第三步：在Excel规划求解功能中输入0-1整数约束并求解。
在规划求解参数框中输入目标单元格（目标函数地址）、可变单元格（决策变量地址）和第一、第二个约束条件。其中第二个约束条件是0-1变量约束，只要在约束条件左边输入要求取0或1的决策变量的单元格地址（本题中为C18：F18），然后选择“bin”。其规划求解参数框如图4-1所示。

图4-1 项目投资决策问题规划求解参数对话框
然后在规划求解选项参数框中“采用线性模型”和“假定非负”，最后在规划求解参数对话框单击“求解”，得到本问题的最优解。
从表4-1可见，本问题的最优解为：X1=1，X2=1，X3=1，X4=0，最优值为160万元。这就是说，该公司的最优投资决策是：对“研制新设备”，“研制新产品”，“培训人才”三个项目投资，而对“增加广告数量”项目不投资，可获利润160万元。
上面的计算是很麻烦的，为了提高工作效率，减少出错，我们编制如下的VBA程序：

Sub js()
Cells(15, 8) = "=SUMPRODUCT(C6:F6,$C$18:$F$18)"
Cells(16, 8) = "=SUMPRODUCT(C7:F7,$C$18:$F$18)"
Cells(17, 8) = "=SUMPRODUCT(C8:F8,$C$18:$F$18)"
Cells(18, 8) = "=SUMPRODUCT(C9:F9,$C$18:$F$18)"
Cells(15, 10) = "=G6"
Cells(16, 10) = "=G7"
Cells(17, 10) = "=G8"
Cells(18, 10) = "=G9"
Cells(14, 4) = "=SUMPRODUCT(C10:F10,C18:F18)"
SolverReset
Call SolverOk("$D$14", 1, 0, "$C$18:$F$18")
Call SolverOptions(AssumeLinear:=True, AssumeNonNeg:=True)
Call SolverAdd("$H$15:$H$18", 1, "$J$15:$J$18")
Call SolverAdd("$C$18:$F$18", 5, "二进制")
SolverSolve (True)
End Sub

注意：在调用任何包含SolverOk（）、SolverAdd（）等函数的宏之前，必须先建立一个对规划求解的引用，保持Visual Basic模块在激活状态，点击工具菜单中的引用，然后浏览并找到Solver.xla（这个工具通常放在\Office\Library目录下）。

案例分析11：整数线性优化
大型公司每年都要面临着复杂的投资项目选择的问题，其中每一个备选项目净现值大于0，做为单一项目都可以上马。但在资本供应受到限制的情形下，不可能都上马。财务经理的任务是在限制的条件下，上马适当的项目以使总的净现值NPV最大化。
实际问题中，资本供应的限制可能不止一期，此外备选项目之间的技术或市场关系亦可能构成一些新的限制，如预备关系，多择一关系和互斥关系等等。项目选择问题可建立0-1规划数学模型，大型问题借助于计算机求解。
本章通过1个实例来讨论整数规划在项目投资选择中的应用。
例：某通讯公司投资决策问题
某公司是一家工业公司，2005年它有6个备选项目通过了单个项目评估，项目都是大型项目，投资分两期进行：0期（2005年）和1期（2006年），按照公司的长期财务计划，这两期的总投资限额分别为8亿5千元和6亿元，每个项目的净现值已估算完毕（折现率不尽相同），另外，由于技术工艺或市场原因，项目A、B和C为三择一项目，项目B为的D的预备项目，项目E和F为互斥项目，问该公司应如何选择以使投资总净现值最大化？有关数据列成下表4-3。
表4-3 某公司备选项目数据 单位：百万元
项目
投资额
净现值
0期
1期
A
100
100
150
B
180
50
100
C
200
150
260
D
150
180
200
E
160
120
130
F
500
100
280
资本限制
850
600

我们首先建立上述项目选择问题的数学模型：0-1规划模型。
项目A若被选择上马，令=1，否则=0，项目B，C，D，E，F类推。这样我们有6个决策变量，，，，，，每一个只取两个值0或1。这时总的上马项目净现值为：

=
该公司的目标是使最大化。
在限制方面，首先是资本供应限制，第0年为

第1年为

上两式左端和右端分别是第0期和第1期的资本需求量和供应量（即限制量）。
其次是技术和其他限制。由题设，A，B，C为三择一项目，即此三项目之中有一个且仅有一个被选中，于是
++=1
由于项目B为项目D的预备项目（或称紧前项目），也就是说若项目D上马的话，项目B必亦上马，故

或
-0
另外，项目E和F为互斥项目，即势不两立，故
+1
总结上述内容，该公司的项目选择问题化为典型的0-1规划：
max=
s.t.

-0
+1
++=1
，，，，，=0或1
上述问题的计算机求解方法求解结果如下表4-4所示。
表4-4 运算结果

A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
1

2
例 某公司投资决策问题

3
数据

4

单位：百万元

5

A
B
C
D
E
F
资本限制

6
第0期(净现值)
100
180
200
150
160
500
850

7
第1期(净现值)
100
50
150
180
120
100
600

8
净现值
150
100
260
200
130
280

9

10

11

12
模型

13

14

总利润净现值最大化
580

左边

右边
15

830
<=
850
16

330
<=
600
17

A
B
C
D
E
F
0
<=
0
18

投资决策
0
1
0
1
0
1
1
<=
1
19

1
=
1

其求解步骤如下。
第一步，输入已经数据
与解一般线性规划问题相同，首先在Excel的工作表上输入已经数据：在单元格C6:H7中输入6个项目在各年所需要的投资，在单元格I6:I7中分别输入各年可提供的资本，在单元格C8:H8中分别输入6个项目的净现值。
第二步：建立0-1整数规划模型
在Spreadsheet上描述规划问题的决策变量、目标函数与约束条件。
本问题的决策变量是对6个项目“投资”或“不投资”决策，分别用单元格C18:H18中的0-1变量表示。
本问题的目标函数是总的净现值最大，用单元格D14表示总的净现值，它应等于所选中项目的净现值之和，即在单元格D14中输入下述公式：
=SUMPRODUCT(C8:H8,C18:H18)
本问题共有6个约束条件。第一个约束条件是资本约束，即各年投资额不得超过资本限制。第0年资本约束条件的左边是第0年投资额。用单元格I15表示第0年的投资额，它应等于每个项目在第一年所需投资与其0-1决策变量乘积之和，即在单元格I15中输入下述公式：
=SUMPRODUCT(C6:H6,C18:H18)
在约束条件右边输入可提供资本额。用单元格K15表示可提供资本额，并在其中输入数据850。
用单元格I16表示第1年的投资额，在单元格I16中输入下述公式：
=SUMPRODUCT(C7:H7,C18:H18)
在约束条件右边输入可提供资本额。用单元格K16表示可提供资本额，并在其中输入数据600。
用单元格I16表示第1年的投资额，在单元格I16中输入下述公式：
=SUMPRODUCT(C7:H7,C18:H18)
在I17中输入=F18-D18。在单元格K17输入数据0。
在I18中输入=G18+H18。在单元格K18输入数据1。
在I19中输入=SUM(C18:E18)。在单元格K19输入数据1。
还有一个约束条件是决策变量必须为0-1变量。该约束条件在规划求解时输入。我们在Excel规划求解功能中输入0-1整数约束并求解。
在规划求解参数框中输入目标单元格（目标函数地址）、可变单元格（决策变量地址）和第一、第二个、第三、第四、第五个约束条件。其中第六个约束条件是0-1变量约束，只要在约束条件左边输入要求取0或1的决策变量的单元格地址（本题中为C18：F18），然后选择“bin”。其规划求解参数框如图4-2所示。

图4-2项目投资决策问题规划求解参数对话框
然后在规划求解选项参数框中“采用线性模型”和“假定非负”，最后在规划求解参数对话框单击“求解”，得到本问题的最优解。
从表4-4中可见，本问题的最优解为：=0，=1，=0，=1，=0，=1，即项目B，D，F上马为最优选择，这是三个项目的总净现值为580百万元，第0期占用资本850，第1期占用资本330，分别有20和270的剩余。
上面的计算是很麻烦的，为了提高工作效率，减少出错，我们编制如下程序：
Sub js()
Cells(15, 9) = "=SUMPRODUCT(C6:H6,C18:H18)"
Cells(16, 9) = "=SUMPRODUCT(C7:H7,C18:H18)"
Cells(17, 9) = "=F18-D18"
Cells(18, 9) = "=G18+H18"
Cells(19, 9) = "=SUM(C18:E18)"
Cells(15, 11) = 850
Cells(16, 11) = 600
Cells(17, 11) = 0
Cells(18, 11) = 1
Cells(19, 11) = 1
Cells(14, 4) = "=SUMPRODUCT(C8:H8,C18:H18)"
SolverReset
Call SolverOk("$D$14", 1, 0, "$C$18:$H$18")
Call SolverOptions(AssumeLinear:=True, AssumeNonNeg:=True)
Call SolverAdd("$I$15:$I$18", 1, "$K$15:$K$18")
Call SolverAdd("$I$19", 2, "$K$19")
Call SolverAdd("$C$18:$H$18", 5, "二进制")
SolverSolve (True)
End Sub
上述问题，假定公司对第0期和第1期的资本供应都是限制死了的，彼此不能窜换。如果公司灵活一点，说这两年额度都拨给你投资部门了，今年花不完的钱可以明年再花，那么第0年投资的余额
y=
可以存入银行，第1年变成
y(1+r)
其中r为年利率，则第1年资本供应为
600+ y(1+r)
这样，上述投资项目选择问题就化为0-1混合规划问题
max=
s.t.

-0
+1
++=1
，，，，，=0或1
，实数

如果公司进一步允许第0期可以借款，突破850的限制，但第1期必须平账，则上述模型中y可正、可负。

4.3.3项目投资决策选择问题总结

上面的例子我们给出了在财力受到限制时进行投资决策的几种方法。然而在完全的资本市场上，这种限制并不必然发生。在资本结构允许的情况下，多数公司在有合适的项目时，应该筹集到所需要的资本。
许多公司的资本限制是“软限额”，这并不是由于资本市场的不完善，而是基于公司的投资计划，进行财务控制的需要。
在公司内部，部门经理有时出于自己部门的需要而高估投资的机会，总部往往不细加考察，而是简单地给各个部门一个投资上限。这种方法的好处之一是可能避免有偏的现金流预测给公司带来损失，另一方面，又能避免粗放式发展。
由于这种限制不是由资本市场不完全导致，而只是人为加上的，因此称为“软限额”。
当资本市场不完全时，公司会拥有NPV大于0的项目，却筹集不到充足的资金，这样称为“硬限额”。
有时公司从银行借款或发行债券而资金仍不够用，拟发行股票却遭到怕失去控制权的老股东的反对时，也会遇到硬限额。这时的硬限额并不是由于资本市场不完全导致的。
无论是软限额，还是硬限额，都使决策的财力受到限制，这时都可采取上述介绍的方法进行投资项目选择。

案例分析12：动态优化
某公司建立一项提前退休计划，作为其公司重组的一部分。在自愿签约期临近时，68为雇员办理了提前退休手续。因为这些人的提前退休，在接下来的8年里，公司将承担