21曲线与方程.pptx

2.1 曲线与方程曲线与方程2.1.1 曲线与方程曲线与方程中学学科网中学学科网这些方程是怎么得到的？这些方程是怎么得到的？为什么这些方程能得到这些曲线为什么这些方程能得到这些曲线?复习回顾复习回顾:我们研究了直线和圆的方程我们研究了直线和圆的方程.1.经过点经过点P(0,b)和斜率为和斜率为k的直线的直线l的方程为的方程为_2.在直角坐标系中在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是平分第一、三象限的直线方程是_3.圆心为圆心为C(a,b),半径为半径为r的圆的圆C的方程为的方程为_.x-y=0点的横坐标与纵坐标相等点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分线第一、三象限角平分线含有关系含有关系：x-y=0 xy0（1）上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程x-y=0的解的解（2）以方程以方程x-y=0的解为坐标的点都在的解为坐标的点都在 上上曲线曲线条件条件方程方程坐标系中坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是平分第一、三象限的直线方程是x-y=0思考思考?探究点一曲线与方程的概念圆心为圆心为C(a,b),半径为半径为r的圆的圆C的方程为的方程为:思考思考?满足关系：满足关系：（1）、如果）、如果是圆上的点，那么是圆上的点，那么一定是这个方程的解一定是这个方程的解0 xyM图像上的点图像上的点M与此方程与此方程 有什么关系？有什么关系？的解，的解，那么以它为坐标的点一定在圆上。那么以它为坐标的点一定在圆上。（2）、如果、如果是方程是方程(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线方程的曲线.定义定义:1.曲线的方程曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形反映的是数量关系所表示的图形.f(x,y)=00 xy 一般地一般地,在直角坐标系中在直角坐标系中,如果某曲线如果某曲线C(看看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点上的点与一个二元方程与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的实数解建立了如下的关系的关系:说明说明:例例1:判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确解解:(1)不正确，不具备不正确，不具备(2)完备性，应为完备性，应为x=3,(2)不正确不正确,不具备不具备(1)纯粹性，应为纯粹性，应为y=1.(3)正确正确.(4)不正确不正确,不具备不具备(2)完备性完备性,应为应为x=0(-3y0).(1)过点过点A（3，0）且垂直于）且垂直于x轴的直线的方程为轴的直线的方程为x=3(2)到到x轴距离等于轴距离等于1的点组成的直线方程为的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为xy=1(4)ABC的顶点的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为为BC中点，中点，则中线则中线AD的方程为的方程为x=0例例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的的点的轨迹方程是点的轨迹方程是xy=k.M 第一步，设第一步，设 M(M(x0 0,y0 0)是曲线是曲线C C上任一点，上任一点，证明证明(x0 0,y0 0)是是f(x,y)=0)=0的解；的解；归纳归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤证明已知曲线的方程的方法和步骤 第二步，设第二步，设(x0 0,y0 0)是是 f(x,y)=0)=0的解，证明的解，证明点点 M(M(x0 0,y0 0)在曲线在曲线C上上.例2下列选项中方程表示图中曲线的是()解析对于A，x2y21表示一个整圆；对于B，x2y2(xy)(xy)0，表示两条相交直线；对于D，由lg xlg y0知x0，y0.答案C探究点二由方程判断曲线表示的图形反思与感悟判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.探究点三已知方程求曲线1方程x2xyx表示的曲线是()A一个点 B一条直线C两条直线 D一个点和一条直线解析由x2xyx，得x(xy1)0，即x0或xy10.由此知方程x2xyx表示两条直线故选C.答案C2方程y 所表示的曲线是_解析y|x1|.答案以(1，0)为端点的两条射线练习：1方程 表示什么曲线？2方程2x2y2-4x2 y 30表示什么 曲线？例3已知方程x2(y1)210.(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；解12(21)210，()2(31)2610，P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上.探究点四曲线与方程关系的应用反思与感悟(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.跟踪训练3若曲线y2xy2xk0过点(a，a)(aR)，求k的取值范围.解曲线y2xy2xk0过点(a，a)，a2a22ak0.2.1.2求曲线的方程求曲线的方程复习回顾复习回顾2.练习：练习：(1)设设A(2,0)、B(0,2)，能否说能否说线段线段AB的方程为的方程为x+y-2=0?(2)方程方程x2-y2=0表示的图形是表示的图形是_1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念复习曲线的方程和方程的曲线的概念3.证明已知曲线的方程的方法和步骤证明已知曲线的方程的方法和步骤 上一节，我们已经建立了曲线的方程上一节，我们已经建立了曲线的方程,方程的方程的曲线的概念曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，这一节，我们就来学习这一方法我们就来学习这一方法.“数形结合数形结合”-数学思数学思想的基础想的基础1解析几何与坐标法：解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法坐标法.在数学中，在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何解析几何的学科的学科.因此，因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.2平面解析几何研究的主要问题：平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质）通过方程，研究平面曲线的性质.说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：所适合条件可表示为：将上式两边平方，整理得：将上式两边平方，整理得：x+2y7=0 我们证明方程我们证明方程是线段是线段AB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程.（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程点的坐标都是方程解；解；（2）设点）设点M1的坐标（的坐标（x1,y1）是方程）是方程的解，即的解，即:x+2y17=0，所以，所以x1=72y1解解:设设M(x,y)是线段是线段AB的垂直平分线上任意一点的垂直平分线上任意一点,也就是点也就是点M属于集属于集合合例例2.设设A、B两点的坐标是两点的坐标是(1,1)，(3,7)，求线段，求线段AB的垂的垂直平分线的方程直平分线的方程.即点即点M1在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.由由(1)、(2)可知方程可知方程是线段是线段AB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程.点点M1到到A、B的距离分别是的距离分别是由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：说明：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，另外，根据情况，也可以省略步骤（根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程），直接列出曲线方程.(1)建系设点：建系设点：建立适当的坐标系建立适当的坐标系,用有序实数对（用有序实数对（x,y）表示曲）表示曲线上任意一点线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)列式列式:写出适合条件写出适合条件p的点的点M集合集合P=M|p(M)(3)代换代换:用坐标表示条件用坐标表示条件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;(4)化简化简:化方程化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；(5)审查审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.思考2求曲线方程要“建立适当的坐标系”，这句话怎样理解.答坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程也较简单，否则，如果坐标系选取不当，则会增加运算的繁杂程度.小结建立坐标系的基本原则：(1)以已知定点为原点；(2)以已知直线为坐标轴（x轴或y轴），如书P36例3；(3)以已知线段所在直线为坐标轴（x轴或y轴），以已知线段的中点为原点，如书P37A组3；(4)以已知相互垂直的两定直线为坐标轴；(5)让尽量多的点落在坐标轴上；(6)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.例例3.已知一条直线已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点F，点，点F到到l的距离是的距离是2,一一条曲线也在条曲线也在l的上方，它上面的每一点到的上方，它上面的每一点到F的距离减去到的距离减去到l的距的距离的差都是离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线取直线l为为x轴轴,过点过点F且垂直于直线且垂直于直线l的直线为的直线为y轴轴,建立坐标系建立坐标系xOy,解：解：2)列式列式3）代换）代换4)化简化简5）审查）审查1）建系设点）建系设点因为曲线在因为曲线在x轴的上方，所以轴的上方，所以y0,所以曲线的方程是所以曲线的方程是 设点设点M(x,y)是曲线上任意一点，是曲线上任意一点，MB x轴，垂足是轴，垂足是B，1.直接法直接法:求轨迹方程最基本的方法求轨迹方程最基本的方法,直接通过建直接通过建立立x,y之间的关系之间的关系,构成构成 F(x,y)=0 即可即可.直接法直接法 定义法定义法 代入法代入法 参数法参数法三、求轨迹方程的常见方法三、求轨迹方程的常见方法:3.代入法代入法:这个方法又叫这个方法又叫相关点法相关点法或或坐标代换法坐标代换法.即即利用动点利用动点P(x,y)是定曲线是定曲线F(x,y)=0上的动点上的动点,另一另一动点动点P(x,y)依赖于依赖于P(x,y)，那么可寻求关系式，那么可寻求关系式x=f(x,y),y=g(x,y)后代入方程后代入方程F(x,y)=0中，得到中，得到动点动点P的轨迹方程的轨迹方程.2.定义法：定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。已知已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点第三个顶点C在曲线在曲线y=3x2-1上移动上移动,求求ABC的重心的轨迹方程的重心的轨迹方程.例例14.参数法参数法:如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出，也没有明显的相关点，但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响，此时，可先建立x、y分别与这个变量的关系，然后将该变量(参数)消去，即可得到x、y的关系式.例2已知圆C：(x-1)2y29，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程.例3已知圆C：x2(y3)29，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程.解方法一(直接法)如图，因为Q是OP的中点，所以OQC90.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2|QC|2|OC|2，即x2y2x2(y3)29，方法二(定义法)如图所示，因为Q是OP的中点，所以OQC90，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为方法三(代入法)设P(x1，y1)，Q(x，y)，反思与感悟解答本题可以用三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.跟踪训练3如图，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.解方法一设点M的坐标为(x，y).M为线段AB的中点，A(2x,0)，B(0,2y).l1l2，且l1、l2过点P(2,4)，PAPB，kPAkPB1.整理，得x2y50(x1).当x1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4)，线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x2y50.综上所述，点M的轨迹方程是x2y50.方法二设M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连接PM.l1l2，2|PM|AB|.化简，得x2y50，为所求轨迹方程.方法三l1l2，OAOB，O、A、P、B四点共圆，且该圆的圆心为M，|MP|MO|，点M的轨迹为线段OP的中垂线.1.1.求曲线的方程的一般步骤：求曲线的方程的一般步骤：设（设（建系设点建系设点）找找（找等量关系找等量关系）列列（列方程列方程）化（化（化简方程化简方程）验（验（以方程的解为坐标的点都是曲线上的点以方程的解为坐标的点都是曲线上的点）-M(x,y)-P=M|M满足的条件课堂小结课堂小结2.“数形结合数形结合”数学思想的基础数学思想的基础老师寄语老师寄语:学好数学学好数学,登上人生的又一高度登上人生的又一高度.数学是金数学是金析疑解难，无坚不克，所向披靡；析疑解难，无坚不克，所向披靡；数学是美数学是美逻辑之美，形象之美，美不胜收；逻辑之美，形象之美，美不胜收；数学是恨数学是恨成也数学，败也数学；成也数学，败也数学；数学是爱数学是爱我爱数学，数学爱我，我爱数学，数学爱我，数学是我获胜的法宝。数学是我获胜的法宝。让我们一起来享受数学的快乐，探求数学的真谛，让我们一起来享受数学的快乐，探求数学的真谛，感受数学的出神入化。感受数学的出神入化。