整式及分式复习.doc

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数：
辅导科目： 学科教师：
课 题
整式和分式的复习
授课时间：
备课时间：

教学目标
1， 熟练掌握整式和分式的性质；
2， 掌握因式分解的方法；
3，整式和分式的运算。

重点、难点

考点及考试要求

教学内容
知识点一： 整式与因式分解

（一）知识回顾：
字母表示数
代数式
代数式的值
整式
整式的加减
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
整式的除法
整式的乘法
乘法公式
平方差公式
完全平方公式
因式分解
提取公因式法
公式法
十字相乘法
分组分解法

（二） 因式分解：
因式分解：
因式分解的一般步骤：
（1）对任意多项式分解因式，首先考虑提取公因式。
（2）对于二次二项式，考虑应用平方差公式分解。
（3）对于二次三项式，考虑应用完全平方公式或十字相乘法
（4）对于四项以上的多项式，考虑用分组分解法。
分解因式，必须进行到再也不能分解为止
因式分解的方法：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法

《一》提取公因式法：
1、 2、 3、

4、下列各式从左到右变形是因式分解的是（ ）
（A）; （B）;
（C）;（D）.
《二》公式法：
1、 2、

3、 4、

《三》十字相乘法
1、 2、 3、

4、 5、；

《四》分组分解法
1、. 2、.

3、 4、

（三）错题练习：
错例1
错因：受干扰，负迁移产生了的错误．
错例2
错因：未把3y看作一个整体，平方时没给系数3平方．
错例3
错因：未掌握完全平方公式的结构特征，没给结果的第二项2倍．
错例4
错因：（1）受符号变化的影响，把两个完全平方公式混淆，结果第二项符号出错．
（2）完全平方公式与平方差公式混淆．
错例5
错因：未掌握完全平方公式的结构特征，错用了平方差公式．
（四）小结：
在应用完全平方公式运算之前注意以下几点：
1、使用完全平方公式首先要熟记公式和公式的特征，不能出现的错误或（漏掉2倍）等错误.
2、在公式中,左边是一个二项式的完全平方,右边都是一个二次三项式,本公式可用语言叙述为:首平方,尾平方,两倍之积在中央.
3、公式中a、b的既可以代表具体的数，也可以代表单项式或多项式.
4、要能根据公式的特征及题目的特征灵活选择适当的公式计算.
5、用加法结合律，可为使用公式创造条件.利用这种方法，可以把多项式的完全平方转化为二项式的完全平方.

课堂检测：
一、填空题
1、若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m=___________.
2、若a2+2a+b2-6b+10=0， 则a=___________，b=___________.
3、若，则=___________.
4、如果
5、若(x2+y2)(x2+y2-1)=12， 则x2+y2=___________.

二、选择题
1、可以写成（ ）
A、 B、 C、 D、
2、，则 =( )
A、5 B、6 C、8 D、9
3、下列各式正确的是（ ）
A．3a·5a=15a B.-3x·（-2x）=-6x
C．3x·2x=6x D.（-b）·（-b）=b
4、设a=8，a=16，则a=（ ）
A．24 B.32 C.64 D.128
5、若x·x·（ ）=x，则括号内应填x的代数式为（ ）
A．x B. x C. x D. x

小结：
重点是要掌握因式分解的的四种方法：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法。

注：1，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。因此，因式分解与分解因式是两个相同的概念。
2、如果各多项式含有公因式，那么先提取公因式，再进一步用完全平方公式分解因式，必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

课后作业：
1、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算
（1） （2）
（3） （4）
2、填空：
（1） （2）
（3）
3、计算下列各式：
（1） （2）

（3） （4）

(7） （8）

4、判断下列各式计算是否正确，错误的请加以改正.
（1） （2）
（3） （4）
5、求的值，其中

6、若

7、（1）已知
（2）已知.
（3）已知

知识点二： 分式
一、知识梳理
1、分式的概念与意义：
（1）A、B表示两个整式，A÷B（B≠0）可以表示为的形式，如果B中含有字母，那么我们把式子（B≠0）叫分式，其中A叫分子，B叫分母。
（2）关于分式概念的两点说明：
i）分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。
ii）分式中的分母不能为零，是分式概念的组成部分，只有分式的分母不为零，分式才有意义，因此，若分式有意义，则分母的值不为零（所谓分母的值不为零，就是分母中字母不能取使分母为零的那些值）反之，分母的值不为零时，分式有意义。
（3）分式的值为零

2、分式的基本性质
（1）分式的分子、分母乘同一个不等于零的整式，分式的值不变。
即
（2）分式的分子、分母除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。
即
注：
i）分式的基本性质表达式中的M是不为零的整式。
ii）分式的基本性质中“分式的值不变”表示分式的基本性质是恒等变形。
iii)分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
3、约分：把分式中分子和分母的公因式约去，叫约分。
注：约分的理论依据是分式的基本性质。
约分后的结果不一定是分式。
约分的步骤：
（1）分式的分子、分母能分解因式的分解因式写成积的形式。
（2）分子、分母都除以它们的公因式。
4、最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式就叫最简分式。
5、分式的运算：
（1）分式乘法：
（2）分式除法：
注：
i）分式的乘除法运算，归根到底是乘法运算。
ii）分式的乘法运算，可以先约分，再相乘。
iii）分式的分子或分母是多项式的先分解因式，再约分，再相乘。
（3）乘方：（n为正整数）
（4）通分：在不改变分式的值的情况下，把几个异分母的分式化为同分母分式的变形叫通分。
注：分式通分的依据是分式的基本性质。
最简公分母：几个分式中各分母的数字因数的最小公倍数与所有字母（因式）的最高次幂的积叫这几个分式的最简公分母。
二、知识运用
（一）分式的概念：
1、 （1）一箱苹果售价a元，箱子与苹果的总质量为m kg，箱子的质量为n kg，则每千克苹果的售价是 元。
（2）某工厂库存原材料x吨，原计划每天用a吨，若现在每天少用b吨，则可以多用 天。
2、在、、、、、中分式的个数有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

（二）分式的意义：
3、 当x 时，分式有意义；分式中，当时，分式没有意义，
当时，分式的值为零；当时，的值为负数；
当、满足 时，的值为。
4、要使分式有意义，x的取值满足（ ）
A、 B、 C、且 D、或

5、当 时，分式无意义；当 时，分式值为0；
6、（1）当 时,分式的值为零
（2）如果分式的值为零，则x的值为（ ）．
A 2 B －2 C 0 D ±2
（三）分式的性质：
7、 ； 。
8、不改变分式的值，把分式中分子与分母各项系数化为整数，结果为
9、不改变分式的值，把它的分式和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、使分式从左至右变形成立的条件是（ ）
A、x<0 B、x>0 C、x≠0 D、x≠0且x≠3
11、（1）如果把分式中的、都扩大3倍，那么分式的值 ；
（2）如果把分式中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）
A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍

12、若x∶y =1∶2，则=___________

13、不改变下列分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数为正数
（1） （2）

（3）-

（四）分式的约分：
14、（1）下列约分正确的是（ ）
A、； B、； C、； D、
（2）下列化简正确的是（ ）．
A． B． C． D．
15、分式，，，中是最简分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16、约分：
（1） （2）； （3）．

（五）分式的乘除：
17、化简计算
（1） （2）

（3） （4）

18、计算
（1） （2）

三、拓展运用
19、（1）当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
（2）无论x取什么值，下列分式中一定有意义的是（ ）
A、 B、 C、 D、
20、若分式的值为整数，则整数x= 　　　　
21、已知a，b为实数，且ab=1，设M=，N=，则M，N的大小关系是（ ）
A、M>N B、M=N C、M<N D、不确定
练习:
1.（1）有两块棉田，有一块x公顷，收棉花m千克，第二块y公顷，收棉花n千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？

（2）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元.降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？

2.下列各式：其中分式共有（ ）个。
A、2 B、3 C、4 D、5
3. 能使分式的值为零的所有的值是 （ ）
A B C 或 D或
4.不改变下列分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数为正数
（3）- （4）
5.不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数

6.填空
（1） （2）
（3） （4）

（5）

7.化简

8. 当x取何值时，分式有意义？

9. 计算：

10. 解方程：

11. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日期是多少天？

12. 已知，求的值。

13. 先化简，再求值
（1），其中

（2）5（，其中，

（3），其中；

14. 已知代数式的的值等于7，求代数式的值

15. 的值，其中，小明把错写 ，但他的计算结果也是正确的，请你帮他找出原因。

二、列代数式
1. A、B两地相距千米，甲、乙两人分别以千米/时，b千米/时（＞b）的速度从A到B，如果甲先走1小时，用代数式表示甲比乙早到的时间，再求：当s=120，a=15，b=12时，这个代数式的值。

2. 某商场一种商品的成本是销售收入的65%，税款和其他费用（不列入成本）合计为销售收入的10%，若该商品的销售收入为x万元，用代数式表示该商场获得的利润。

3. 如图3×3方格是月历表中取下的，正中方格的日期是n，请用适当的代数式填入空格的日期，然后比较两条对角线的三个日期数之和，你发现了什么规律？

4. 某工厂第一车间有人，第二车间的人数比第一车间的2倍少5人，第三车间的人数比第一车间的3倍还多7人，则第三车间的人数比第一、第二车间人数的和多还是少？

5. 用字母表示图中阴影部分的面积，并求出当x=4,y=6时阴影部分的面积

6. 如图，将面积为的小正方形与面积为的大正方形放在一起.
A
⑴ 用表示三角形的面积；
C
⑵ 当时，求三角形的面积.

B
.

7. 某商店销售一种衬衫，4月份的营业额为5000元，为了扩大销售，在5月份将每件衬衫按原价的8折销售，销量比4月份增加了40件，营业额比4月份增加了600元，求4月份每件衬衫的售价。

8. 观察下列各式；
:
(1)根据前面各式的规律可得的值(其中为正整数)；
(2)根据(1)求的值。