黄克智版张量分析习题解析.pptx

1.1 求证：求证：u(vw)=(uw)v(uv)w并问：并问：u(vw)与与(uv)w 是否相等是否相等？u，v，w 为矢量为矢量。证明：证明：1.2 求证：求证：(AB)(CD)=B(ACD)A(BCD)=C(ABD)D(ABC)证明：证明：1.3 求证矢量的非退化性求证矢量的非退化性。即：若矢量。即：若矢量 v 与它所属的矢量空间与它所属的矢量空间中的任意矢量中的任意矢量 u 都正交，即：都正交，即：uv=0，则矢量，则矢量 v=0。证明：证明：因为因为 u 为任意，所以可为任意，所以可取取 u1，u2，u3，使得，使得由由 uv=0 得得因为因为 detU0，所以，所以 vx=vy=vz=0 是唯一零解，即：是唯一零解，即：v=0。1.4 已知：矢量已知：矢量 u，v，求证：，求证：证明：证明：1.5 求证：求证：a，b 线性相关。线性相关。证明：证明：即即 或或 故故 即，即，a，b 线性相关。线性相关。1.6 求证：求证：a，b，c 线性相关。线性相关。证明：证明：即即 或或 a，b，c 共面。三维空间中共面的三矢量线性相关。共面。三维空间中共面的三矢量线性相关。1.7 已知：矢量已知：矢量 b=2i+j-2k，c=i+2j+3k，i，j，k 为笛卡儿基；为笛卡儿基；若将若将 c 分解为与分解为与 b 平行的矢量及垂直于平行的矢量及垂直于 b 的矢量的矢量 a 之和，即之和，即c=a+mb。求求 a；m(其中其中 ba=0)解解：1.8 利用利用 证明证明gij 是对称正定的。是对称正定的。证明：证明：即即 gij 是对称正定的。是对称正定的。1.9 求证：对于一组非共面的求证：对于一组非共面的gi，存在唯一的，存在唯一的 gj，gj 也是非也是非共面的。共面的。证明：证明：参见：参见：1.2.2.4 由协变基矢量求逆变基矢量由协变基矢量求逆变基矢量 式（式（1.2.17）及式（）及式（1.2.25 ）。）。1.10 已知：以已知：以i，j，k 表示三维空间中笛卡坐标基矢量，表示三维空间中笛卡坐标基矢量，（1）按公式（）按公式（1.2.17），求），求 g1，g2，g3 以以 i，j，k 表示的式子；表示的式子；（2）求）求grs。解：解：1.11 根据上题结果验算公式根据上题结果验算公式：gj=gjigi解：解：1.12 已知：已知：u=2g1+3g2-g3，v=g1-g2+g3，基矢量同上题。运用，基矢量同上题。运用1.11 题求得的题求得的 grs 计算：计算：（1）uv；（；（2）u，v 的协变分量。的协变分量。解：解：1.13 已知已知:（1）圆柱坐标系如图（）圆柱坐标系如图（a），），r=x1，=x2，z=x3。（2）球坐标系如图（）球坐标系如图（b），），r=x1，=x2，=x3。x3O x2 x1 z rx3O x2 x1 r 求：两种坐标系中：求：两种坐标系中：（1）gi 通过笛卡儿基通过笛卡儿基 i，j，k 的表达式，画出简图。的表达式，画出简图。（2）求）求 gi，说明，说明 gi 和和 gi 的大小与方向有何关系。的大小与方向有何关系。（3）由）由 gi 求求 gij，gij，。解：解：（1）圆柱坐标系：圆柱坐标系：球坐标系：球坐标系：x3O x2 x1 z rg1g2g3x3O x2 x1 r g1g2g3（2）圆柱坐标系：圆柱坐标系：球坐标系：球坐标系：（3）圆柱坐标系：圆柱坐标系：球坐标系：球坐标系：x3O x2 x1x3O x2 x1 r z rddrdzdddrrdrdrr1.14 斜圆锥面上坐标系斜圆锥面上坐标系 x1=，x2=z，R，H，C 为已知（如图）。为已知（如图）。求：求：g，g，g（，=1，2）。）。yz Hx O rg1 g2 R C z解：解：动点所在圆周的半径为动点所在圆周的半径为 圆心至圆心至 z 轴的距离轴的距离在在 xy 平面上，该圆以平面上，该圆以 为参数的方程为为参数的方程为于是，动点的矢径为于是，动点的矢径为 1.15 二维空间为半径为二维空间为半径为R的半的半球面，如图，球面，如图，x1=，x2=。用两种方法求用两种方法求 g，g，g，g (，=1，2)。zR g2 g1 O y R Rx解：解：1.16 已知：圆柱坐标系中已知：圆柱坐标系中、球坐标系中矢量的逆变分量、球坐标系中矢量的逆变分量 v i。利用题利用题 1.13 结果分别求两个坐标系中的协变分量结果分别求两个坐标系中的协变分量 vi。解：解：（1）圆柱坐标系）圆柱坐标系（2）球坐标系）球坐标系1.17 求：题求：题 1.13 所示圆柱坐标和球坐标所示圆柱坐标和球坐标 xi，与笛卡儿坐标，与笛卡儿坐标 xj的转换系数的转换系数 解：解：圆柱坐标系：圆柱坐标系：球坐标系：球坐标系：1.18 （1）已知）已知:笛卡儿坐标系中笛卡儿坐标系中v 的分量为的分量为v1，v2，v3；求：圆柱坐标中求：圆柱坐标中 v 的分量的分量 v1，v2，v3。（2）已知）已知:笛卡儿坐标系中笛卡儿坐标系中v 的分量为的分量为v1，v2，v3；求：球坐标中求：球坐标中 v 的分量的分量 v1，v2，v3。解：解：（1）（2）1.19 试求线元试求线元 dxk 的长度的长度 dsk。解：解：1.20 试求线元试求线元 dxk 与与 dxl 的夹角的夹角kl。解：解：1.27 设一动点轨迹为设一动点轨迹为xi(t)（t0，标量），定义，标量），定义求证：求证：vi 为矢量分量。为矢量分量。1.28 由应变由应变 ij 的定义的定义 出发，出发，求证：求证：ij 是对称二阶张量的分量。式中是对称二阶张量的分量。式中dxi 是介质的拉格是介质的拉格朗日坐标的微分。朗日坐标的微分。1.38 在笛卡儿坐标系中，各向同性材料的弹性关系为在笛卡儿坐标系中，各向同性材料的弹性关系为 （1）利用商法则证明此式必定可以表示为一个张量的代数）利用商法则证明此式必定可以表示为一个张量的代数运算等式，写出其实体形式，说明等式中各阶张量的阶数。运算等式，写出其实体形式，说明等式中各阶张量的阶数。（2）将上式表示为可运用于任意坐标系的张量分量形式。）将上式表示为可运用于任意坐标系的张量分量形式。（3）写出任意坐标系中的协变分量）写出任意坐标系中的协变分量Dijkl 用用E，及度量张量及度量张量分量表达的形式，以及分量表达的形式，以及 D 的并矢表达式。的并矢表达式。解解:(:(1)(2)(3)1.39 已知：矩阵已知：矩阵A，B，C=AB，a=detA，b=detB，c=detC。求：利用置换符号证明：。求：利用置换符号证明：c=ab。证明：证明：或或 1.40 已知：矩阵已知：矩阵 中某两列的元素成比例，例如：中某两列的元素成比例，例如：，k 为一个实数。求：利用置换符号证明为一个实数。求：利用置换符号证明:证明：证明：1.41 质量为质量为m，绕定点，绕定点O 以角速度以角速度 转动的质点（如图），转动的质点（如图），其动量矩矢量的定义为其动量矩矢量的定义为L=mrv，其中，其中，r 为定点为定点O 至质点的至质点的矢径，矢径，v 为质点的线速度。为质点的线速度。求证：求证：L=I ，式中，式中I 为惯性矩张量，为惯性矩张量，I=m(r r)Grr v m r O证明：证明：1.42 求图求图1.11所示球坐标系中的面元矢量所示球坐标系中的面元矢量da1，da2，da3。解：解：