2024年湖师数理统计题库习题六.doc

假设检查
1设取自正态母体其中为未知参数,为子样均值，对检查问题取检查的拒绝域:,
试决定常数c使检查的明显性水平为0.05.
解:因为因此 在成立下,

, 因此 C=1.176.
2．设子样取自正态母体已知，对检查假设
的问题，取临界域.
（i）求此检查犯第一类错误的概率,犯第二类错误的概率,并讨论它们之间的关系.
（ii）设,求时不犯第二类错误的概率.
解: (i).在成立下,
,

其中是N（0，1）分布的分位点。
在H1成立下,,
=
当增加时，减少，从而减少；反之当减少时，将导致增加。
（ii）不犯第二类错误的概率为1-。

=
4，设某产品指标服从正态分布，它的根方差已知为150小时，今由一批产品中随机地抽查了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的明显性水平下，能否以为这批产品的指标为1600小时？
解：母体， 对假设采取U—检查法，
在H0为真下，检查统计量观测值为时临界值。 因为， 因此接收，
即不能否定这批产品指标为1600小时

5某电器零件的平均电阻一直保持在2.64均方差保持在0.06.变化加工工艺后测的100个零件,其平均电阻为2.62,均方差不变.问新工艺对此零件的电阻有无明显差异?取明显性水平 。
解：设变化工艺后，电器零件电阻为随机变量，则未知，。 检查假设。
从母体中取了容量为100子样，近似服从正态分布，即：。
因而对假设可采取u—检查计算检查统计量观测值
， 。 因为。
因此拒绝原假设即改革工艺后零件的电阻一有明显差异。
6. 有一个新安眠剂,据说在一定剂量下能比某种就旧暗昧安眠剂平均增加睡眠时间3小时,依照资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时,均方差为1.8小时,为了检查新安眠剂的这种说法是否正确,搜集到一个使用新安眠剂的睡眠时间(以小时为单位)为: 26.7, 22.0, 24.1, 21.0, 27.2, 25.0, 23.4
试问这组数据能否阐明新安眠剂已达成新的疗效?
解：设新安眠剂疗效为随机变量，则未知，。
检查假设，
从母体中取了容量为7子样，近似服从正态分布，即：。
因而对假设可采取u—检查计算检查统计量观测值
， 。 因为。
因此接收原假设，即新安眠剂未达成新的疗效。
15．设 X1,X2,--- ,Xn为取自总体X ~的简单随机样本，其中0为已知常数，选择统计量U = ，求的1-的置信区间。
解：因为U = 服从(n)， 于是

故 的1-的置信区间 。
16．在某校的一个班体检统计中，随意抄录 25 名男生的身高数据，测得平均高为170厘米，（修正）标准差为12厘米，试求该班男生的平均身高和身高标准差的 0 .95置信区间（假设身高近似服从正态分布）。
解：由题设 身高X~N（），n=25，。
（1） 先求的置信区间（未知）取
故置信区间为：
(170)=(170-4.94, 170+4.94)=(165.06, 174.94) (2). 的置信区间（未知）取

故的0.95置信区间为
的0.95置信区间为 .
14．在测量反应时间中，一心理学家估量的标准差为 0.05 秒，为了以 95% 的置信度使他对平均反应时间的估量误差不超出0.01秒，应取多大的样本容量n?
解：以X表示反应时间，则为平均反应时间，由条件知，样本标准差S=0.05, 用样本均值估量 当n充足大时，统计量近似服从标准正态分布N（0，1），依照条件，要求样本容量满足
. 即
即应取样本容量n为96或97。

8．在某年级学生中抽测9名跳远年成绩，得样本均值= 4.38 m . 假设跳远绩
X服从正态分布，且= 03, 问是否可以为该年级学生跳远平均成绩为= 4.40 m ( = 0.10).
解：(1)
(2) 选统计量
（3）查标准正态分布表，得出临界值拒绝域

(4)算得,显然0.2不在拒绝域内，因此H0被接收，即可以为该年级学生跳远平均成绩为4.40米。
9．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差 S*为15分，问在明显水平0.05下，是否可以为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？并给出检查过程。

解：（1）待检假设备择假设
（2）在H0成立条件下选择统计量
（3）在明显性水平0.05下，查t分布表，找出临界值

拒绝域
（4）计算，故接收H0,，因此能够以为这次考试全体考生的平均成绩为70分。
11．某厂生产的电子仪表的寿命服从正态分布，其标准差为= 1.6, 改进新工艺后，从新的产品抽出9件，测得平均寿命= 52.8, S*n2 = 1.19 ，问用新工艺后仪表的寿命方差是否发生了变化？（取明显性水平 = 0.05）
解：（！）待检假设，备择假设
（2）选用统计量
（3）查分布表，找出临界值 拒绝域为
（4）计算，接收H0，即改进工艺后仪表寿命的方差没有明显变化。
12．电工器材厂生产一批保险丝，抽取10根试验其熔断时间，成果为 ：
42, 65, 75, 78, 71, 59, 57, 68, 54, 55. 问是否可以为整批保险丝的熔断时间的方差小于 80 ？（熔断时间服从正态分布，明显性水平 = 0.05）.
解：（1）待检假设备择假设
（2）选用统计量
（3）由查分布表
(4)。

故接收假设H0，即在下，可以为整批保险丝的熔断时间的方差小于80.
10．某校从常常参加体育锻炼的男生中随机地选出50名,测得平均身高174.34 厘米从不常常参加体育锻炼的男生中随机地选50名，测得平均身172.42 厘米，统计资料表白两种男生的身高都服从正态分布，其标准差分别为5.35和6.11厘米，问该校常常参加锻炼的男生是否比不常参加体育锻炼的男生平均身高些？
解： X, Y分别表常锻炼和不常锻炼男生的身高，由题设

(1) 待检假设，备择假设
(2) 选用统计量
(3) 对于 查正态分布表，
(4) 计算
故否定假设即表白常常体育锻炼的男生平均身高比不常常体育锻炼的男生平均身高高些。
7.14 假设六个整数1，2，3，4，5，6被随机地选择，重复60次独立试验中出现1，2，3，4，5，6的次数分别为13，19，11，8，5，4。问在5%的明显性水平下是否能够以为下列假设成立：
。
解：用拟合优度检查，假如成立

列表计算的观测值：

组数i
频数

1
2
3
4
5
6
13
19
11
8
5
4
10
10
10
10
10
10
3
9
1
-2
-5
-6
0.9
8.1
0.1
0.4
2.5
3.6

， =11.07
因为，因此拒绝。即等概率的假设不成立。
7.15 对某型号电缆进行耐压测试试验，统计43根电缆的最低击穿电压，数据列表如下：
测试电压 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
击穿频数 1 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1
试对电缆耐压数据作分析检查（用概率图纸法和拟合优度检查）。
解：用正态概率纸检查出数据基本上服从正态分布，下面拟合优度检查假设

其中为和的极大似然估量，其观测值

因此要检查的假设

分组列表计算统计量的观测值。

组 距

频数

标准化区间

4.1
4.1 4.2
4.2 4.3
4.3 4.5
4.5 4.6
4.6
5
7
8
12
6
5
-1.25
-1.25 -0.79
-0.79 -0.34
-0.34 0.57
0.57 1.03
0.31
0.1056
0.1087
0.1526
0.3488
0.1328
0.1515
4.5408
4.6741
6.5618
14.9984
5.7104
6.5145
0.0464
1.1574
0.2152
0.5994
0.0147
0.3521

用查表因为，因此不能否定正态分布的假设。
7.16 用手枪对100个靶各打10发，只统计命中或不命中，射击成果列表如下
命中数：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频 数： 0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0
在明显水平下用拟合优度检查法检查射击成果所服从的分布。
解 对每一靶打一发，只统计命中或不命中可用二点分布描述，而对一个靶打十发，其射击成果可用二项分布来描述，其中未知，可求其极大似然估量为

设是十发射击中射中靶的个数，建立假设

用拟合优度检查法列表如下：

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
2
4
10
22
26
18
12
4
2
0
0.000977
0.009765
0.043945
0.117188
0.205212
0.246094
0.205212
0.117188
0.043945
0.009765
0.000977
0.098
0.976
4.395
11.719
20.521
24.609
20.521
11.719
4.395
0.976
0.098
0.098
1.074
0.036
0.252
0.107
0.079
0.310
0.007
0.036
1.074
0.098

取 ，=
因为，因此接收。
7.17 在某细纱机上进行断头率测定，试验锭子总数为440，测得断头总次数为292次只锭子的断头次数纪律于下表。问每只锭子的纺纱条件是否相同？
每锭断头数 0 1 2 3 4 5 6 7 9
锭数（实测） 263 112 38 19 3 1 1 0 3
解：假如各个锭子的纺纱条件元差异，则所有锭子断头次数服从同一个普哇松分布，因此问题是要检查每只锭子的断头数。其中未知，求其极大似然估量为，建立假设，由拟合优度检查。列表

断头数

1
2
3
4
5
0
1
2
3
4-8
268
112
38
19
8
0.5169
0.3411
0.1126
0.0247
0.0047
227.41
150.09
49.53
10.897
2.068
5.568
9.668
2.684
6.026
17.016

取，=，
取 ，=
因为，因此拒绝。即以为每只锭子纺纱条件不相同。