抽象函数图象的对称问题.doc

黄金试题
抽象函数图象的对称问题
□安徽 王平定 姚汉兵

关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。
一、设是定义在R上的函数，若，则函数的图象关于直线对称。
证明：设点A（m，n）是图象上任一点，即，点A关于直线的对称点为。

∴点A'也在的图象上，故的图象关于直线对称。

二、设是定义在R上的函数，则函数与函数的图象关于直线对称。
证明：设点A（m，n）是图象上任一点，即，点A关于直线的对称点为。

∴点A'在的图象上
反过来，同样可以证明，函数图象上任一点关于直线的对称点也在函数的图象上，故函数与函数的图象关于直线对称。
说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。
易知，函数与的图象关于直线对称，由的图象平移得到的图象，由的图象平移得到的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数与函数的图象关于直线对称。

三、设是定义在R上的函数，若，则函数的图象关于点对称。
证明：设点是图象上任一点，则，点A关于点的对称点为。

∴点A'也在的图象上，故的图象关于点对称
说明：（1）当时，奇函数图象关于点（0，0）对称。（2）易知此命题的逆命题也成立。

四、设是定义在R上的函数，则函数与函数的图象关于点对称。
证明：设点A（m，n）是图象上任一点，即，点A关于点的对称点为

∴点A'在的图象上
反过来，同样可以证明，函数图象上任一点关于点的对称点在函数图象上。
故函数与函数的图象关于点对称。
说明：此命题同样可以从图象变换的角度去理解。

年级
高中
学科
数学
版本

期数

内容标题
　　抽象函数图象的对称问题
分类索引号
　　G.622.46
分类索引描述
　　辅导与自学
主题词
　　抽象函数图象的对称问题
栏目名称
　专题辅导
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