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Beyond the Void
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NOI 2009 二叉查找树 »
一 12
NOI 2009 诗人小G
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问题简述
有N个诗句需要被排版为若干行，顺序不能改变。一行内可以有若干个诗句，相邻诗句之间有一个空格。定义行标准长度L，每行的不协调度为|实际长度-L|P，整首诗的不协调度就是每行不协调度之和。任务是安排一种排版方案，使得整首诗的不协调度最小。
问题建模
这是一个最优化问题，抽象成动态规划模型。设第i个诗句的长度为Len[i]，前i个诗句的总长度为SumL[i]，。F[i]为对前i个诗句排版的最小不协调度。
解法1 朴素的动态规划
算法描述
显然每个F[i]可以被分解为F[j]和第j+1…i个句子组成一行的状态，所以状态转移方程为

简化后，可以书写成

在具体实现时，应记录每个状态的决策，以便于输出合法方案。考虑到“最小的不协调度超过1018输出”Too hard to arrange””，为防止64位整型运算溢出，可以先用浮点数类型计算，然后再用整型算出具体值。
复杂度分析
状态数为O(N)，每次转移需要以O(N)的时间枚举j，所以时间复杂度为O(N2)。在实际测试中通过了测试点1，2，3，得到30分。
参考程序
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/*
* Problem: NOI2009 poet
* Author: Guo Jiabao
* Time: 2009.9.22 13:30
* State: Solved
* Memo: 朴素动态规划
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long big;

const int MAXN=100001,SMAXL=32;
const big INF=~0ULL>>1,LIMIT=1000000000000000000LL;

big F[MAXN],sumL[MAXN];
int N,L,P;
int Len[MAXN],deci[MAXN],sel[MAXN];
char sent[MAXN][SMAXL];

void init()
{
scanf("%d%d%d\n",&N,&L,&P);
for (int i=1;i<=N;++i)
{
gets(sent[i]);
Len[i] = strlen(sent[i]);
sumL[i] = sumL[i-1] + Len[i];
}
}

big power(big a)
{
big t=1;
double dt=1;
if (a < 0)
a = -a;
for (int i=1;i<=P;i++)
{
dt *= a;
if (dt > LIMIT)
return INF;
t *= a;
}
return t;
}

void solve()
{
int i,j,k;
big minv,t;
for (i=1;i<=N;++i)
{
minv = INF;
for (j=0;j<=i-1;++j)
{
t = power(sumL[i] - sumL[j] + i-j-1 - L);
if ( double(t) + double(F[j]) <= LIMIT && t + F[j] < minv)
{
minv = t + F[j];
k = j;
}
}
F[i] = minv;
deci[i] = k;
}
}

void print()
{
if (F[N] <= LIMIT)
{
cout << F[N] << endl;
int i,j;
for (i=N,j=0;i;i=deci[i])
sel[++j] = i;
for (i=0;j;j--)
{
for (++i;i < sel[j];++i)
printf("%s ",sent[i]);
printf("%s\n",sent[i]);
}
}
else
printf("Too hard to arrange\n");
printf("--------------------\n");
}

int main()
{
int i,T;
freopen("poet.in","r",stdin);
freopen("poet.out","w",stdout);
scanf("%d",&T);
for (i=1;i<=T;i++)
{
init();
solve();
print();
}
return 0;
}
解法2 贪心的动态规划
算法描述
观察测试点4，5的N值较大，而L值较小，因此可以限制每行长度，以优化状态转移。

实现时应让j从i-1到0枚举，当j<i-1时一旦发现行长度超过2L，即停止枚举j，因为j继续减少会让行长度继续增加。
算法证明
一个空行的不协调度为LP，若一行内包含多余一个句子，且行长度L’>2L，则行不协调度(L’-L)P>LP。把该行拆分为两行后，设长度分别为L1和L2，L1+L2=L’-1，拆分后的两行不协调度之和为(L1-L)P+(L2-L)P<(L’-L)P，所以拆分为两行后比合在一行好。因此应保证当一行包含多于一个句子时，行长度<=2L。
复杂度分析
状态数为O(N)，每次转移需要O(Min{N,L})的时间，所以时间复杂度为O(Min{N2,NL})。在实际测试中通过了前5个测试点，得到50分。
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/*
* Problem: NOI2009 poet
* Author: Guo Jiabao
* Time: 2009.9.22 13:51
* State: Solved
* Memo: 朴素动态规划 剪枝
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long big;

const int MAXN=100001,SMAXL=32;
const big INF=~0ULL>>1,LIMIT=1000000000000000000LL;

big F[MAXN],sumL[MAXN];
int N,L,P;
int Len[MAXN],deci[MAXN],sel[MAXN];
char sent[MAXN][SMAXL];

void init()
{
scanf("%d%d%d\n",&N,&L,&P);
for (int i=1;i<=N;++i)
{
gets(sent[i]);
Len[i] = strlen(sent[i]);
sumL[i] = sumL[i-1] + Len[i];
}
}

big power(big a)
{
big t=1;
double dt=1;
if (a < 0)
a = -a;
for (int i=1;i<=P;i++)
{
dt *= a;
if (dt > LIMIT)
return INF;
t *= a;
}
return t;
}

void solve()
{
int i,j,k;
big minv,t;
for (i=1;i<=N;++i)
{
minv = INF;
for (j=i-1;j>=0;--j)
{
t = sumL[i] - sumL[j] + i-j-1 - L;
if (j < i-1 && t > L + L)
break;
t = power(t);
if ( double(t) + double(F[j]) <= LIMIT && t + F[j] < minv)
{
minv = t + F[j];
k = j;
}
}
F[i] = minv;
deci[i] = k;
}
}

void print()
{
if (F[N] <= LIMIT)
{
cout << F[N] << endl;
int i,j;
for (i=N,j=0;i;i=deci[i])
sel[++j] = i;
for (i=0;j;j--)
{
for (++i;i < sel[j];++i)
printf("%s ",sent[i]);
printf("%s\n",sent[i]);
}
}
else
printf("Too hard to arrange\n");
printf("--------------------\n");
}

int main()
{
int i,T;
freopen("poet.in","r",stdin);
freopen("poet.out","w",stdout);
scanf("%d",&T);
for (i=1;i<=T;i++)
{
init();
solve();
print();
}
return 0;
}
解法3 凸壳优化动态规划
算法描述
观察发现测试点6，7的N和L都很大，而P值为2。经分析发现可以使用单调队列维护凸壳。
算法分析与证明
当P=2时，观察状态转移方程

设对于F[i]的最优决策为k，那么对于所有的j≠k，均满足

设，，则有

因为SumL为单调增函数，所以A，B均为增函数。当B[j]>B[k] ??j>k，有

相对的，当j<k时有

如果把(B[i],F[i]+B[i]2)看作是二维平面上的一个点，那么恰为斜率公式。因此对于最优决策k，应保证在对应点右边任意一个决策j的对应点，满足直线kj斜率大于2A[i]；在对应点左边任意一个决策j的对应点，满足直线kj斜率小于2A[i]。

因此所有最优决策在平面上的对应点连线就是一个斜率递增的凸壳。

具体实现时，用单调队列维护每个点(B[i],F[i]+B[i]2)，每在队尾加入一个新的点，判断斜率是否递增，如果不是则不断删除队尾元素。求F[i]的最优决策只需不断在队首删除点，直到队首两点组成的直线斜率刚好大于2A[i]，最优决策就是左端点的对应决策。
复杂度分析
用单调队列每次维护凸壳的时间复杂度为均摊O(1)，所以时间复杂度为O(N)。经测试可以通过测试点6，7，配合解法2，一共可以得到70分。
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/*
* Problem: NOI2009 poet
* Author: Guo Jiabao
* Time: 2009.9.22 14:30
* State: Solved
* Memo: 朴素动态规划 剪枝 凸壳优化
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long big;

const int MAXN=100001,SMAXL=32;
const big INF=~0ULL>>1,LIMIT=1000000000000000000LL;

struct MonoQueue
{
struct point
{
big x,y;
int id;
}P[MAXN];

int head,tail;

void initialize()
{
head = 0;
tail = -1;
}

void insert(big x,big y,int id)
{
point p={x,y,id};
for (;head + 1 <= tail;--tail)
{
double k1,k2;
k1 = (p.y - P[tail].y) / double(p.x - P[tail].x);
k2 = (P[tail].y - P[tail-1].y) / double(P[tail].x - P[tail-1].x);
if (k1 > k2)
break;
}
P[++tail] = p;
}

int getmin(big v)
{
for (;head + 1 <= tail;++head)
{
double k = (P[head+1].y - P[head].y) / double(P[head+1].x - P[head].x);
if (k > v)
break;
}
return P[head].id;
}
}MQ;

big F[MAXN],sumL[MAXN],A[MAXN],B[MAXN];
int N,L,P;
int Len[MAXN],deci[MAXN],sel[MAXN];
char sent[MAXN][SMAXL];

void init()
{
scanf("%d%d%d\n",&N,&L,&P);
for (int i=1;i<=N;++i)
{
gets(sent[i]);
Len[i] = strlen(sent[i]);
sumL[i] = sumL[i-1] + Len[i];
}
}

big power(big a)
{
big t=1;
double dt=1;
if (a < 0)
a = -a;
for (int i=1;i<=P;i++)
{
dt *= a;
if (dt > LIMIT)
return INF;
t *= a;
}
return t;
}

void tq()
{
int i,j;
big t;
MQ.initialize();
MQ.insert(0,0,0);
for (i=1;i<=N;i++)
{
B[i] = sumL[i] + i;
A[i] = B[i] - 1 - L;
}
for (i=1;i<=N;i++)
{
j = MQ.getmin(A[i] + A[i]);
t = power(sumL[i] - sumL[j] + i-j-1 - L);
if ( double(t) + double(F[j]) <= LIMIT )
F[i] = F[j] + t;
else
F[i] = INF;
if ( double(B[i]) * double(B[i]) + F[i] <= LIMIT)
t = F[i] + B[i] * B[i];
else
t = INF;
MQ.insert(B[i],t,i);
deci[i] = j;
}
}

void simple()
{
int i,j,k;
big minv,t;
k = -1;
for (i=1;i<=N;++i)
{
minv = INF;
for (j=i-1;j>=0;--j)
{
t = sumL[i] - sumL[j] + i-j-1 - L;
if (t > L + L)
break;
t = power(t);
if ( double(t) + double(F[j]) <= LIMIT && t + F[j] < minv)
{
minv = F[j] + t;
k = j;
}
}
F[i] = minv;
deci[i] = k;
}
}

void solve()
{
if (P == 2)
tq();
else
simple();
}

void print()
{
if (F[N] <= LIMIT)
{
cout << F[N] << endl;
int i,j;
for (i=N,j=0;i;i=deci[i])
sel[++j] = i;
for (i=0;j;j--)
{
for (++i;i < sel[j];++i)
printf("%s ",sent[i]);
printf("%s\n",sent[i]);
}
}
else
printf("Too hard to arrange\n");
printf("--------------------\n");
}

int main()
{
int i,T;
freopen("poet.in","r",stdin);
freopen("poet.out","w",stdout);
scanf("%d",&T);
for (i=1;i<=T;i++)
{
init();
solve();
print();
}
return 0;
}
解法4 决策单调性优化动态规划
算法描述
可以观察到或证明出，该状态转移方程满足决策单调性。因此我们可以使用双端队列维护每个决策区间，对于每个新决策使用二分查找确定位置并更新决策队列。
算法证明
再次观察状态转移方程

设，状态转移方程可以化为1D/1D标准形式

要证明上述状态转移方程具有决策单调性，k(i)表示F[i]的最优决策，即

当且仅当满足四边形不等式

设，，。其中。
于是。要证明①，只需证明

设，，则②等价于

因为，且D[i+1]恒为正数，所以S<T。于是要证明③，只需证明下列函数在整数域内(非严格)单调递增

(1)若P为偶数
，求导得。
因为，P-1为奇数，所以，恒成立，f(x)在实数域内单调递增。
(2)若P为奇数
(a)当X-C>=0
，求导得。
因为，P-1为偶数，所以，恒成立，f(x)在实数域内单调递增。
(b)当X<=0
，求导得。因为P-1为偶数，恒成立，f(x)在实数域内单调递增。
(c)当0<X<C
，求导得。因为P-1为偶数，恒成立，f(x)在实数域内单调递增。
综上所述，f(x)在实数域内单调递增，即在正数域内单调递增，因而③②①依次得证。
因此状态转移方程具有决策单调性。
复杂度分析
状态数为O(N)，每次维护决策队列的时间为O(logN)，所以时间复杂度为O(NlogN)。在测试中通过了全部测试点，拿到了100分。
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* Problem: NOI2009 poet
* Author: Guo Jiabao
* Time: 2009.9.22 16:30
* State: Solved
* Memo: 动态规划 决策单调性
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long big;

const int MAXN=100001,SMAXL=32;
const big LIMIT=1000000000000000000LL;

struct interval
{
int s,t,deci;
}di[MAXN];

double F[MAXN];
int N,L,P,Stop;
int Len[MAXN],deci[MAXN],sel[MAXN];
char sent[MAXN][SMAXL];
big G[MAXN],sumL[MAXN];

void init()
{
scanf("%d%d%d\n",&N,&L,&P);
for (int i=1;i<=N;++i)
{
gets(sent[i]);
Len[i] = strlen(sent[i]);
sumL[i] = sumL[i-1] + Len[i];
}
}

double dpower(double a)
{
double t=1;
if (a < 0)
a = -a;
for (int i=1;i<=P;i++)
t *= a;
return t;
}

double getF(int i,int j)
{
double t = dpower(sumL[i] - sumL[j] + i-j-1 - L);
return F[j] + t;
}

big power(big a)
{
big t=1;
double dt=1;
if (a < 0)
a = -a;
for (int i=1;i<=P;i++)
{
dt *= a;
if (dt > LIMIT)
return LIMIT+1;
t *= a;
}
return t;
}

big getG(int i,int j)
{
big t = power(sumL[i] - sumL[j] + i-j-1 - L);
if (F[j] + t <= LIMIT)
return G[j] + t;
else
return LIMIT + 1;
}

void update(int i)
{
while (di[Stop].s > i && getF(di[Stop].s,i) < getF(di[Stop].s,di[Stop].deci) )
{
di[Stop-1].t = di[Stop].t;
Stop --;
}
int a=di[Stop].s,b=di[Stop].t,m;
if (a < i+1)
a = i+1;
while (a+1<b)
{
m = (a + b) >> 1;
if ( getF(m,di[Stop].deci) < getF(m,i) )
a = m;
else
b = m-1;
}
if ( a < b && getF(b,di[Stop].deci) < getF(b,i) )
a = b;
if (a+1 <= di[Stop].t)
{
di[Stop + 1].s = a+1;
di[Stop + 1].t = di[Stop].t;
di[Stop + 1].deci = i;
di[Stop].t = a;
++Stop;
}
}

void solve()
{
int i,j;
di[Stop=1].s = 1;
di[Stop].t = N;
for (i=j=1;i<=N;i++)
{
if (i > di[j].t)
++j;
deci[i] = di[j].deci;
F[i] = getF(i,deci[i]);
update(i);
}
for (i=1;i<=N;i++)
G[i] = getG(i,deci[i]);
}

void print()
{
if (G[N] <= LIMIT)
{
cout << G[N] << endl;
int i,j;
for (i=N,j=0;i;i=deci[i])
sel[++j] = i;
for (i=0;j;j--)
{
for (++i;i < sel[j];++i)
printf("%s ",sent[i]);
printf("%s\n",sent[i]);
}
}
else
printf("Too hard to arrange\n");
printf("--------------------\n");
}

int main()
{
int i,T;
freopen("poet.in","r",stdin);
freopen("poet.out","w",stdout);
scanf("%d",&T);
for (i=1;i<=T;i++)
{
init();
solve();
print();
}
return 0;
}
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标签：NOI2009, 优化, 决策单调性, 凸包, 动态规划

24 Responses to “NOI 2009 诗人小G”
1. lccycc Says:
三月 9th, 2010 at 16:37:04
太强悍了!
[回复]
2. lccycc Says:
三月 9th, 2010 at 16:44:04
弱问为什么算法三O(n)的复杂度还过不了全部呢?
[回复]
BYVoid 回复:
三月 9th, 2010 at 18:34:48
算法三是针对第6，7个测试点的特殊算法，算法二可以过了前5个点
[回复]
3. wwy250 Says:
三月 24th, 2010 at 06:11:32
弱问
我知道若满足四边形不等式 一定有决策单调性
但是满足决策单调性一定满足四边形不等式么？
您文中说的是当切仅当
[回复]
BYVoid 回复:
三月 24th, 2010 at 09:03:07
是，参加杨哲论文
[回复]
wwy250 回复:
三月 24th, 2010 at 09:06:23
我有看杨哲论文 没有发现有关于充分必要的结论或证明
[回复]
wwy250 回复:
三月 24th, 2010 at 09:12:00
您能讲解一下么。。。 我自己怎么也推不出来
[回复]
BYVoid 回复:
三月 24th, 2010 at 09:21:15
2007 杨哲《凸完全单调性的一个加强与应用》 幻灯片第三页的证明每一步都是充分必要的
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wwy250 回复:
三月 24th, 2010 at 09:22:57
可是你用的这个性质在第四页。。。
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4. Orz Says:
四月 11th, 2010 at 13:25:52
神牛能把这题的数据发给我吗？感激不尽…
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Orz 回复:
四月 11th, 2010 at 13:26:18

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BYVoid 回复:
四月 11th, 2010 at 13:36:10

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Orz 回复:
四月 11th, 2010 at 13:39:13
网上我找过了，就只有day1的另两题的数据，这题是没有的..
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BYVoid 回复:
四月 11th, 2010 at 15:09:33
好好找找，这题数据50多MB，没办法发
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5. 哈凌大侠 Says:
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