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试论解数学题的思维程序
青山脚下 发表于 2007-3-19 9:15:00

关键词：释题 分析 突破口 迂回 解题 反思
内容提要：对于同一个数学问题的解题策略，教师能想到而学生想不到，少数人能想到而多数人想不到.其原因是多元的.是否掌握解题思维程序，是其中的一个极为重要的原因，本文即从释题、分析、解题、反思这四个环节，来揭示解题的思维程序及其作用.

解数学题时常常会出现这种情形：对于同一个数学问题的解题策略，或某一个与之有关的规律性东西，教师能想到的而学生想不到，少数人能想到的而多数人想不到.其原因当然是多元的，但除了解题经验和知识量的差异外，是否掌握了解题思维的程序，也是其中的一个极为重要的原因.因此一个数学教师有必要探索初等数学的解题思维程序，并在解题教学中尽可能多地做出示范，使自己的学生对于解题思维的程序、思维受阻后的迂回及转换有一个较为清晰的认识，从根本上提高学生的解题能力及科学思维素质.
本文拟从释题、分析、解题、反思这四个环节，来揭示解题的思维程序、一般规律及其作用.
1、释题
释题的目的是为了弄清问题.它是解题思维的初始环节，也是决定其它三个解题环节能否顺利完成的基础.有时学生遇到题目感到无从下手，往往是由于对题目自身的含义理解得不够深刻造成的.因此教者要教会学生从问题的叙述入手，观察揣摩整个问题，仔细地研究题目的意义，尽可能认识感知问题的表向，并指导学生很好地完成下列工作：
①找出问题的已知条件和所求.
②将已知条件和所求分成若干个部分.
③画出图形或列出一些数据.
④在图形或数据中引入恰当的符号，并尽可能多地将已知和所求“标”出来.
通过上述的释题工作，不但能教会学生将手头的“问题”弄得尽量清晰、鲜明，而且教者也在释题过程中不知不觉地向学生渗透了解题策略中的“具体化原则”，使学生通过上述这些显然具有一般性的工作程序，逐步悟出释题的真谛——“问题解决”的奥妙常常存在于对题目的“最初认识”过程之中.
2、分析
教育学生，当你对问题的含义已十分清晰，以致暂时不去看它也不会忘记时，便可全神贯注地进行解题思维程序的第二个环节——分析.
分析，在解题过程中思维最活跃，最有创造力.能否完成这一思维程序，是完成解题目标的关键所在，也是培养和提高学生科学思维素质最有利的时机.笔者认为教会学生完成下列工作，将对学生解决问题起到难以估量的作用.
（1）寻找突破口，并努力向所求靠拢
所谓的突破口，常常是人们在释题中较为敏感的那些因素.所以我们要从“问题”的叙述中，努力寻找那些最熟悉、最感兴趣、最怀疑、最难于下手的部分，一般有以下几种情形：
①是“问题”已知条件中的一部分.
②是“问题”的所求.
③是“问题”中的一个特殊的数据或表达式子.
④是“问题”的图形或图形中的一部分.
我们之所以会认为某部分是问题的突破口，是因为我们是由此部分可想到下列问题中的若干个.
①由此可导出一些有用的东西.
②由此联想到了一些较为熟悉的定理.
③由此联想到了一个较为熟悉的解题方法.
④由此联想到了一个较为熟悉的解题规律.
⑤由此联想到了某个解题策略.
⑥由此联想到了一个早已解决并能用得上的问题.
⑦由此能构造出一个有用的图形、函数、方程、多项式，或其它数学对象.
总之，把你所想到的问题都找出来，通过筛选和有序地排列，并与所求进行比较，这一过程是由突破口向所求靠拢的过程，也是促使你熟悉解题技能，培养探索数学问题能力的过程.
（2）思维受阻后的迂回、转换
在由突破口向“问题解决”靠拢的过程中，“一帆风顺”的时候并不多见，常常会“卡壳”于某一细节之中.此时，教者想方设法教会学生怎样从“无计可施“的窘境中摆脱出来，则显得十分重要.
思维受阻后的迂回与转换一般要经历如下思考工作：
①利用这个“突破口”可以把所求确定到什么程度？在此基础上若完成解题目标，还需要什么条件？
②回到已知中去，能否找到继续解决问题所必须而原来并未注意到的条件？
③图形与已知条件是否充分？能否引入辅助元素而创设继续解决问题所必须而原题并不具备的条件？
④重新揣摩“所求”.回忆你是否解决过与其类似的问题？是否了解解决此类问题的一般方法和规律？
经历了上述几项工作后，仍然不能摆脱困境，还可以考虑如下问题：
⑤是否考虑了“问题”中包括的所有的概念？
⑥是否利用或违背了某个概念的规律性的东西？
⑦解决此问题是否有特殊的方法和规律？
⑧解决此问题是否另有途径（重新选择突破口）？
通过“分析”这一环节可以看出，设法启发学生“思维受阻”时找到应采取的策略，正是我们所要达到的目的之一.这就要求教者在平时的解题教学中，不要轻易地丢掉学生找到的“突破口”.更不要轻易地放弃一个勇于发言，而又“启而不发”的学生的某些意见.要知道这恰恰是教者向学生展现思维受阻后的迂回和转换这一思维过程的最有利的时机.不要过分地计较教学进度，重要的是学生得到了多少比纯数学问题本身更为重要的东西，即当问题有所变化，乃至变化较大时，学生也能应付，这才是解决问题的最可贵之处.
3、解题
解题是对释题、分析加以落实和验证的过程.当人们抓住了问题的主要联系，包括可能成立的解题细节，便可进入解题这一程序.解题包括两项工作：
①完成释题、分析中认为可行的一切细节，并加以完善，解题过程应力求清晰、详尽、规范.
②边完成解题细节，边用逻辑推理或直观观察的方法加以验证.
解题绝非是释题、分析的终结，而常常是“问题”的再分析，乃至再释题的开始.经过释题、分析这两大环节，进入解题这一环节后，有时仍然存在某些纰漏乃至谬误，需要在重新释题和分析中去解决.这便是“实践、认识、再实践、再认识”的认知规律在解释活动中的体现.要让学生学会并掌握这种“循环往复”的解题思维规律，能在解题受挫时，回到原题中去，寻求新的解题方法.
4、反思
学生常犯的错误是，当他们得到问题的解答并很干净地写下解题步骤时，他们的思维便松懈了，认为完事大结了.这样就错过了一个重要而又有效益的机会.我们教者的重要责任之一，就是要纠正学生的这类错误.事实上没有任何问题可以解决得十全十美，总有剩下的工作要做.通过充分地探讨和钻研，我们或许能够改进这个解答，至少能提高对解答的理解水平，并从中得到一些规律的东西.为此，“反思”这一环节中，我们应提醒学生做以下几项工作：
（1）检验与改进
①能否一眼看出答案的正确性？
②能否检验这个解答？
③考虑解的细节，尤其是较冗长的部分，能否使它尽可能地简短些？
④能否用别的方法导出这个结果？
（2）总结与应用
①总结本题应用了哪些知识？通过此题的解答，你对所学的这些知识又有了哪些新的认识？
②总结本题的解题方法，找出其规律性，并试图应用于其它问题.
③此题的结论或整个命题能否应用于解决其它问题？
（3）引伸与拓广
①能否将此题的所求加以改变？
②能否将此题的条件加以变更得出新的所求？
③能否将此题的已知条件和所求进行重新组织，得到新的有用的问题？
不难看出学生在上述“反思”这一环节中，不但可以将手头的问题处理得尽善尽美，而且还可能使学生对所学的知识认识得更深刻，对由此派生出来的新问题、新规律有较清醒的认识.这对习题的类化，对学生掌握解题思维规律都有很大的益处.
总之，我们利用解题所开创的有利时机，通过“释题、分析、解题、反思”这四个环节，使学生从不断的发现，微小的成功和受挫后的反思中，充分地感受到“解题”的无穷乐趣.如此便于逐步地掌握解题的思维规律和程序，从根本上提高学生的解题能力和科学思维素质.通过解题思维程序的探讨和示范，大大地扩展了学生对问题认识的广度和深度，并赋予学生以极大的认识能力和创造能力.