数学问题解决一般原则及思考方法.doc

数学问题解决的一般原则和思考方法
河南省信阳市平桥区信钢学校 （邮编：464194） 黄成
【摘要】在解决数学问题时，突出目的性，抓住解题目标，按照一些基本原则，逐步分解目标并分别解决，把复杂问题逐步分解简化，使问题逐步得到解决，这是数学问题解决的一般原则和途径方法。
【关键词】数学—问题解决—原则—方法
在解决数学问题时，大凡都有过这样的经历：面对要解决的数学问题茫然不知所措，觉得无计可施。这时候怎样寻求解决问题的办法呢？有效途径就是正确地思考和研究。教师和学生一道，和学生站在同一起点，大家都一样的不会解决这个问题，共同思考研究决策，共同研究怎样做才能有效地解决问题。此时，教师所要教的和学生所要学的都不是如何解答。而应当是在这样没有解法的情况下，思考研究如何有效地寻求解决问题的办法。首先思考“我该做什么？”，先解决解题总目标下当前近期所须解决的小目标分目标；解决之后，再找另一个小目标解决，逐一往下进行，逐步逼近总目标以解决之。围绕数学问题解决我们所做的这些工作，目的始终是第一位的，目的贯穿于问题解决全过程的每一个环节，方法服务服从于目的。我称这样紧紧以目的为中心想办法使用种种方法的原则为数学问题解决的一般原则。一般地，在解决数学问题时遵从这一原则，才能使解题的方法正确合理有效，使问题更易于解决。下面我仅从代数方面略举几例试图说明我的一些思考和做法，与同仁共勉。
一、 简化的原则
简化的原则是第一原则，无论何时何处，能简化则必须简化。这里所说的“何时”是指解题过程的任何环节，所说的“何处”是指题目的已知条件、结论等。
例1：已知

求证：abc=1
分析：条件繁琐，故已知条件须简化。再思考怎样实现简化，作决策，通分是一个方法，但太繁，不便达到简化的目的；故另寻方法，将1移到左边再部分通分，可以逐步简化。因此这个方法可行。
证明：由已知得

例2、已知a、b是方程x2－4x+1=0的根。求
分析：注意到有a+b=4,ab=1,可实现简化。
解法1：由已知得a+b=4，ab=1

解法2：由已知得ab=1

二、 以结论为导向
人要认识什么是什么时，首先注意分析认识它是哪一类，由此进而认识它是什么。这就是所谓以类为导向。这里所言以结论为导向，是寻求小目标的又一方法。
例3：已知a、b是正实数，且
分析：已知、结论均繁杂，故都需简化。注意到 互为倒数，以此为导向，即可找到如下解法：
解：

①

由①可得

例4：若a、b满足
分析：认识到结论一定是只含s不含a、b的，作出消元的决策。
解法1：

又由已知有

解法2：

故
三、 利用对称
遇到有“对称型”题目，利用对称性作简化是重要手段。

解：先作代表元分析：
①
同理可得：
②
③
①+②+③，并利用已知，得：

四、 注意隐含条件
隐含条件只是易被忽略的条件，而非深藏不露的条件。解题遇到困难时，要想到求助隐含条件这些“老朋友”帮助解决问题的途径。
例6：

分析：这里有隐含条件x≠0， y>1,0<x<1，应予以注意。
解：依题设知x≠0， y>1,0<x<1

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