2017届（理）人教版A版函数的奇偶性与周期性检测卷.doc

A组　考点能力演练
1．(2015·陕西一检)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：f(x)在R上为奇函数⇒f(0)＝0；f(0)＝0　f(x)在R上为奇函数，如f(x)＝x2，故选A.
答案：A
2．(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝－x＋log2＋1，则f＋f的值为(　　)

A．2 B．－2
C．0 D．2log2
解析：由题意知，f(x)－1＝－x＋log2，f(－x)－1＝x＋log2＝x－log2＝－(f(x)－1)，所以f(x)－1为奇函数，则f－1＋f－1＝0，所以f＋f＝2.
答案：A
3．设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝，则f＝(　　)
A．0 B．1
C. D．－1
解析：因为f(x)是周期为3的周期函数，所以f＝f＝f＝4×2－2＝－1，故选D.
答案：D
4．在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当0<x≤1时，f(x)＝2x，则f(2 015)＝(　　)
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：由f(x＋3)＝f(x)得函数的周期为3，所以f(2 015)＝f(672×3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.
答案：A
5．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为(　　)
A．{x|－1<x<0，或x>1}
B．{x|x<－1，或0<x<1}
C．{x|x<－1，或x>1}
D．{x|－1<x<0，或0<x<1}
解析：∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，
∴f(－1)＝0，
从而有函数f(x)的图象如图所示：
则有不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为
{x|－1<x<0或0<x<1}，选D.
答案：D
6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)＝1，且对任意的x∈R，都有f(x＋3)＝f(x)，则f(2 017)＝________.
解析：由f(x＋3)＝f(x)得函数f(x)的周期T＝3，则f(2 017)＝f(1)＝f(－2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2 017)＝f(2)＝1.
答案：1
7．函数f(x)＝为奇函数，则a＝______.
解析：由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1.
答案：－1
8．已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：①直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴；②f(x＋2)＝－f(x)；③当1≤x1<x2≤3时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，则f(2 015)，f(2 016)，f(2 017)从大到小的顺序为________．
解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的函数，由③知f(x)在[1,3]上是减函数．所以f(2 015)＝f(3)，f(2 016)＝f(0)＝f(2)，f(2 017)＝f(1)，所以f(1)>f(2)>f(3)，即f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)．
答案：f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)
9．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
10．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f<0的解集．
解：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝0.
又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，
若f<0＝f(1)，∴
即0<x<1，解得<x<或<x<0.
f<0＝f(－1)，∴
∴x<－1，解得x∈∅.
∴原不等式的解集是
.
B组　高考题型专练
1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.
答案：C
2．(2014·高考安徽卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)
A. B.
C．0 D．－
解析：∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，
又∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f＝0，
即f＝f＋sin＝0，
∴f＝，
∴f＝f＝f＝.故选A.
答案：A
3．(2015·高考广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
解析：选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C为偶函数，只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数．
答案：D
4．(2015·高考天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a<b<c B．a<c<b
C．c<a<b D．c<b<a
解析：由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数得m＝0，则f(x)＝2|x|－1，当x∈[0，＋∞)时，f(x) ＝2x－1递增，又a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，且0<log23<log25，则f(0)<f(log23)<f(log25)，即c<a<b.
答案：C
5．(2015·高考湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
解析：由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A.
答案：A