第二章第7讲对数与对数函数.doc

第7讲　对数与对数函数

1．对数
概念
如果ax＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数
性质
底数的限制：a>0，且a≠1
对数式与指数式的互化：ax＝N⇒logaN＝x
负数和零没有对数
1的对数是零：loga1＝0
底数的对数是1：logaa＝1
对数恒等式：alogaN＝N
运
算
性质
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换
底公式
公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)
推广：logambn＝logab；logab＝
　　2.对数函数的图象与性质

a>1
0<a<1
图象

性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x>1时，y>0
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
　　3.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[做一做]
1．计算：2log510＋log50.25＝(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．4
答案：C
2．(2014·高考天津卷改编)函数f(x)＝logx2的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：选B.因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，0)．
3．f(x)＝的定义域为________．
解析：∵1－lg(x－2)≥0，∴lg(x－2)≤1，∴0<x－2≤10，∴2<x≤12，∴f(x)＝的定义域为(2，12]．
答案：(2，12]

1．辨明三个易误点
(1)在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；
(2)对公式要熟记，防止混用；
(3)对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0<a<1和a>1分类讨论，否则易出错．
2．对数函数图象的两个基本点
(1)当a>1时，对数函数的图象“上升”；
当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．
(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．
[做一做]
4．函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象经过定点A，则A点坐标是(　　)
A. B.
C．(1，0) D．(0，1)
答案：C
5．函数y＝log(3x－a)的定义域是，则a＝________．
答案：2

,[学生用书P30～P31])

__对数式的化简与求值________________

　计算下列各式：
(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；
(2)lg ＋lg 70－lg 3－；
(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
[解]　(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
(2)原式＝lg －
＝lg 10－
＝1－|lg 3－1|＝lg 3.
(3)原式＝
＝
＝·＝.
[规律方法]　对数运算的一般思路：
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
[注意]　在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化．
　1.(1)计算：
；
(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n.
解：(1)原式
＝
＝
＝
＝＝＝＝1.
(2)∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.

__对数函数的图象及应用______________

　(1)(2014·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)

(2)若不等式(x－1)2<logax在x∈(1，2)内恒成立，则实数a的取值范围为________．
[解析]　(1)法一：分a>1，0<a<1两种情形讨论．
当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；
当0<a<1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，排除A，由于y＝xa递增较慢，所以选D.
法二：幂函数f(x)＝xa的图象不过(0，1)点，排除A；B项中由对数函数g(x)＝logax的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D对；C项中由对数函数g(x)＝logax的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．
(2)设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．
当0<a<1时，显然不成立；
当a>1时，如图所示，

要使x∈(1，2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，
∴1<a≤2，即实数a的取值范围是(1，2]．
[答案]　(1)D　(2)(1，2]
　若本例(2)变为：已知不等式x2－logax<0，当x∈时恒成立，求实数a的取值范围．
解：

由x2－logax<0，
得x2<logax.
设f(x)＝x2，g(x)＝logax.
由题意知，当x∈时，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方，
如图，可知
即
解得≤a<1.
∴实数a的取值范围是.
[规律方法]　(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a＞1或0＜a＜1的两种不同情况．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
　2.(1)(2014·高考福建卷)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)

(2)不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为________．
解析：(1)由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符．故选B.
(2)不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a>1，其整数解集为{2，3，4}，则应满足得≤a<，则a的取值范围为[，)．

答案：(1)B　(2)[，)

__对数函数的性质及应用(高频考点)

对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．
高考对对数函数性质的考查主要有以下四个命题角度：
(1)考查对数函数的定义域；
(2)考查对数函数的单调性、奇偶性；
(3)比较对数值的大小；
(4)解简单的对数不等式．
　(1)(2014·高考辽宁卷)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则(　　)
A．a>b>c　　　　　　　 B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
(2)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1.
①求f(x)的定义域；
②判断f(x)的奇偶性并予以证明；
③当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围．
[解析]　(1)0<a＝2－<20＝1，b＝log2<log21＝0，c＝log>log＝1，
即0<a<1，b<0，c>1，所以c>a>b.
[答案]　C
(2)解：①f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
则解得－1＜x＜1.
故所求定义域为{x|－1＜x＜1}．
②f(x)为奇函数．证明如下：
由①知f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}，且
f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)．
故f(x)为奇函数．
③由f(x)＞0，得loga(x＋1)－loga(1－x)＞0，
∴loga(x＋1)＞loga(1－x)，又a＞1，
∴，解得0＜x＜1.
所以使f(x)＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}．
[规律方法]　利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
　3.(1)(2015·辽宁省五校第一协作体高三联考)设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2) 的大小关系是(　　)
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)<f(2)
C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定
(2)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为(　　)
A. B.
C．2 D．4
(3)已知函数f(x)＝ln(1－)的定义域是(1，＋∞)，则实数a的值为________．

解析：(1)由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，根据函数f(x)为偶函数，可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．
(2)显然函数y＝ax与y＝logax在[1，2]上的单调性相同，因此函数f(x)＝ax＋logax在[1，2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝(a＋loga1)＋(a2＋loga2)＝a＋a2＋loga2＝loga2＋6，故a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)．故选C.
(3)由题意得，不等式1－＞0的解集是(1，＋∞)，由1－＞0，可得2x＞a，故x＞log2a，由log2a＝1，得a＝2.
答案：(1)A　(2)C　(3)2

,[学生用书P31～P32])

方法思想——求解不等关系中的参数问题(一题多解)

　　　(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0]　　　　　　　 B．(－∞，1]
C．[－2，1] D．[－2，0]
[解析]　法一：(推理计算法)若x≤0，|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x，x＝0时，不等式恒成立，x<0时，不等式可变形为a≥x－2，
而x－2<－2，可得a≥－2；
若x>0，|f(x)|＝|ln(x＋1)|＝ln(x＋1)，
由ln(x＋1)≥ax，可得a≤恒成立，
令h(x)＝，则h′(x)＝，
再令g(x)＝－ln(x＋1)，则g′(x)＝<0，
故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)＝0，
可得h′(x)＝<0，
故h(x)在(0，＋∞)上单调递减，x→＋∞时，h(x)→0，
所以h(x)>0，a≤0，综上可知，－2≤a≤0，故选D.

法二：(数形结合法)
由y＝|f(x)|的图象知：
①当x>0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.
②当x≤0，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.
故由|f(x)|≥ax，得x2－2x≥ax.
当x＝0时，不等式为0≥0成立．
当x<0时，不等式等价于x－2≤a.
∵x－2<－2，
∴a≥－2.
综上可知：a∈[－2，0]．
法三：(分离参数法)
∵|f(x)|＝
∴由|f(x)|≥ax分两种情况：
①恒成立，可得a≥x－2恒成立，则a≥(x－2)max，即a≥－2，排除选项A，B；
②由恒成立，根据函数图象可知a≤0.
综合①②得－2≤a≤0，故选D.
法四：(特值法)
作出函数y＝|f(x)|的图象(如法二中图)，取a的特殊值进行检验，如取a＝1不满足不等式，可排除选项B、C，取a＝－5，不满足不等式，可排除选项A，故选D.
[答案]　D
[名师点评]　本题给出四种解法，方法二、三、四都利用了数形结合思想，而方法一是推理计算，在方法三中又利用了分离参数，所以当x≤0时，把x2－2x≥ax化为x[(x－2)－a]≥0，得到(x－2)－a≤0，就达到了参变分离的效果；当x>0时，采取画图，数形结合就可以看出a的范围．
高考试题大多数具有多种解决方法，选择不同的方法可能出现简与繁的较大差异，在高考复习中要注意试题(特别是选择题)的一些特殊解法．
　已知a＝5log3.4，b＝5log3.6，c＝，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
解析：选C.c＝＝5－log0.3＝5log.
法一：在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x的图象，如图所示．
由图象知：

log23.4>log3>log43.6.
由于y＝5x为增函数，
∴5log23.4>5log3>5log43.6，∴a>c>b.
法二：∵log3>log33＝1，且<3.4，
∴log3<log33.4<log23.4.

∵log43.6<log44＝1，log3>1，
∴log43.6<log3.
∴log23.4>log3>log43.6.
由于y＝5x为增函数，∴5log3.4>5log.>5log3.6.
即5log3.4>>5log3.6，故a>c>b.

1．(2014·洛阳市高三年级统一考试)函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－3，0)　　　　　　　 B．(－3，0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)
解析：选A.∵f(x)＝，∴要使函数f(x)有意义，需使，即－3<x<0.
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：选A.f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
3．(2014·高考山东卷)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)

A．a>1，c>1 B．a>1，0<c<1
C．0<a<1，c>1 D．0<a<1，0<c<1
解析：选D.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a<1，0<c<1.
4．(2014·高考天津卷)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
解析：选C.因为π>2，所以a＝log2π>1.因为π>1，所以b＝logπ<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0<c<1.所以a>c>b.
5．已知函数f(x)＝ln ，则f(x)是(　　)
A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，且在R上单调递增
C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．偶函数，且在R上单调递减
解析：选A.要使函数有意义，则ex>e－x，解得x>0，即函数的定义域是(0，＋∞)，故函数是非奇非偶函数．又y＝在(0，＋∞)上递增，所以f(x)在(0，＋∞)上递增，故选A.
6．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．
解析：令u＝x2－2x，则y＝log3u.
∵y＝log3u是增函数，u＝x2－2x(u＞0)的减区间是(－∞，0)，
∴y＝log3(x2－2x)的减区间是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
7．(2014·高考重庆卷)函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
解析：f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·2log2(2x)＝log2x(1＋log2x)．设t＝log2x(t∈R)，则原函数可以化为y＝t(t＋1)＝－(t∈R)，故该函数的最小值为－.故f(x)的最小值为－.
答案：－
8．计算下列各题：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)log3·log5[4log210－(3)－7log72]．
解：(1)lg －lg ＋lg
＝×(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(lg 5＋2lg 7)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 5＋lg 7
＝lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝.
(2)原式＝log3·log5[2log210－(3)－7log72]
＝·log5(10－3－2)
＝·log55＝－.
9．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的单调性．
解：(1)由ax－1>0，得ax>1，当a>1时，x>0；
当0<a<1时，x<0.
∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．
(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1< ax1< ax2，
故0< ax1－1<ax2－1，
∴loga(ax1－1)<loga(ax2－1)．
∴f(x1)<f(x2)．
故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
综上知，函数f(x)在定义域上单调递增．

1．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)

解析：选B.∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，
∵g(x)＝－logbx的定义域是(0，＋∞)，故排除A.
若a＞1，则0＜b＜1，
此时f(x)＝ax是增函数，
g(x)＝－logbx是增函数，
结合图象知选B.
2．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.当0<a<1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga>0，即0<－a<1，解得<a<，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.
3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
解析：由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，
又＋＝2，即＋＝2，
∴＝2，即m＝.
答案：
4．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n＋m＝________．

解析：根据已知函数f(x)＝|log2x|的图象知，0<m<1<n，所以0<m2<m<1，根据函数图象易知，当x＝m2时取得最大值，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，又0<m<1，解得m＝.再结合f(m)＝f(n)求得n＝2，所以n＋m＝.
答案：
5．(2015·辽宁沈阳模拟)设f(x)＝|lg x|，a，b为实数，且0<a<b.
(1)求方程f(x)＝1的解；
(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2f，求证：a·b＝1，>1.
解：(1)由f(x)＝1，得lg x＝±1，
所以x＝10或.
(2)证明：结合函数图象，由f(a)＝f(b)可判断a∈(0，1)，b∈(1，＋∞)，

从而－lg a＝lg b，从而ab＝1.
又＝，
令φ(b)＝＋b(b∈(1，＋∞))，
任取1<b1<b2，
∵φ(b1)－φ(b2)＝(b1－b2)·<0，
∴φ(b1)<φ(b2)，
∴φ(b)在(1，＋∞)上为增函数．
∴φ(b)>φ(1)＝2.∴>1.
6．(选做题)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：(1)∵f(1)＝1，
∴log4(a＋5)＝1，
因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0，得－1<x<3，
即函数f(x)的定义域为(－1，3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1，1)上递增，在(1，3)上递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，递减区间是(1，3)．
(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有
解得a＝.
故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.