必修1新课导学案：211指数与指数幂.doc

学校 乐从中学 年级 高一 学科 数学 导学案
主备 商晓阳 审核 张活富 授课人 授课时间 班级 姓名 小组
§2.1.1 指数与指数幂的运算
【学习目标】
1.理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念；
2.掌握根式与分数指数幂的互化；
3.掌握有理数指数幂的运算性质；
4.了解无理数指数幂的意义.
【引入课题】
折纸问题：一张正方形的纸，每折1次，纸的厚度就变成原来的 倍， 折2次，纸的厚度就变成原来的 倍，
……,
折n次，纸的厚度就变成原来的 倍 ；
细胞分裂问题：有一种细胞，每分钟分裂一次，每次能把一个细胞分裂成两个，经过30分钟后，这个细胞可以分裂为 个细胞；
教材第48页中的问题2：
生物体内 碳14含量P与死亡年数t之间的关系：
；
当生物死亡了5730，57302,57303，…个5730年后，它体内碳14的含量P分别为，……，我们知道，这些数是正整数指数幂，它们的值分别为 ， ， ，……。
当生物死亡了6000年，10000年，10000年后，它体内的碳14含量分别为
问题1：这三个数又是什么含义呢？
问题2：如何计算：
——这就是我们将要学习的内容——《指数与指数幂的运算》。
【学习过程】
在初中，我们已经学习了整数指数幂，下面我们将把指数的取值范围从整数推广到实数。在学习实数指数幂之前，我们先学习根式的相关知识。
一、 新知探究 根式的概念
阅读教材第49页根式的内容，然后回答下列问题.
探究任务1
<1>什么是平方根？什么是立方根？ 一个数的平方根有几个,立方根呢？
若,则叫做的____,一个正实数的平方根有____个,它们互为＿＿数,如:____ ，____是4的平方根,负数没有平方根；
同理,若,则叫做的____, 一个数的立方根只有____,如: ____，____ 就是8的立方根；____，-8的立方根为____；
类比平方根、立方根的定义,若，则叫的____.若，则叫的____.
类比以上定义，我们得到
<2> 根式概念
如果 那么叫做的 ，其中n＞1，且.
<3>你能根据次方根的意义求出下列数的次方根吗?
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；

④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；

探究任务2：
任何一个实数的偶次方根是否存在呢?奇次方根呢？根据上题结果，你能得出什么样的结论呢？

→结论：
当为奇数
当为偶数

规定：0的次方根为,记作=＿＿.
注意：式子叫做＿＿，这里叫做，叫做＿＿.
叫做，这里叫做，叫做。
探究任务3：
（1）分组讨论教材第50页的探究问题，得出什么结论？
（2）比较区别与.

→结论：
①对于，当为奇数时，先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数，即= ；当为偶数时，先偶次乘方，再开方（同次），结果为被开方数的绝对值，即=||=
②一定有意义，即；
对于，当为奇数时，一定有意义，即；当为偶数时，若，则式子无意义，所以，，式子才有意义，此时，先开次方根,再乘次方，结果为被开方数，即 ；
例题与练习
自学教材第50页例1，然后完成下面的尝试练习：

尝试练习一
求出下列各式的值:<1>；<2> ；<3> (a≤1)；

尝试练习二
求出下列各式的值：<1>； <2> ； <3>；

二、回顾与讨论
（1）整数指数幂的含义： ，即____ 个的相乘。
（2）设,则 ； ； ； ———→
（3） ；(为正整数，且)
三、新知探究 分数指数幂
实例引入：，
探究任务4：从以上两个例子你能发现什么结论？

当根式的被开方数的指数能被根指数_____时，根式可以表示为_______的形式，
即的形式；
探究任务5：如何表示？_______________________________
（1）规定正数的正分数指数幂意义：

于是，当，根式都可以写成分数指数幂的形式。
练习与巩固
用根式的形式表示下列各式（>0）：
（1）；（2）；（3）

实例引入：=, ,
探究任务6：
_____，_____（>0）
（2）规定：正数的负分数指数幂意义：
。
（3）规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
例题与练习
(1)课本第54页的练习—第1题的后两小题.

(2)利用分数指数幂的意义解答课本第51页的例2.

特别指出：学习了了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂同样适用．
（4）有理指数幂的运算性质：
对于任意的有理数，均有下面的运算性质：
（1）· ；
（2） ；
（3）
回到前面的问题，则有；
对于本节开头的问题1，考古学家正是利用有理数指数幂的知识，计算出生物死亡6000年，10000年，100000年后体内碳14含量P的值。例如
当t=6000时，P=（精确到0.001），即生物死亡6000年后，其体内碳14的含量约为原来的48.4%。
例题与练习
根据有理指数幂的运算性质，自己动手做做课本第51页的例3、第52页的例4.

小结：
分数指数四则运算的基本法则：首先是对其系数进行四则运算，然后是对同底数幂进行四则运算，并且要注意符号。
例题与练习
自己动手做做课本第52页的例5.

小结：
利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的 指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算。
巩固练习
课本第54页练习第3题（2）、（4）。

四、新知探究 无理数指数幂
我们已经将指数的取值范围从整数推广到了有理数，想一想，当指数是无理数时，比如，它又表示什么含义呢？阅读教材第53页的表格，思考这个问题。

无理数指数幂的含义：
一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．

尝试练习课本第53页的思考题。

特别指出：有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
例题
计算

五、提升练习
（1）化简：

（2）已知，求下列各式的值
<1> <2> <3>

六、归纳小结
本节主要学习了：1、根式与分数指数幂的概念；
2、根式与分数指数幂之间的互化以及指数幂的运算．
在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．

七、作业布置
课本第54页 第2题（1）、（3）、（5）
课本第59页 第4题（2）、（4）、(6)、(8)

教或学反思本节课学了什么、学习中出现的问题、得到什么启示

（教师“复备”栏或学生笔记栏）

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思考：在什么条件下
与相等？

回顾：
整数 指数的运算 性质