【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习-第六章-数列6.4数列的通项与求和教学案-理-新人教A版-.doc

6.4数列的通项与求和1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法数列求和的常用方法1公式法(1)直接用等差、等比数列的求和公式(2)掌握一些常见的数列的前n项和123n_；135(2n1)_；2462n_；122232n2_；132333n3_.2倒序相加法如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如_数列的前n项和公式即是用此法推导的3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如_数列的前n项和公式就是用此法推导的4裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和5分组转化法把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1等于()A B C1 D3 2已知数列an的通项公式是an，其前n项和Sn，则项数n等于()A13 B10 C9 D63数列(1)n(2n1)的前2 012项和S2 012()A2 012 B2 012 C2 011 D2 0114已知数列an的前n项和为Sn且ann2n，则Sn_.一、分组转化法求和【例1】已知函数f(x)2x3x1，点(n，an)在f(x)的图象上，an的前n项和为Sn.(1)求使an0的n的最大值；(2)求Sn.方法提炼1数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和2常见类型及方法(1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解；(3)anbncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用分组求和法求an的前n项和请做演练巩固提升4二、裂项相消法求和【例21】 等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列的前n项和【例22】 已知各项均不相等的等差数列an的前四项和S414，且a1，a3，a7成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设Tn为数列的前n项和，若Tnan1对一切nN*恒成立，求实数的最小值方法提炼1利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项将通项裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等2一般情况如下，若an是等差数列，则，.此外根式在分母上时可考虑利用分母有理化相消求和3常见的拆项公式有：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)()请做演练巩固提升3三、错位相减法求和【例31】 (2012浙江高考)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2n，nN*，数列bn满足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn.【例32】 已知在数列an中，a13，点(an，an1)在直线yx2上(1)求数列an的通项公式；(2)若bnan3n，求数列bn的前n项和Tn.方法提炼1用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式2利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和提醒：利用裂项相消法求和时要注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项请做演练巩固提升5分类讨论思想在数列求和中的应用【典例】 (13分)(2012湖北高考)已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和规范解答：(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d，由题意得解得或(4分)所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5，或an43(n1)3n7.故an3n5，或an3n7.(6分)(2)当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列，不满足条件；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|(8分)记数列|an|的前n项和为Sn.当n1时，S1|a1|4；(9分)当n2时，S2|a1|a2|5；当n3时，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10，当n2时，满足此式(12分)综上，Sn(13分)答题指导：分类讨论思想在数列求和时经常遇到，尤其是含绝对值的求和问题，与等比数列有关的问题，还有分奇偶项进行讨论的问题，此类问题讨论时要掌握不遗漏、不重复的原则1在各项均为正数的等比数列an中，a3a54，则数列log2an的前7项和等于()A7 B8 C27 D282已知等比数列an的首项为1，若4a1,2a2，a3成等差数列，则数列的前5项和为()A B2 C D3数列，的前n项和为()A B C D4求下面数列的前n项和11，4，7，3n2，.5已知数列an是首项a11的等比数列，且an0，bn是首项为1的等差数列，又a5b321，a3b513.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.参考答案基础梳理自测知识梳理1(2)n2n(n1)22等差3等比基础自测1A解析：Sn.故选A.2D解析：an1，Snnn1.而5.n15.n6.3B解析：S2 0121357(22 0111)(22 0121)2 012.故选B.4(n1)2n12解析：Sn2222323n2n，2Sn22223324(n1)2nn2n1.，得Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1，Sn(n1)2n12.考点探究突破【例1】 解：(1)依题意an2n3n1，an0，即2n3n10.函数f(x)2x3x1在1,2上为减函数，在3，)上为增函数当n3时，239120，当n4时，2412130，2n3n10中n的最大值为3.(2)Sna1a2an(2222n)3(123n)n3n2n12.【例21】 解：(1)设数列an的公比为q.由a329a2a6得a329a42，所以q2.由条件可知q0，故q.由2a13a21得2a13a1q1，所以a1.故数列an的通项公式为an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2，2.所以数列的前n项和为.【例22】 解：(1)设公差为d.由已知得联立解得d1或d0(舍去)，a12，故ann1.(2)，Tn.Tnan1，(n2).又.的最小值为.【例31】 解：(1)由Sn2n2n，得当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn14n1.所以an4n1，nN*.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nN*.所以Tn3721122(4n1)2n1,2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.【例32】 解：(1)点(an，an1)在直线yx2上，an1an2，即an1an2.数列an是以3为首项，2为公差的等差数列，an32(n1)2n1.(2)bnan3n，bn(2n1)3n.Tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n，3Tn332533(2n1)3n(2n1)3n1.得2Tn332(32333n)(2n1)3n192(2n1)3n12n3n1Tnn3n1.演练巩固提升1A解析：在各项均为正数的等比数列an中，由a3a54，得a424，a42.设bnlog2an，则数列bn是等差数列，且b4log2a41.所以bn的前7项和S77b47.2A解析：设数列an的公比为q，则有4q222q，解得q2，所以an2n1.，所以S5.故选A.3B解析：，Sn.4解：前n项和为Sn(11)147(3n2)，设T11，当a1时，T1n；当a1时，T1，T2147(3n2).当a1时，SnT1T2n；当a1时，SnT1T2.5解：(1)设数列an的公比为q，bn的公差为d，则由已知条件得：解之得an2n1，bn1(n1)22n1.(2)由(1)知.Sn.Sn.得，Sn1n1.Sn3.