湖南省师大附中2019届高三上学期第二次月考数学（理）试卷.doc

湖南师大附中2019届高三月考试卷(二)
数　学(理科)
命题人：贺仁亮　朱修龙　周艳军　黄钢
审题：高三数学备课组
时量：120分钟　　　满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝，B＝，则满足A∪X＝B的集合X的个数为(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】集合X可以是，，，共4个，故选D.
2．在△ABC中，三个内角A，B，C满足sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，则角C的大小为(A)
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解析】由正弦定理知：a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝＝，
又0°<C<180°，则C＝30°.
3．已知随机变量X服从正态分布N(5，σ2)，且P(X<7)＝0.8，则P(3<X<5)＝(C)
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
【解析】由题意，随机变量X服从正态分布N(5，σ2)，所以正态曲线的对称轴为x＝5，
因为P(X<7)＝0.8，所以P(X≥7)＝0.2，根据正态分布曲线的对称性可知，所以P(3<X<5)＝0.5－0.2＝0.3，故选C.
4．已知数列是首项为3，公差为d(d∈N*)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d不可能是(D)
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】由题设，an＝3＋(n－1)d，2 019是该数列的一项，即2 019＝3＋(n－1)d，所以n＝＋1，因为d∈N*，所以d是2 016的约数，故d不可能是5，故选D.
5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出n的值为(参考数据：≈1.732，sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)(B)

A．12 B．24 C．48 D．96
【解析】执行程序：n＝6，S＝3sin 60°＝，不满足条件S≥3.10；
n＝12，S＝6sin 30°＝3，不满足条件S≥3.10；
n＝24，S＝12sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6，满足条件S≥3.10，退出循环．
输出n的值为24.故选B.
6．设变量x，y满足约束条件则z＝|x－3y|的取值范围是(C)
A．[2，8] B．[4，8] C．[0，8] D．[8，＋∞)

【解析】作出约束条件对应的可行域如图，z＝|x－3y|＝，其中表示可行域内的点(x，y)到直线x－3y＝0的距离，由图可知，点A(－2，2)到直线x－3y＝0的距离最大，最大为；又距离最小显然为0，所以z＝|x－3y|的取值范围为[0，8]，故选C.
7.已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第k项，则k＝(B)
A．6 B．7 C．6或7 D．5或6
【解析】∵的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，所以n＝4＋7＝11，第r＋1项系数为Tr＋1＝C(－1)r，r＝6时Tr＋1最大，故展开式中系数最大的项为第7项．

8．如图直角坐标系中，角α和角β的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为－，且满足S△OAB＝，则sin的值为(A)
A. B. C．－ D．－
【解析】由图知∠xOA＝α，∠xOB＝－β，且sin β＝－.
由于S△OAB＝知∠AOB＝，即α－β＝，即α＝β＋. 则
sin＝sin＝cos β＝＝.故选A.
9．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是(A)

A.＋3 B.＋3
C. D.
【解析】几何体为圆锥挖掉个圆台. 其表面积为：
S表＝π×22＋π×12＋××4＋××2＋×2＝＋3.故选A.
10．将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图像，则α的最大值为(D)
A．π B. C. D.
【解析】函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线都不经过y轴时，其图像都仍然是一个函数的图像. 因为f′(x)＝在[0，＋∞)是减函数且0<f′(x)≤1，当且仅当x＝0时等号成立，故函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图像的切线中，在x＝0处切线的倾斜角最大，其值为. 由此可知αmax＝－＝，故选D.
11．已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为3，则|AB|的最大值为(C)
A．4 B．6 C．8 D．10
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，所以|AB|≤|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8，
当弦AB过焦点F(1，0)时取得最大值8. 故选C.
12．在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方形DCC1D1面内(包括边界)的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P－BCD的体积最大值是(D)
A．36 B．24 C．18 D．12
【解析】易知△APD∽△MPC，则＝＝2，欲使三棱锥P－BCD的体积最大，只需高最大，通过坐标法得到动点P运动轨迹(一段圆弧)，进而判断高的最大值2，所以(VP－BCD)max＝××2＝12.
二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知x∈R，复数z1＝1＋xi，z2＝2＋i，若为纯虚数，则实数x的值为__－2__．
【解析】＝＝＝＋i为纯虚数，则＝0，即x＝－2.
14. M、N分别为双曲线－＝1左、右支上的点，设v是平行于x轴的单位向量，则 的最小值为__6__．
【解析】由向量数量积的定义，·v即向量在向量v上的投影与v模长的乘积，故求的最小值，即求在x轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图像可知的最小值为6.
15．某单位周一至周五要安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人至少值一天班，则甲连续值两天班的概率为____．
【解析】记甲连续值2天班为事件A，每人至少值一天班记为事件B.
则m(A)＝4A＝24，m(B)＝CA＝240，则P(A＋B)＝＝.
16．已知函数f(x)＝，关于x的不等式f2(x)－af(x)>0只有2个整数解，则实数a的取值范围是____．

【解析】作出函数f(x)的图像：
①若a>0，由f2(x)－af(x)>0，可得f(x)<0或f(x)>a，显然f(x)<0没有整数解，则f(x)>a有2个整数解，由图可知：≤a<ln 2；
②若a<0，由f2(x)－af(x)>0，可得f(x)<－a或f(x)>0，显然f(x)<－a没有整数解，而f(x)>0有无数多个整数解，不符题意，舍去；
③若a＝0，由f2(x)－af(x)>0，可得f(x)≠0，有无数多个整数解，不符题意，舍去．
综上可知：a∈.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝(λ＋1)Sn＋1(n∈N*，λ≠－2)，且3a1，4a2，a3＋13成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbn＝log4an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<.
【解析】(1)因为an＋1＝(λ＋1)Sn＋1，①
所以当n≥2时，an＝(λ＋1)Sn－1＋1，②
由①－②得an＋1－an＝(λ＋1)an，即an＋1＝(λ＋2)an(n≥2)，2分
又因为λ≠－2，且a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，λ＋2为公比的等比数列，
故a2＝λ＋2，a3＝，
由题知8a2＝3a1＋a3＋13，所以8＝＋16，
整理得λ2－4λ＋4＝0，解得λ＝2，4分
所以an＝4n－1.6分
(2)因为anbn＝log4an＋1，即4n－1·bn＝log44n，
所以bn＝，8分
则Tn＝1＋＋＋…＋＋ ，③
Tn＝＋＋…＋＋，④
③－④得Tn＝1＋＋＋…＋－＝－，
Tn＝－，11分
又n∈N*，所以Tn<.12分
18．(本小题满分12分)
如图，α∩β＝l，二面角α－l－β的大小为θ，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1.已知AB＝2，AA1＝1，BB1＝.

(1)若θ＝120°，求直线AB与平面β所成角的正弦值；
(2)若θ＝90°，求二面角A1－AB－B1的余弦值．
【解析】 (1)如图， 过点A作平面β的垂线交于点G，连接GB、GA1，
因为AG⊥β. 则∠ABG是AB与β所成的角．
Rt△GA1A中， GA1A＝60°，AA1＝1, ∴AG＝.
Rt△AGB中，AB＝2，AG＝， sin∠ABG＝，
故AB与平面β所成的角的正弦值为. 5分
(2) 解法一：∵BB1⊥α，∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．
在Rt△ABB1中，∠BAB1＝45°，∴AB1＝B1B＝. ∴Rt△AA1B中，A1B＝＝＝. 由AA1·A1B＝A1F·AB得 A1F＝＝＝，
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE＝＝，
∴二面角A1－AB－B1的余弦值为cos θ＝＝.12分

解法二： 如图，建立坐标系， 则A1(0，0，0)，A(0，0，1)，B1(0，1，0)，B(，1，0)．在AB上取一点F(x，y，z)，则存在t∈R，使得＝t， 即(x，y，z－1)＝t(，1，－1), ∴点F的坐标为(t, t，1－t)．要使⊥，须·＝0, 即(t, t，1－t) ·(，1，－1)＝0, 2t＋t－(1－t)＝0，解得t＝， ∴点F的坐标为， ∴＝. 设E为AB1的中点，则点E的坐标为. ∴＝.
又·＝·(，1，－1)＝ － － ＝0, ∴⊥， ∴∠A1FE为所求二面角的平面角．
又cos∠A1FE＝＝＝＝＝，
∴二面角A1－AB－B1的余弦值为.12分
19．(本小题满分12分)
某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，当k≥85时，产品为一级品；当75≤k<85时，产品为二级品，当70≤k<75时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视频率为概率)
A配方的频数分配表：
指标值分组

频数
10
30
40
20
B配方的频数分配表：
指标值分组

频数
5
15
25
30
25
(1)若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C发生的概率P(C)；
(2)若两种新产品的利润率y与质量指标k满足如下关系：y＝其中0<t<，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？
【解析】(1)由题意知，从B配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为，则没有抽中二级品的概率为，所以P(C)＝1－＝.5分
(2)A配方产品的利润分布列为
y
t
5t2
p
0.6
0.4
所以E(y)A＝0.6t＋2t2，8分
B配方产品的利润分布列为
y
t
5t2
t2
p
0.55
0.4
0.05
所以E(y)B＝0.55t＋2.05t2，11分
因为0<t<，所以E(y)B－E(y)A＝0.05t2－0.05t＝0.05t(t－1)<0，
所以从长期来看，投资A配方产品的平均利润率较大12分．
20. (本小题满分12分)

如图，已知圆E：(x＋1)2＋y2＝8，点F(1，0)，P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.
(1)求动点Q的轨迹Г上的方程；
(2)已知A，B，C是轨迹Г上的三个动点，点A在一象限，B与A关于原点对称，且|CA|＝|CB|，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)∵Q在线段PF的垂直平分线上，
∴|QP|＝|QF|，
得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝2，
又|EF|＝2＜2，∴Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为2的椭圆，
∴Г的方程为＋y2＝1. 5分
(2)由点A在第一象限，B与A关于原点对称，设直线AB的方程为y＝kx(k＞0)，
∵|CA|＝|CB|，
∴C在AB的垂直平分线上，
∴直线OC的方程为y＝－x.
由(1＋2k2)x2＝2，|AB|＝2|OA|＝2＝2，7分
同理可得|OC|＝，
S△ABC＝|AB|×|OC|＝，9分
方法1：设t＝k2＋1≥1，则k2＝t－1，
故S△ABC＝＝＝，
由二次函数的图像及性质可求得当t＝2，即k＝1时，S△ABC有最小值为.12分
方法2：
∵(1＋2k2)(k2＋2)≤＝，
∴S△ABC＝≥＝，
当且仅当1＋2k2＝k2＋2，即k＝1时取等号．
∴S△ABC≥.
综上，当直线AB的方程为y＝x时，△ABC的面积有最小值.12分
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ax＋2aln x，a∈R＋，g(x)＝ex－1＋aln x＋x，其中e为自然对数的底数．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线经过(0，－2)，证明：f(x)≤g(x)－1；
(2)若函数y＝f(x)与y＝2g(x)－ln x的图像有且仅有一个公共点P(x0，y0)，证明：x0<.
【解析】(1)f′(x)＝a＋，k＝f′(1)＝3a，
又k＝，由3a＝a＋2得a＝1，2分
令F(x)＝g(x)－f(x)＝ex－1－ln x(x>0)，则F′(x)＝ex－1－，3分
当x∈(0，1)时F′(x)<0，函数F(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时F′(x)>0，函数F(x)单调递增，
故函数F(x)的最小值为F(1)＝1，即f(x)≤g(x)－1.5分
(2)G(x)＝2g(x)－ln x－f(x)＝2ex－1－ln x＋2x－ax，由题意函数G(x)有且仅有一个零点，因为G′(x)＝2ex－1－＋2－a，G′′(x)＝2ex－1＋>0，7分
则G′(x)为(0，＋∞)上的增函数，且其值域为R，故G′(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点，设为t，
则当x∈(0，t)时G′(x)<0，则G(x)单调递减，
当x∈(t，＋∞)时G′(x)>0，则G(x)单调递增，
从而函数G(x)在x＝t处取得最小值，
又函数G(x)有唯一零点x0，则必有t＝x0，9分
所以：
消去a整理得：(2－2x0)ex0－1＋1－ln x0＝0，
令H(x)＝2(1－x)ex－1＋1－ln x，显然x0为其零点，
而H′(x)＝－x<0，故H(x)在(0，＋∞)上单调递减，
而H(1)＝1>0，H＝1－e－ln <0，所以H(x)在内有且仅有一个零点，
在内无零点，
即x0<.12分
(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(1)分别写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P(2，－1)，直线l与曲线C相交于M，N两点，若＝6·，求直线l的斜率．
【解析】(1)将(t为参数)消去参数t可得y＋1＝tan α(x－2)，
∴直线l的普通方程为y－tan αx＋2tan α＋1＝0.2分
由ρ＝2cos，得ρ2＝2ρ(cos θ－sin θ)，将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入上式，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，
∴曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.5分
(2)将代入(x－1)2＋(y＋1)2＝2中，
整理得t2＋2cos α·t－1＝0，设M，N两点对应参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－2cos α，t1·t2＝－1，7分
因为＝6·，所以(t1－t2)2＝6＝－6t1·t2，
所以(t1＋t2)2＋2t1·t2＝0，即4cos2α－2＝0，cos α＝，α＝，tan α＝1，
所以直线l的斜率为1. 10分
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x|＋|x＋a|.
(1)若存在x使得不等式f(x)≤3a－1成立，求实数a的取值范围；
(2)若不等式f(x)≤3a－1的解集为，求实数a，b的值．
【解析】(1)对x∈R，f(x)＝|x|＋|x＋a|≥|x－(x＋a)|＝|a|，2分
当且仅当x(x＋a)≤0时取等号，故原条件等价于≤3a－1，即－3a＋1≤a≤3a－1，解得a≥，
故实数a的取值范围是.5分
(2)由(1)知实数a的取值范围是， 故－a<0，
故f(x)＝的图象如图所示，8分
由图可知10分