【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时-第八章-第二节-双曲线提能精练-理(全国版).doc

【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时 第八章 第二节 双曲线提能精练 理（全国版）
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】　由已知得，
∴a＝2，c＝4，∴b2＝16－4＝12，
∴双曲线方程为－＝1.
【答案】　A
2．若k∈R则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　若方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)＞0，
∴k＜－3或k＞3，
故k＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．
【答案】　A
3．(2010年海南模拟)双曲线x2＋ky2＝1的一条渐近线的斜率是2，则k的值为(　　)
(A)4 (B)
(C)－4 (D)－
【解析】　∵方程x2＋ky2＝1表示双曲线，∴k＜0，
∵双曲线x2＋ky2＝1的渐近线方程为x±y＝0，
又已知一条渐近线的斜率是2.
∴＝，∴k＝－.
【答案】　D
4．(2008年四川高考)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
(A)24 (B)36
(C)48 (D)96
【解析】　方法一：由题意知a＝3，b＝4，c＝5.设P(x0，y0)，由双曲线的定义得
|PF2|＝x0－3＝x0－3.
∵|PF2|＝|F1F2|＝10，∴x0－3＝10，x0＝.
代入双曲线方程得
|y0|＝＝，
∴S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝×10×＝48.
方法二：由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，

∴|PF1|＝|PF2|＋6＝|F1F2|＋6＝10＋6＝16，
设等腰△PF1F2底边PF1上的高为F2D，
则|F2D|＝＝＝6，
∴S△PF1F2＝|PF1|×|F2D|＝×16×6＝48.
【答案】　C
5．已知二次曲线＋＝1，则当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率e的取值范围是(　　)
(A) (B)
(C) (D)
【解析】　∵m∈[－2，－1]，
∴二次曲线为双曲线，
其中a2＝4，b2＝－m，
∴c2＝a2＋b2＝4－m，
∴e＝＝.
又4－m∈[5,6]，
∴e∈[，]．
【答案】　C
6．(2010年湖南模拟)焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是(　　)
(A)－＝1 (B)－＝1
(C)－＝1 (D)－＝1
【解析】　设双曲线方程为－y2＝λ(λ＜0)，
即－＝1(λ＜0)，
∴a2＝－λ，b2＝－2λ，∴c2＝－3λ.
又焦点为(0,6)．∴c＝6，
∴－3λ＝36，λ＝－12，
∴双曲线方程为－y2＝－12，即－＝1.
【答案】　B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．(2008年安徽高考)已知双曲线－＝1的离心率为，则n＝________.
【解析】　∵n(12－n)＞0，∴0＜n＜12，∴＝，
∴n＝4.
【答案】　4
8．已知双曲线的焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，且＝，则双曲线的方程为________．
【解析】　直线5x－2y＋20＝0与两坐标轴交点为(－4,0)和(0,10)，若(－4,0)为焦点，则c＝4，而＝，
∴a＝.∴b2＝16－＝，
∴双曲线方程为：－＝1，
若(0,10)为焦点，则c＝10，
∴a＝6，∴b2＝100－36＝64，
∴双曲线方程为－＝1.
【答案】　－＝1或－＝1
9．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
【解析】　令x＝－c，得y2＝，
∴|MN|＝，
由题意得a＋c＝，
即a2＋ac＝c2－a2，∴2－－2＝0，
∴＝2.
【答案】　2
三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)
10．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．
【解析】　设双曲线方程为：－＝1(a＞0，b＞0)，
F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|.
即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.
又∵S△PF1F2＝2.
∴|PF1|·|PF2|·sin＝2.
∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.
又∵e＝＝2，∴a2＝.
∴双曲线的方程为：－＝1.
11．设双曲线C：－y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．
【解析】　(1)将y＝1－x代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0①
所以，
解得0＜a＜，且a≠1，又双曲线的离心率
e＝＝，0＜a＜且a≠1，
∴e＞且e≠.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．
∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．
由此得x1＝x2由于x1，x2都是方程①的两根，
且1－a2≠0，∴x2＝，x＝－.
消去x2，得－＝，∴a2＝，∴a＝±.
由a＞0，得a＝.
12．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
【解析】　(1)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由已知得a＝，c＝2.
又a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立整理得
(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴，
可得m2＞3k2－1且k2≠①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)．
则x1＋x2＝，x0＝＝，
y0＝kx0＋m＝.
由题意，AB⊥MN，
∵kAB＝＝－(k≠0，m≠0)．
整理得3k2＝4m＋1②
将②代入①，得m2－4m＞0，∴m＜0或m＞4.
又3k2＝4m＋1＞0(k≠0)，即m＞－.
∴m的取值范围是∪(4，＋∞)．

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