辽宁省沈阳市2013届高考数学领航预测(五)试题-理-新人教A版.doc

2013届省重点中学协作体领航高考预测试卷5
理科数学
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)设全集R，若集合，则为 （ ）
A． B．
C． D．
(2)复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)在长为10㎝的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49 cm2之间的概率为 （ ）
A． B． C． D．
(4)设等比数列的公比为q，前n项和为，若,，成等差数列，则公
比q为 （ ）
A． B． C． D．
(5)已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
(6)设f(x)是R上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f()=0, f(log4x)＞0, 那么x的
取值范围是( )
A. ＜x＜1 B.x＞2 C. x＞2或＜x＜1 D.＜x＜1或1＜x＜2
(7)有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（ ）
A．240种 B．192种 C．96种 D．48种

(8)如果执行下面的程序框图，那么输出的 （ ）．
Ａ．2450 Ｂ.2500
C.2550 Ｄ.2652

(9)球面上有三个点A、B、C. A和B，A和C间的球面距离等于大圆周长的. B和C间的球面距离等于大圆周长的.如果球的半径是R，那么球心到截面ABC的距离等于（ ）
  A. B. C. D.
(10)已知，满足, 且目标函数的最大值为7，最小值为１，则　（　　）
　Ａ.1 　Ｂ．　　 Ｃ．２　 Ｄ．
(11)下列命题：
①若是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，，则

②若锐角、
③若
④要得到函数
其中真命题的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
(12)设函数，它们的图象在轴上的公共点处有公切线，则当时，与的大小关系是 （ ）
A. B. C. D.与的大小不确定
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分
布直方图如图所示，则时速超过60km/h的
汽车数量为__________辆.

(14)若 的二项展开式中第5项为常数项，则的值是__________ .
(15)已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是__________．
(16)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立．则M的最小值是__________．
三、解答题：
(17)（本小题满分12分）
在中，已知内角，边.设内角,的面积为.
（Ⅰ）求函数的解析式和定义域；
（Ⅱ）当角B为何值时，的面积最大。

(18)（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
（Ⅰ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球恰有1个为黑球”为事件A；“从乙盒内取出的2个球都是黑球”为事件B，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；
（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望。

(19)（本小题满分12分）
已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。
（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积；
（Ⅱ）当点E在何位置时，BD⊥AE？证明你的结论;
（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．

（20）（本小题满分12分）
已知点R（－3,0）,点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上 ,且满足，.
（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设为轨迹C上两点，且，N(1,0)，求实数，使，且.

（21）(本小题满分12分）
已知函数
（I）求x为何值时，上取得最大值；
（II）设是单调递增函数，求a的取值范围.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，在中，，平分交
于点，点在上，。
（I）求证：是的外接圆的切线；
（II）若，，求的长。

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（是参数）．
（I）将曲线C的极坐标方程和直线参数方程转化为普通方程；
（II）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数值．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设关于的不等式.
(I) 当，解上述不等式。
（II）若上述关于的不等式有解，求实数的取值范围。
参考答案及评分标准
一、选择题：
(1) C (2) B (3) A (4) A (5)D (6) C (7) B (8) C (9) B (10)D (11) A (12) B
二、填空题：
(13) 76 (14) 6 (15) (16) 2
三、解答题：
(17)解：（Ⅰ）的内角和
∴ .即
∴
……………… 6分
（Ⅱ）

当即时，y取得最大值 。
所以当角B为时，的面积取得最大值为。…………… 12分
(18)解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，
则, .………………… 3分
所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为
. ……………………………… 4分
（Ⅱ）解法一：由题可知，，则
。……………… 8分

解法二：由于事件A、B相互独立，故。……………… 8分
（Ⅲ）设可能的取值为0,1,2,3.
由（Ⅰ）、（Ⅱ）得, ,.
所以. ………………… 11分
∴的分布列为

0
1
2
3

∴ 的数学期望 ……… 12分

(19)

（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.
∴----------------------------2分
(Ⅱ) 不论点E在PC上何位置，都有BD⊥AE---------------------------------------3分
证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC-----------5分
又∵∴BD⊥平面PAC　
∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE ----------------------------------------------7分
(Ⅲ) 解法一：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连结BG
∵CD=CB,EC=EC, ∴≌
∴ED=EB, ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴为二面角D－EA－B的平面角--------------------------10分
∵BC⊥DE, AD∥BC ∴AD⊥DE
在Rｔ△ADE中==BG
在△DGB中，由余弦定理得
∴=-----------------------12分
[解法二：以点C为坐标原点，CD所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：
则,从
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
由可得：，
同理得：。令，则，
∴------10分
设二面角D－AE－B的平面角为，则 ∴------12分
（20）解：(Ⅰ)设点M(x,y)，由得P(0，)，Q().
由得(3，)·(，)＝0,即
又点Q在x轴的正半轴上，故点M的轨迹C的方程是.……6分
（Ⅱ）解法一：由题意可知N为抛物线C:y2＝4x的焦点，且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。
当直线AB斜率不存在时，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合题意；……7分
当直线AB斜率存在且不为0时，设，代入
得
则|AB|,解得 ………………10分
代入原方程得，由于，所以,
由，得 . …………………12分
解法二：由题设条件得

由（6）、（7）解得或，又，故.
（21）解：（I）恒成立，
的最小值
又 ……………………3分
∴

（II）∵ F(x)是单调递增函数，恒成立
又
显然在恒成立.
恒成立. ………………………………8分
下面分情况讨论的解的情况.
当时，显然不可能有上恒成立.
当上恒成立.
当时，又有两种情况：①；
②由①得，无解；由②得
综上所述各种情况，当上恒成立.
∴所求的a的取值范围为 ……………12分
（22）证明：
(I) 由知，是的外接圆的直径，
取中点，连结,则点是的外接圆的圆心。
∴∴
又∵平分， ∴，
∴ ∴
∵∴
∴是的外接圆的切线。…………………5分
(II) 由是圆的切线知，　
可得∴
∴　　　∵　　∴　
∴ ………10分
（23）解：（I）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为:

直线的直角坐标方程为： ………………5分
（Ⅱ）解法一：由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，
圆心到直线l的距离

或 ………………10分
解法二：把（是参数）代入方程,
得,
．

或 ……………10分
（24）解： (I) 当，上述不等式为，等价于
①或 ②
由得①，由得②；所以不等式解集为。 …………5分
（II）解法一：
当x≥1时，不等式化为，即x≤．
这时不等式有解当且仅当1≤，即a≥1．
当x<1时，不等式化为，即1≤a，这时不等式有解当且仅当a≥1．
综上所述，关于x的不等式≤a有解，
则实数a的取值范围是． ………10分
解法二：不等式等价于
设，则
易知的最小值为1。
关于的不等式有解，即≤a有解，所以a≥1。 ……10分

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