偏微分方程离散差分格式差分方法等市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,（三）偏微分方程数值离散办法,3.1,有限差分法,3.2,有限体积法,(,有限元，谱办法，谱元，无网格，有限解析，边界元，特性线）,第1页,第1页,2,3.1,有限差分法,3.1.1,模型方程差分迫近,3.1.2,差分格式结构,3.1.3,差分方程修正方程,3.1.4,差分办法理论基础,3.1.5,守恒型差分格式,3.1.6,偏微分方程全离散办法,第2页,第2页,3,3.1.1,模型方程差分迫近,第3页,第3页,4,3.1.2,差分格式结构,第4页,第4页,5,3.1.3,差分方程修正方程,差分方程所准确迫近微分方程称为修正方程,对于时间发展方程，利用展开方程逐步消去带时间高阶导数，只留空间导数。,Warming-Hyett,办法：,差分方程,(2),写成算子形式：,第5页,第5页,6,3.1.3,差分方程修正方程,(,续,),第6页,第6页,7,3.1.3,差分方程修正方程,(,续,),第7页,第7页,8,3.1.4,差分办法理论基础,相容性，稳定性，收敛性,等价性定理,Fourier,稳定性分析,第8页,第8页,9,3.1.4,差分办法理论基础（续）,Fourier(Von Neumann),稳定性分析,第9页,第9页,10,3.1.4,差分办法理论基础（续）,Fourier(Von Neumann),稳定性分（续）,称为,CFL,条件,(Courant,Friedrichs,Levy),第10页,第10页,11,3.1.5,守恒型差分格式,流体力学方程组描述物理量守恒性；守恒律组：,定义,第11页,第11页,12,3.1.5,守恒型差分格式（续）,守恒性质：,非守恒差分格式普通没有相应于原始守恒律,“,离散守恒律,”,。,第12页,第12页,13,3.1.5,守恒型差分格式（续）,守恒型差分格式,Lax-Wendroff,定理：,假如守恒型差分格式,是和守恒律,相容，且当初间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微函数，则这个收敛函数就是守恒律一个弱解。,推论：守恒型差分各式收敛解能自动满足间断关系。,用途,:(,加上熵条件）能够得到正确激波，研究中大量使用,比如：,Lax-Friedrichs,格式，,Lax-Wendroff,格式，,Mac Cormack,格式,第13页,第13页,14,3.1.6,偏微分方程全离散办法,对差分格式普通要求：,有精度、格式稳定、求解效率高,特殊要求,物理定律（守恒性）、物理特性（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性,(,正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等,),主要指非定常方程时间离散,第14页,第14页,15,3.1.6,偏微分方程全离散办法,(,续）,两层格式,Crank-Nicolson,格式、,P-C,格式、,Lax-Wendroff,格式、,MacCormack,格式,Runge-Kutta,办法,时空全守恒：如,Godunov,格式、,central-upwind,格式、,CESE,办法,多层格式,Leap-Frog,格式、,Adams-Bashforth,格式、后三点隐格式,第15页,第15页,16,3.1.6.1,两层格式,Crank-Nicolson,格式,Predictor-Corrector,格式,Lax-Wendroff,格式,Mac Cormack,格式,Runge-Kutta,办法,第16页,第16页,17,3.1.6.1,两层格式,(cont.,）,Lax-Wendroff,格式,一步,LW,格式,第17页,第17页,18,3.1.6.1,两层格式,(cont.,）,Lax-Wendroff,格式,两步,LW,格式,常系数,Jacobian,时与单步,LW,等价。但计算更简朴，不涉及矩阵相乘。,第18页,第18页,19,3.1.6.1,两层格式,(cont.,）,Mac Cormack,格式,(1969),两步格式,比,LW,更简朴，不需要计算函数在半点上值。,LW,两步格式和,MC,各式缺点：定常解误差依赖于时间步长。,第19页,第19页,20,Mac Cormack,格式结构,第20页,第20页,21,3.1.6.2,三层,格式,Leap-Frog,格式,Adams-Bashforth,格式,第21页,第21页,22,第二课后阅读提醒,傅德薰,计算流体力学,，,3.1,3.3,水鸿寿,一维流体力学数值办法,3.1,Computational Methods for Fluid Dynamics,Ferziger and Peric,Springer Chap.6,第22页,第22页,23,作业,2,1.,用,Fourier,法分析,3.1.6.1,节中,Crank-Nicolson,格式稳定性。,2.,分析前面,3.1.6,节中,Mac Cormack,格式是几阶精度。,第23页,第23页,24,3.2,有限体积法,出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、柱坐标、球坐标）,以控制体为离散量,计算体积分和面积分需要适当插值公式和积分公式,(quadrature formula),适合用于任意形状网格，复杂几何形状,缺点：难以结构不小于二阶以上格式,第24页,第24页,25,3.2.1,定常守恒型方程和控制体,第25页,第25页,26,3.2.2,面积分迫近,面积分用积分点值表示,(quadrature),积分点值用,CV,值表示,(interpolation),对于,Simpson,公式,对积分点插值需要四阶精度,第26页,第26页,27,3.2.4,体积分迫近,当被积函数为某种型函数时，能够得到准确积分，迫近精度取决于型函数精度。,第27页,第27页,28,3.2.4,体积分迫近,四阶精度：,2D,直角坐标网格,最后一式能够四阶精度迫近,3D,面积分,第28页,第28页,29,3.2.5,插值和微分,积分点函数值和其法向梯度,1st UDS:,取上风点值,第29页,第29页,30,插值,2nd order:,向积分点线性插值,等价于中心差分,(CDS),第30页,第30页,31,插值,当积分点函数是线性插值时,Second order,第31页,第31页,32,插值,QUICK(quadratic upwind interpolation for convective kinematics),插值三阶精度，但积分（差分）往往只有二阶精度。,第32页,第32页,33,插值,高精度：,N,阶精度,quadrture,需要,N-1,阶多项式插值公式。,界面上导数能够用插值公式微分求出。,第33页,第33页,34,3.2.5,有限体积法边界条件,用边界条件替换面积分,入口：通常给定对流通量,(mass,momentum,energy,etc.),壁面和对称面：通量为零,边界上函数值给定：和内部,CV,值共同构建边界上导数,第34页,第34页,35,FV,例子,第35页,第35页,36,3.2.6,守恒律有限体积办法,Godunov,格式,第36页,第36页,37,第37页,第37页,38,3.2.6.1 Godunov,办法思想,第38页,第38页,39,一阶迎风格式,(CIR,格式,),第39页,第39页,40,用,Godunov,思想阐明,CIR,格式,=Godunov,格式,第40页,第40页,41,第41页,第41页,42,Riemann,解图示,第42页,第42页,43,第43页,第43页,44,3.2.6.1 1D Euler,方程组,Godunov,格式,Godunov,格式是基于积分形式方程组,间断关系自动满足，不需要另外考虑间断线上间断关系,第44页,第44页,45,移动网格上积分回路,第45页,第45页,46,移动网格上,Godunov,格式,第46页,第46页,47,固定网格上,Godunov,格式,第47页,第47页,48,Lagrange,网格上,Godunov,格式,第48页,第48页,49,Euler,方程组,Riemann,问题解抱负气体,5,种解,第49页,第49页,50,第50页,第50页,51,二维,Euler,方程组,Riemann,问题,第51页,第51页,52,第52页,第52页,53,仅是局部化,1D RP,第53页,第53页,54,第,3,课后阅读提醒,傅德薰,计算流体力学,，,6.3,水鸿寿,一维流体力学数值办法,Godnov,格式一节,Computational Methods for Fluid Dynamics,Ferziger and Peric,Springer Chap.4,第54页,第54页,55,作业,3,傅,书,习题,3-13.,傅,书,习题,3-12.,第55页,第55页,