管理运筹学第三版课后答案.doc

第 4 章 线性规划在工商管理中的应用

1、解：为了用最少的原材料得到 10 台锅炉，需要混合使用 14 种下料方案

方案 1 2 3 4 5 6
规格


7

2640
1770
1651
1440
合计
剩余
2
0
0
0
5280
220
1
1
0
0
4410
1090
1
0
1
0
4291
1209
1
0
0
1
4080
1420
0
3
0
0
5310
190
0
2
1
0
5191
309
0
2
0
1
4980
520

方案
规格
8
9
10
11 12
13
14

2640
1770
1651
1440
合计
剩余
0
1
2
0
5072
428
0
1
1
1
4861
639
0
1
0
2
4650
850
0
0
3
0
4953
547
0
0
2
1
4742
758
0
0
1
2
4531
969
0
0
0
3
4320
1180

设按 14 种方案下料的原材料的根数分别为 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，
x10，x11，x12，x13，x14，则可列出下面的数学模型：
min f＝x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14
s．t． 2x1＋x2＋x3＋x4 ≥ 80
x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥ 350
x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋x12＋x13≥ 420
x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14 ≥ 10
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥ 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝40，x2＝0，x3＝0，x4＝0，x5＝116.667，x6＝0，x7＝0，x8＝0，
x9＝0，x10＝0，x11＝140，x12＝0，x13＝0，x14＝3.333
最优值为 300。

2、解：从上午 11 时到下午 10 时分成 11 个班次，设 xi 表示第 i 班次安排的临时
工的人数，则可列出下面的数学模型：
min f＝16（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11）
s．t． x1＋1 ≥ 9
x1＋x2＋1 ≥ 9
x1＋x2＋x3＋2 ≥ 9
x1＋x2＋x3＋x4＋2 ≥ 3

x2＋x3＋x4＋x5＋1 ≥ 3
x3＋x4＋x5＋x6＋2 ≥ 3
x4＋x5＋x6＋x7＋1 ≥ 6
x5＋x6＋x7＋x8＋2 ≥ 12
x6＋x7＋x8＋x9＋2 ≥ 12
x7＋x8＋x9＋x10＋1 ≥ 7
x8＋x9＋x10＋x11＋1 ≥ 7
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥ 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝8，x2＝0，x3＝1，x4＝1，x5＝0，x6＝4，x7＝0，x8＝6，x9＝0，
x10＝0，x11＝0
最优值为 320。

a、 在满足对职工需求的条件下，在 10 时安排 8 个临时工，12 时新安排 1
个临时工，13 时新安排 1 个临时工，15 时新安排 4 个临时工，17 时新
安排 6 个临时工可使临时工的总成本最小。
b、 这时付给临时工的工资总额为 80 元，一共需要安排 20 个临时工的班
次。

约束

松弛/剩余变量

对偶价格

------- ------------------ -------------
1 0 -4
2 0 0
3 2 0
4 9 0
5 0 -4
6 5 0
7 0 0
8 0 0
9 0 -4
10 0 0
11 0 0

根据剩余变量的数字分析可知，可以让 11 时安排的 8 个人工作 3 小时，13
时安排的 1 个人工作 3 小时，可使得总成本更小。
C、设在 11：00-12：00 这段时间内有 x1个班是 4 小时， y1个班是 3 小时；

设在 12：00-13：00 这段时间内有 x2个班是 4 小时， y2个班是 3 小时；其他时
段也类似。
则：由题意可得如下式子：

=
11
∑ x +
11
∑ y

min z 16112
i=1
i=1
1

S．T
+ y + ≥
1 9

x11
+ + + y + ≥

x1y1x22
1 9

+ + + + + y +
≥
1 +1 9

x1y1x2y2x33
+ + + + + + y +
≥
1+1 3

x1x2y2x3y3x44
+ + + + + + y + ≥
1 3

x2x3y3x4y4x55
+ + + + + + y +
≥
1+ 1 3

x3x4y4x5y5x66
+ + + + + + y + ≥
1 6

x4x5y5x6y6x77
+ + + + + + y +
≥
1+1 12

x5x6y6x7y7x88
+ + + + + + y +
≥
1+1 12

x6x7y7x8y8x99
+ + + + + + y + ≥
1 7

x7x8y8x9y9x1010
+ + + + + + y + ≥
1 7

x8x9y9x10y10x1111
xi≥ 0, yi≥ 0 i=1,2,…,11
稍微变形后，用管理运筹学软件求解可得：总成本最小为 264 元。
安排如下：y1=8（ 即在此时间段安排 8 个 3 小时的班），y3=1，y5=1，y7=4，x8=6
这样能比第一问节省：320-264=56 元。

3、解：设生产 A、B、C 三种产品的数量分别为 x1，x2，x3，则可列出下面的
数学模型：
max z＝10 x1＋12 x2＋14 x2
s．t． x1＋1.5x2＋4x3≤ 2000
2x1＋1.2x2＋x3 ≤ 1000
x1≤ 200
x2≤ 250
x3 ≤ 100
x1，x2，x3≥ 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝200，x2＝250，x3＝100
最优值为 6400。

a、在资源数量及市场容量允许的条件下，生产 A 200 件，B 250 件，C 100
件，可使生产获利最多。
b、A、B、C 的市场容量的对偶价格分别为 10 元，12 元，14 元。材料、台
时的对偶价格均为 0。说明 A 的市场容量增加一件就可使总利润增加 10
元，B 的市场容量增加一件就可使总利润增加 12 元，C 的市场容量增加
一件就可使总利润增加 14 元。但增加一千克的材料或增加一个台时数都
不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓 C 产品的市场，如果
要增加资源，则应在 975 到正无穷上增加材料数量，在 800 到正无穷上
增加机器台时数。

4、解：设白天调查的有孩子的家庭的户数为 x11，白天调查的无孩子的家庭的户

数为 x12，晚上调查的有孩子的家庭的户数为 x21，晚上调查的无孩子的家庭
的户数为 x22，则可建立下面的数学模型：
min f＝25x11＋20x12＋30x21＋24x22
s．t． x11＋x12＋x21＋x22≥ 2000
x11＋x12 ＝ x21＋x22
x11＋x21≥ 700
x12＋x22≥ 450
x11, x12, x21, x22 ≥ 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝700，x12＝300，x21＝0，x22＝1000
最优值为 47500。

a、白天调查的有孩子的家庭的户数为 700 户，白天调查的无孩子的家庭的户
数为 300 户，晚上调查的有孩子的家庭的户数为 0，晚上调查的无孩子的
家庭的户数为 1000 户，可使总调查费用最小。
b、白天调查的有孩子的家庭的费用在 20－26 元之间，总调查费用不会变化；
白天调查的无孩子的家庭的费用在 19－25 元之间，总调查费用不会变化；
晚上调查的有孩子的家庭的费用在 29－无穷之间，总调查费用不会变化；
晚上调查的无孩子的家庭的费用在－20－25 元之间，总调查费用不会变
化。
c、调查的总户数在 1400－无穷之间，总调查费用不会变化；
有孩子家庭的最少调查数在 0－1000 之间，总调查费用不会变化；
无孩子家庭的最少调查数在负无穷－1300 之间，总调查费用不会变化。

5、解：设第 i 个月签订的合同打算租用 j 个月的面积为 xij，则需要建立下面的
数学模型：
min f＝2800（x11＋x21＋x31＋x41）＋4500（x12＋x22＋x32）＋6000（x13＋x23）
＋7300 x14
s．t．x11＋x12＋x13＋x14≥ 15
x12＋x13＋x14＋x21＋x22＋x23 ≥ 10
x13＋x14＋x22＋x23＋x31＋x32≥ 20
x14＋x23＋x32＋x41≥ 12
xij ≥ 0，i，j＝1，2，3，4
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝5，x12＝0，x13＝10，x14＝0，x21＝0，x22＝0，x23＝0，x31＝10，
x32＝0，x41＝0
最优值为 102000。
即：在一月份租用 500 平方米一个月，租用 1000 平方米三个月；在三月
份租用 1000 平方米一个月，可使所付的租借费最小。

6、解：设 xij表示第 i 种类型的鸡需要第 j 种饲料的量，可建立下面的数学模型：
max z＝9（x11＋x12＋x13）＋7（x21＋x22＋x23）＋8（x31＋x32＋x33）－5.5
（x11＋x21＋x31）－4（x12＋x22＋x32）－5（x13＋x23＋x33）
s．t． x11≥ 0.5（x11＋x12＋x13）

7、


x12≤ 0.2（x11＋x12＋x13）
x21≥0.3（x21＋x22＋x23）
x23 ≤ 0.3（x21＋x22＋x23）
x33≥ 0.5（x31＋x32＋x33）
x11＋x21＋x31 ≤ 30
x12＋x22＋x32≤ 30
x13＋x23＋x33≤30
xij ≥ 0，i，j＝1，2，3
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝30，x12＝10，x13＝10，x21＝0，x22＝0，x23＝0，x31＝0，
x32＝20，x33＝20
最优值为 365。
即：生产雏鸡饲料 50 吨，不生产蛋鸡饲料，生产肉鸡饲料 40 吨。

设 Xi——第 i 个月生产的产品 I 数量
Yi——第 i 个月生产的产品 II 数量
Zi，Wi 分别为第 i 个月末产品 I、II 库存数
S1i，S2i分别为用于第（i+1）个月库存的自有及租借的仓库容积（立方米）。则
可建立如下模型：

5
z = ∑

+

y
12
+ ∑

x +

y
12
+ ∑ s

+

s

min
(5xi8 )
(4.5
7 )
(
1.5 )

s.t.
i=1
i
i=6
i
i
i=1
1i
2i

X1-10000=Z1
X2+Z1-10000=Z2
X3+Z2-10000=Z3
X4+Z3-10000=Z4
X5+Z4-30000=Z5
X6+Z5-30000=Z6
X7+Z6-30000=Z7
X8+Z7-30000=Z8
X9+Z8-30000=Z9
X10+Z9-100000=Z10
X11+Z10-100000=Z11
X12+Z11-100000=Z12
Y1-50000=W1
Y2+W1-50000=W2
Y3+W2-15000=W3
Y4+W3-15000=W4
Y5+W4-15000=W5
Y6+W5-15000=W6
Y7+W6-15000=W7
Y8+W7-15000=W8

Y9+W8-15000=W9
Y10+W9-50000=W10
Y11+W10-50000=W11
Y12+W11-50000=W12
S1i≤15000 1≤i≤12
Xi+Yi≤120000 1≤i≤12
0.2Zi+0.4Wi=S1i+S2i 1≤i≤12
Xi≥0, Yi≥0, Zi≥0, Wi≥0, S1i≥0, S2i≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
最优值= 4910500
X1=10000, X2=10000, X3=10000, X4=10000, X5=30000, X6=30000, X7=30000,
X8=45000, X9=105000, X10=70000, X11=70000, X12=70000;
Y1= 50000, Y2=50000, Y3=15000, Y4=15000, Y5=15000,
Y6=15000, Y7=15000, Y8=15000, Y9=15000, Y10=50000, Y11=50000, Y12=50000;
Z8=15000, Z9=90000, Z10 =60000, Z1=30000;
S18=3000, S19=15000, S110=12000, S111=6000;
S28=3000;
其余变量都等于 0

8、解：设第 i 个车间生产第 j 种型号产品的数量为 xij，可建立下面的数学模型：
max z＝25（x11＋x21＋x31＋x41＋x51）＋20（x12＋x32＋x42＋x52）＋17（x13
＋x23＋x43＋x53）＋11（x14＋x24＋x44）
s．t． x11＋x21＋x31＋x41＋x51 ≤ 1400
x12＋x32＋x42＋x52≥ 300
x12＋x32＋x42＋x52 ≤ 800
x13＋x23＋x43＋x53≤ 8000
x14＋x24＋x44≥ 700
5x11＋7x12＋6x13+5x14 ≤ 18000
6x21＋3x23＋3x24≤ 15000
4x31＋3x32 ≤ 14000
3x41＋2x42＋4x43＋2x44≤ 12000
2x51＋4x52＋5x53≤ 10000
xij ≥ 0，i＝1，2，3，4，5 j＝1，2，3，4
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝0，x12＝0，x13＝1000，x14＝2400，x21＝0，x23＝5000，x24＝0，
x31＝1400，x32＝800，x41＝0，x42＝0，x43＝0，x44＝6000，x51＝0，
x52＝0，x53＝2000
最优值为 279400

9、解：设第一个月正常生产 x1，加班生产 x2，库存 x3；第二个月正常生产 x4，
加班生产 x5，库存 x6；第三个月正常生产 x7，加班生产 x8，库存 x9；第
四个月正常生产 x10，加班生产 x11，可建立下面的数学模型：
min f ＝ 200（x1＋x4＋x7＋x10）＋300（x2＋x5＋x8＋x11）＋60（x3＋x6
＋x9）

s．t．

计算结果是：
minf= 3710000 元


x1≤4000
x4≤4000
x7≤4000
x10≤4000
x3≤1000
x6≤1000
x9≤1000
x2≤1000
x5≤1000
x8≤1000
x11≤1000
x1+ x2- x3=4500
x3+ x4+ x5- x6=3000
x6+ x7+ x8- x9=5500
x9+ x10+ x11=4500
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0

x1＝4000 吨，x2=500 吨，x3＝0 吨，x4=4000 吨， x5＝0 吨 ，
x6＝1000 吨， x7＝4000 吨， x8＝500 吨， x9＝0 吨， x10＝4000 吨，
x11＝500 吨。

第 5 章 单纯形法

1、解：表中 a、c、e、f 是可行解，a、b、f 是基本解，a、f 是基本可行解。

2、解：a、该线性规划的标准型为：
max 5 x1＋9 x2
s．t．0.5 x1＋x2＋s1＝8
x1＋x2－s2＝10
0.25 x1＋0.5 x2－s3＝6
x1，x2，s1，s2，s3≥0.
b、有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量
取零。
c、（4，6，0，0，－2）
d、（0，10，－2，0，－1）
e、不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。

3、解：a、

迭代次数 基变量
cB
x1
6
x2
30
x3
25
x4
0
x5
0
x6
0
b

0
s1
s2
s3
xj
cj－xj
0
0
0
3 1 0 1 0 0
0 2 1 0 1 0
2 [1] －1 0 0 1
0 0 0 0 0 0
6 30* 25 0 0 0
40
50
20
0

b、线性规划模型为：
max 6 x1＋30 x2＋25 x3
s．t．3 x1＋x2＋s1 = 40
2 x1＋x3＋s2= 50
2 x1＋x2－x3＋s3＝20
x1，x2，x3，s1，s2，s3≥0
c、初始解的基为（s1，s2，s3），初始解为（0，0，0，40，50，20），
对应的目标函数值为 0。
d、第一次迭代时，入基变量是 x2，出基变量为 s3。

4、解：最优解为（2.25，0），最优值为 9。

X2

5、解：a、最优解为（2，5，4），最优值为 84。
b、最优解为（0，0，4），最优值为－4。

6、解：a、有无界解


X1

b、最优解为（0.714，2.143，0），最优值为－2.144。

7、解：a、无可行解
b、最优解为（4，4），最优值为 28。
c、有无界解
d、最优解为（4，0，0），最优值为 8。

1
a． c1≤24
b． c2≥6
c． cs2≤8

2
a. c1≥-0.5
b. -2≤c3≤0
c. cs2≤0.5

3
a. b1≥150


第 6 章 单纯形法的灵敏度分析与对偶

b. 0≤b2≤83.333
c. 0≤b3≤150

4
a. b1≥-4
b. 0≤b2≤300
c. b3≥4

5
a. 利润变动范围 c1≤3，故当 c1=2 时最优解不变
b. 根据材料的对偶价格为 1 判断，此做法不利
c. 0≤b2≤45
d. 最优解不变，故不需要修改生产计划
e. 此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为-12 小于零，对原生
产计划没有影响。

6
均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且对
应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可
知此线性规划有无穷多组解。
7
a. min f= 10y1+20y2.
s.t. y1+y2≥2,
y1+5y2≥1,
y1+y2≥1,
y1, y2≥0.
b. max z= 100 y1+200 y2.
s.t. 1/2 y1+4 y2≤4,
2 y1+6 y2≤4,

2 y1+3 y2≤2,
y1, y2≥0.
8.
a. min f= -10 y1+50 y2+20 y3-20 y4.
s.t. -2 y1+3 y2+ y3- y2≥1,

3 y1+ y2
≥2,

- y1+ y2+ y3- y2 =5,
y1, y2, y2≥0, y3 没有非负限制。

b. max z= 6 y1-3 y2+2 y3-2 y4.
s.t. y1- y2- y3+ y4≤1,
2 y1+ y2+ y3- y4=3,
-3 y1+2 y2- y3+ y4≤2,
y1, y2, y4≥0, y3没有非负限制

9. 对偶单纯形为
max z=4 y1-8 y2+2 y3
s.t y1- y2≤1,
- y1- y2+ y3≤2,
y1-2 y2- y3≤3,
y1, y2, y3≥0
目标函数最优值为: 10
最优解: x1=6, x2=2, x3=0

1.


第 7 章 运输问题

（1）此问题为产销平衡问题
甲 乙

丙

丁

产量

1 分厂
2 分厂
3 分厂
销量
21
10
23
400
17
15
21
250

最优解如下
23
30
20
350
25
19
22
200
300
400
500
1200

********************************************

起

至 销点

发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- -----
1 0 250 0 50
2 400 0 0 0
3 0 0 350 150
此运输问题的成本或收益为: 19800

此问题的另外的解如下：

起

至 销点

发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- -----
1 0 250 50 0
2 400 0 0 0
3 0 0 300 200
此运输问题的成本或收益为: 19800

（2）如果 2 分厂产量提高到 600，则为产销不平衡问题

最优解如下
********************************************

起

至 销点

发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- -----
1 0 250 0 0
2 400 0 0 200
3 0 0 350 0

此运输问题的成本或收益为: 19050

注释：总供应量多出总需求量 200
第 1 个产地剩余 50
第 3 个产地剩余 150

（3）销地甲的需求提高后，也变为产销不平衡问题
最优解如下
********************************************

起

至 销点

发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- -----
1 50 250 0 0
2 400 0 0 0
3 0 0 350 150
此运输问题的成本或收益为: 19600

注释：总需求量多出总供应量 150
第 1 个销地未被满足，缺少 100
第 4 个销地未被满足，缺少 50

2． 本题运输模型如下：

甲
乙
丙
丁
ⅰ
0.3
0.3
0.05
-0.2
300

最优解如下
ⅱ
0.4
0.1
0.05
0.3
250
ⅲ
0.3
-0.4
0.15
0.1
350
ⅳ
0.4
0.2
0.05
-0.1
200
ⅴ
0.1
-0.2
-0.05
-0.1
250
VI
0.9
0.6
0.55
0.1
150

300
500
400
100

********************************************

起


至 销点

发点 1 2 3 4 5 6 7 8
-------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----
1 0 0 100 0 0 200 0 0
2 0 0 0 0 350 0 0 150
3 0 50 0 100 0 0 250 0
4 0 100 0 0 0 0 0 0
5 150 0 50 0 0 0 0 0
此运输问题的成本或收益为: 1.050013E+07

3． 建立的运输模型如下：
1 2
1 600 600+60


3
600+60™2


3

1’
600+600™10% 600+600™10%+60 600+600™10%+60™2 3

2
2’
3
3’


3

最优解如下
700
700+700™10%

5
700+60
700+700™10%+60
650
650+650™10%
6
4
2
2
3

********************************************

起

至 销点

发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- -----
1 2