静力学习题详解2.docx

高中物理竞赛详解
图1-32
高中物理竞赛试题详解（2）
O
1．如图1-32所示,求图示均匀薄板的重心,大正方形边长为a,挖去的小正方形边长为,一个顶点在大正方形的几何中心上,两正方形各对应边相互平行.
1. [解]在大正方形中挖去一个与正方形O1等大,关于正方形中心G对称的小正方形O2,则挖去小正方形后的大正方形,其中重心在G点.其重量为正方形O2的14倍.若设正方形O2的质量为m,则挖了O2后的大正方形的质量为14m

解图1-11
O1
O2
O
x
建立ox坐标轴,根据对称性,重心必在ox轴上.原点在O点.
根据重心公式:
a
r
图1-33
,即:重心在O2O1的连线上,离O1的距离为.
2.如图1-33所示,边长为a的均匀立方体,平衡地放在一个半径为r的圆柱面顶部,假设静摩擦系数很大,足以阻止立方体下滑.试证明物体的稳定平衡的条件.
a
r
解图1-12
A
B
O
P
M
B
P
M
a
N
N
R
S

2.[解]若物体不能下滑, 由图可以看出,当正方体受到扰动时,其中心就由A点移到B点.只要B点的位置比A点高,正方体就处于稳定平衡状态.设:立方体与圆柱的接触点对应的半径转过了a角.如解图1-12所示.
则:初始A点的高度为,在B点时的高度为:

正方体处于平衡,须使 整理得:

x
m
1
Dx
解图1-13
当a很小时, 即只要时,正方体就处于稳定平衡状态.
3.在蜡烛的底部插一个铁钉后，竖立在水中．蜡烛露出水面1cm，已知蜡烛的密度为水密度的0.9倍．现将蜡烛点燃，蜡烛燃烧多长后方可熄灭?
3.解：设水的密度为r0 蜡烛的密度为r，横截面积为s,铁钉的质量为m
则： r0gsx=rgs(x+1)+mg
r0gs(x-Dx)=rgs(x-Dx)+mg
r0gsx=rgs(1+Dx)
Dx=10(cm)
1
2
3
解图１-14
4.用20块质量均匀分布的相同光滑积木块,在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥,已知每一积木块长度为L.横截面是边长为的正方形，要求此桥具有最大跨度(即桥孔底宽）,试画出桥的示意图,并计算跨度s与桥孔高度H的比值。
4.[分析]要使此桥具有最大跨度，显然要按照如解图1-14所示的方式摆放，并使每一积木块上面的积木块尽可能向外伸出，我们给每一木块编上号（见图），先看看最上面两块，由于木块之间无摩擦，因此要使木块1号不倒下，1号的重心（在中点）应在2号木块右端面的左侧，在临界情况下，可使它恰在第2号右端面的正上方，同理，在临界状态下，第1号和第2号木块的共同重心应在3号右端面正上方……
[解]设1号右端面到2号右端面的距离为x1，,
2号右端面到3号右端面到的距离为x2……，以第2号木块的左端为转轴力矩平衡:,可以得出,
同理:第3号右与第4号右端的距离为x3, 以第3号木块的左端为转轴力矩平衡 求得
第k号的右端面的距离为xk……，则第k号由力矩平衡知：
      求得：
解得    
则桥拱长的一半为
    由图1可知
所以。将n=10代入可得．

C
O
5.有一吊盘式杆秤，量程为10kg.现有一西瓜超过此秤量程，店员A找到另一相同的秤跎．把它与原秤砣结在一起进行称量，平衡时，双砣位于6.5kg刻度处．A将此读数乘以2得13kg，作为西瓜的质量.为了检验,他取另一西瓜．正常称量为8kg，用砣称量读数为3kg．乘以2后得6kg，这证明A的办法不可靠，试问，A所称的那个西瓜的实际质量是多大?
解图1-15
A
d
5. 解： 设杆秤的提纽C（支点）与秤盘悬挂点A的距离为d，零刻度O（定盘星）到支点C的距离为lo（O点若在C点左边，与A点在提纽的同侧，lo为负值；反之，lo为正值），由于杆秤上刻度均匀,设每千克刻度长为λ，秤砣的质量为mo。当秤盘中不放物体的情况下，秤砣应放在O点处，这时秤杆和秤盘对C点的合力矩M与秤砣产生的力矩大小相等，M＝lomog。当秤盘中放有质量为千克的物体时，此时砣距O点为8l,距C点为8l+l0(图示的lo为负值). 以C点为轴列方程: M＋mgd＝mog(lo＋λm) ①
代入数值得d=λmo ②
当用双砣称量质量为的物体时，设读数为m1=3kg平衡时应用：
mgd＋M＝2mog(lo＋λm1) ③
代入数值得出: ④
由②④得出: 　　⑤
用双砣称待测质量西瓜时，其读数:列力矩平衡方程:
　⑥
将和⑤代入⑥：
⑥可以整理为 也就是说单砣正常称该西瓜,其读数应为15kg
h
q
图1-34
6.如图1-34所示．梯子长为2l,重量为G，梯子上的人的重量为，人离梯子下端距离为h，梯子与地面夹角为q,梯子下端与地面间的摩擦因数为m,梯子上端与墙的摩擦力忽略不计，试求梯子不滑动时的h值．
6. [解]杆的受力情况如图所示：
由于杆静止，
h
q
解图1-16
G
N
o

解方程可以得出：（原答案有误）
C
B
A
图1-35
所以，只要，梯子就不会滑动。
7.如图1-35所示，一根细棒AB，A端用绞链与天花板相连,B端用绞链与另一细棒BC相连，二棒长度相等．限于在图示的竖直面内运动，且不计绞链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力(与AB，BC在一个平面内)可使二棒静止在图示位置，即二棒相互垂直．且C在A端的正下方
(1)不论二棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内?试说明理由
(2)如果AB棒的质量为m1，BC棒质量为m2求此外力的大小和力向．
(3)此时BC棒对AB棒的作用力的大小是多少
7.[解](1)外力的范围应在竖直线右且在BC棒以上.
将两根棒看作整体，整体受的重力力矩为顺时针，若整体保持平衡，力F的力矩须产生逆时针力矩。即力F应指在AC线的右侧。
以BC为研究对象，B点为轴,BC的重力有逆时针力矩,外力F的力矩须产生顺时针力矩.即F应在BC以上。
C
B
A
解图1-17-1
F
G2
N1
N2
q
g
(2)以BC为研究对象,合力为0,合力矩为0,角
如解图1-17-1所示

由方程可得:
求F的方向可以将AB和BC看作一个整体.以A点为轴力矩平衡 (如解图1-17-2所示):
C
B
A
解图1-17-2
F
q
G1+G2

可以求出

即
C
B
A
解图1-17-3
F
G2
N1
N2
G1
N1′
N2′
(3)BC杆对AB杆的力可以分解为其反作用力为
如解图1-17-3所示：以A点为轴，AB力矩平衡。 ①
以C点为轴，BC力矩平衡：
②
由①②可得： ③
A
B
G
q
图1-36
由于与N2为相互作用力，所以④
BC对AB的作用力为的合力为：
8.在竖直墙面L．有两根相距为2a的水平木桩A和B，有一·细木棒置于A之上,B之下时与竖直方向成q角静止，棒与A,B的摩擦因数为m0,现由于两木桩的摩擦力恰好能使木棒不下坠.如图1-36所示，求此时棒的重心的位置离A桩的距离．
8. [解]对棒受力分析.由棒静止,合力为0,

设重心到A的距离为x,分别以B点和A点为轴,合力矩为0可得:
A
B
G
q
图1-36
N1
f1
N2
f2
G

又有
以上三组方程联立可得:
[解法2] “恰好”不下坠时，A、B两处均达到最大运动趋势，这时两处的全反力RA 、RB和重力G必共点，受力分析如右图（其中C为重心，φm为最大摩擦角）
对△AOC ，有
对△AOB ，有
针对两式消解即可（注意：φm = arctanμ）
s
O
F
r
图1-37
答案：。

9.—个半径为r的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为m,如果在球上加一·个竖直向下的力F，如图1-37所示．问；力F离球心的水平的距离s为多大，才能使球做逆时针转动?
9. [解]当球开始转动时,达到最大静摩擦
s
O
F
r
图1-37
N1
N2
f1
f2
G

分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程.
因为最大静摩擦:
将以上方程联立可得:

10.有一木板可绕其下端的水平轴转动，转轴位于一竖直墙面上。如图，开始时木板与墙面的夹角150，在夹角中放一正圆柱形木棍，截面半径为r，在木板外侧加一力F使其保持平衡。在木棍端面上画一竖直向上的箭头。已知木棍与墙面之间和木棍与木版之间的静摩擦系数分别为μ1=1.00, μ2≈0.577。若极缓慢地减小所加的力F，使角慢慢张开，木棍下落。问当夹角张到600时，木棍端面上的箭头指向什么方向？附三角函数表——
θ
7.5°
15°
30°
60°
sinθ
0.131
0.259
0.500
0.866
cosθ
0.991
0.966
0.866
0.500
10. [解]1.木棍“缓缓下落”，可视为处于一系列平衡态。此时作用于木棍上的力有：重力G，墙壁、木板分别对棍施加的全反力（弹力和摩擦力的合力）R1和R2。平衡时这三个力必须共点（如图2）。
2.木棍与墙之间的临界角、木棍与木板之间的临界角。当全反力R与支持面法线之间夹角达临界角时，则发生滑动，而另一面（未达临界角、即静摩擦未达最大值）则发生滚动。下面，我们对左、右两面可能发生滑动、滚动的情况作一讨论。
如图2，当左面达到临界角时，右边的全反力R2与接触面法线之间的夹角为（其中q为板、墙之间的夹角）。
(1)当时，，即左、右两边均达最大静摩擦，这是一种临界态。
(2)当时，，即右边已达最大静摩擦，而左边尚未达到，则左边滚动，右边滑动。
(3)当时，，即右边尚未达到最大静摩擦时，左边已达到，则左边滑动，右边滚动。
综上所述，结论应是：
当时，右边滑、左边滚；
当时，左边滑、右边滚。
3.计算箭头转角。如图3所示，设张角为q时，木棍中心的高度为h，且。
由图可知：
当时，右边滑、左边滚
∴当木棍由A落下至B时，木棍顺时针转b1角：

∵时时右滚、左滑，木棍相对于木板逆时针动b2角：

而木板同时顺时针转动b3角()。
∴从A至C木棍相对于地面顺时针转动的角度应为：。
答：箭头最后指向是由正上方顺时针转动。
11.测定患者的血沉，在医学上有助于医生对病情作出判断，设血液是由红血球和血浆组成的悬浮．将此悬浮液放进竖直放置的血沉管内，红血球就会在血浆中匀速下沉，其下沉速率称为血沉．某人的血沉v值大约是10mm/h，如果把红血球近似看做是半径为R的小球，且认为它在血浆中下沉时所受的粘滞阻力为．在室温下已知血浆的密度,红血球的密度。试由以上数据估算红血球半径的大小(结果取一位有效数字即可)．
F浮
f阻
G
解图1-21
11.[解]因红血球匀匀速下降,合力为0

将数值代入(注意用单位要统一)
可以解得:
12.一个质量为m，管口截面为S的薄壁长玻璃管内灌满密度为r的水银，现把它竖直倒插在水银槽中，再慢慢与槽中的水银面接触。这时，玻璃管内水银的高度为h。现将管的封闭端挂在天平的一个盘的挂钩上，而在天平另一个盘中放砝码，如图所示。要使天平平衡，则所加砝码的质量等于多少
12.[解法一]取管及管内水银为研究对象，受力有：天平盘上持钩拉力F，管和管内水银的重力，根据天平平衡原理，所加砝码质量为：
L
A
B
图1-40
[解法二]取玻璃管为研究对象，受力有：天平盘上挂钩的拉力F，管顶外部受到大气压向下的压力，管顶内部真空不受力，平衡时，，又管内水银的重力是靠底部大气压支持的，所以有，最后也能求出
13.如图1-40所示，用两段直径均为d=0.02,且相互平行的小圆棒A和B水平地支起一根长为L＝0.64m、质量均匀分布的木条．设木条与二圆棒之间的静摩擦因数m0＝0.4，滑动摩擦因数m=0.2.现使A棒固定不动，并对Ｂ棒施以适当外力，使木棒B向左缓慢移动．试讨论分析木条的移动情况．并把它的运动情况表示出来．设木条与圆棒B之间最先开始滑动．
13.解：（1）木条不动，B棒支点距O点由到；
（2）木条随B运动，A棒支点距O点由到；
（3）木条不动，B棒支点距O点由到；
（4）木条随B运动，A棒支点距O点由到；
（5）木条不动，B棒支点距O点由到；
图1-41
（6）木条随B运动，A棒支点距O点由到时，A，B二棒已互相接触，过程结束，这时木棒处于平衡状态，其中心正对A，B二棒的接触点。
14．用两个爬犁 (雪橇)在水平雪地上运送一根质量为m长为l的均匀横粱，横梁保持水平，简化示意示图，如图1-41所示．每个爬犁的上端A与被运送的横梁端头固连，下端B与雪地接触，假设接触而积很小.一水平牵引力Ｆ作用于前爬犁．作用点到雪地的距离用h表示．已知前爬犁与雪地间的动摩擦因数为k1．后爬犁与雪地间的动摩擦因数为k2．问要在前后两爬犁都与雪地接触的条件下，使横梁沿雪地匀速向前移动．h应满足什么条件?水平牵引力F应多大?设爬犁的质量可忽略不计．
14.[分析]正确地物体进行受力分析,应用物体平衡的条件 是求解平衡问题的基本出发点,准确地领会题中隐含信息,则是求解的关键所在,本题体现了这一解题思路.
N2
f2
f1
N1
F
h
解图1-24
l
[解]整个装置的受力如解图1-24所示,其中N1与N2分别为雪地对爬犁的支持力,f1和f2分别为摩擦力,根据平衡条件有
①
②
③
根据摩擦力与正压力的关系有:

h越大以爬犁与地的前接触点为轴,F的力矩越大.故N2越小.h最大时对应N2=0的情况.将N2=0代入以上各式,可以解得:

故:h应满足的条件是:
9