实验数学九确定炮弹射击的安全区公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,拟定炮弹射击安全区,9.1 实验目,本试验涉及微积分和微分方程。通过试验复习曲线参数方程及其求导、复合函数微商法、微分方程建立及求解和一些二次曲面等知识；另外通过两个实际问题简介平面单参数曲线族包络线概念及其应用。,9.2,试验问题,炮兵在进行射击演练时，必须考虑建立安全区问题。假如炮弹发射速度为,，发射角度,则不加限制。试通过度析弹道曲线来取得射击演练安全区。,、弹道曲线,第1页,第1页,2,设炮弹发射位置为原点,O,。显然，只要在过点,O,且与地面垂直平面内考察弹道情况就能够了。,在此平面建立坐标系。,假如不计空气阻力，容易得到炮弹弹道曲线满足下微分方程组：,第2页,第2页,3,初值条件：,其中,m,为炮弹质量，,g,为重力加速度，,为炮弹在,t,时刻坐标，,为炮弹初速度，,为发射角,对（,9.1,）积分两次，并将（,9.2,）代入，即可导出弹道曲线参数方程为,第3页,第3页,4,消去参数,t,，能够得到弹道曲线直角坐标表示式：,这是我们十分熟悉抛物线。,、安全区和包络线,当发射角改变时，取,就形成一族抛物线段（见图,9.2,）。因此，（,9.3,）或（,9.4,）能够看作是带有参数,平面曲线族。,，相应弹道曲线,第4页,第4页,5,由图可见，所有弹道曲线与图上一条虚线,l,相切，将这虚线绕,y,轴旋转一定角度（炮座所能旋转角度），形成一个旋转面一部分。由这张曲面以及炮座旋转左右两个极限位置发出弹道曲线所在平面围成区域之外炮弹不也许击中，因而称之为“安全区”，,l,也就称为“安全曲线”。,如何求出,l,呢？,从图还可见，安全线本身并不是某一条弹道曲线，但是安全线上每一点，必有某一条也只有一条弹道曲线在该点与它相切。,第5页,第5页,6,抽象成数学概念，我们称安全线为弹道曲线族包络线。,、问题,1,求解,设某一平面曲线族为,，其中,为参数。其包络线,l,如图,9.3,所表示。,在,l,上任取一点,，必有曲线族中某一条曲线,c,与,l,相切于点,p,。,也就是说，一旦拟定了参数,值，点,p,也被唯一地拟定。,第6页,第6页,7,因此，点,p,坐标是参数,函数，即,它们满足,由式（,9.5,）知，,l,在点,p,切线斜率为,而,c,在点,p,切线斜率为,第7页,第7页,8,令以上两者相等，可得,将（,9.6,）式对,求导数，得到,将（,9.9,）式代入（,9.10,）式，即得,综合（,9.6,）式与（,9.11,）式，得到,l,应满足方程组：,第8页,第8页,9,下面我们利用（,9.12,）来考察（,9.4,）式，,对,求导,解出,代入（,9.4,），即得安全线方程,第9页,第9页,10,这也是一条抛物线，其最大值和与,x,正半轴交点,横坐标分别为,若取,z,轴与,x,、,y,轴成空间直角坐标系，则安全线所形成旋转面为,以及,代入，即得,第10页,第10页,11,于是射击演练安全区就由此旋转抛物面与两个过,y,轴平面围成。,由上式或（,9.15,）式可知，演练时炮弹高度将不超出,2 041,（,m,），射程将不超出,4 082,（,m,）。,假如曲线族参数方程形式已给出，则类似可推出其包络线,l,应满足判别方程组为：,第11页,第11页,12,事实上,对于包络线,因此,对于曲线,C,因此,因此,即有,第12页,第12页,13,下面我们再用（,9.17,）来考察（,9.3,）式，,利用（,9.17,）中第三式解得,代回式（,9.3,），又得到,l,参数方程：,第13页,第13页,14,消去此式中,，同样可得（,9.14,）式。,注意，（,9.12,）或（,9.17,）是包络线判别方程，即包络线应满足（,9.12,）或（,9.17,）式；但满足判别方程却不一定是曲线族包络线。,反例见讲义,第14页,第14页,15,9.3,试验任务,1,，,2,第15页,第15页,