有限元理论与方法-第3讲.doc

讲 授 内 容
备 注
第3讲(第3周)

3.节点平衡方程与整体刚度矩阵
从一个桁架中取一节点i，如图1-4a所示，设环绕该点有三个单元，即ij、im、ip。该节点承受的水平和垂直荷载分别为Xi和Yi，即节点i的荷载Pi=[Xi Yi]T。

a b
图1-4 节点i的平衡
根据力的平衡，作用于杆单元的节点力与作用于节点的节点力，其大小相等，方向相反。以杆ij为例，作用于杆单元的节点力是[Uij Vij]T，而作用于节点i的节点力是[-Uij -Vij]T。将节点脱离出来，受力分析如图1-4b所示，在水平和垂直方向的节点受力平衡方程为
（1-2-15）
由式（1-2-14）知道杆单元ij在节点i的节点力为
（1-2-16）
其它单元施于节点i的节点力同样可以写出，一起代入式（1-2-15），得到
（1-2-17）
每个节点都有一对平衡方程如上，对于全部节点i=1,2,…,N的结构，得到2N阶线性方程组，即结构的节点平衡方程组
（1-2-18）
其中

式中，δ为全部节点位移组成的列阵；P为全部节点荷载组成的列阵；K为结构的整体刚度矩阵。
4.总体刚度矩阵的合成
由单元刚度矩阵合成结构的整体刚度矩阵通常采用两种方法，一种为编码法，一种为大域变换矩阵法，前者对自由度较少的结构简单明了，后者特别适合计算机编程运算。下面重点阐述后者。
结构总体刚度矩阵[K]与单元刚度矩阵[K]e之间的关系为
（1-2-19）
其中
Ge为单元大域变换矩阵，对平面桁架结构，单元自由度m=4，节点自由度为h=2，整个结构有n个节点，则该单元大域变换矩阵为m×（hn）维。其中ij单元假定为全局单元编号中第3个，其大域变换矩阵为
（1-2-20）
另外，总体结构的荷载向量、位移向量与单元荷载向量、位移向量之间的关系为
（1-2-21）
（1-2-22）
5.边界条件的处理

图1-5 桁架
边界条件指结构边界上所受到的外加约束。边界上的节点通常有两种情况。一种可以自由变形，如图1-5中的节点5、6、7、8等，这时只要让这些节点上的荷载等于零就可以了。如果节点3作用着外荷载，可令该点的荷载等于规定的荷载Q。另一种是边界上的节点，规定了节点位移的数值，如图1-5所示桁架，有
u1=v1=v4=0，v2=b
这时，是否可以把规定的位移数值直接放到平衡方程Kδ=P中去呢?当采用迭代法求解时，是可以这样做的。如果采用直接法求解时，就不能这样做了，因为直接法是以全部节点位移都是未知量为基础的。
现在把结构平衡方程组重新排列如下

式中，δb是已知的节点位移，δa是未知的节点位移。相应地，Pa 是已知的节点荷载，而Pb是未知的支点反力。只要已给出的位移δb足以阻止结构的刚体移动，则子矩阵Kaa将是非奇异的，可以解出未知的节点位移
δa=Kaa-1（Pa－Kabδb）
进而求出未知支点反力如下
Pb=（Kbb－KabTKaa-1Kab）δb +KabTKaa-1Pa
上面我们说明了求解平衡方程组的步骤，但在有限单元法中，未知量的个数通常有几百个，甚至几万个，一般都利用电子计算机求解。给定位移的节点和给定荷载的节点实际上是交错出现的。通常为了程序设计的方便，刚度矩阵[K]的行序和列序都不改变，而作下述处理。
设设结构的平衡方程为
（1-2-23）
对u1=0上式作如下变化，在刚度矩阵[K]中，把与u1对应的对角线上的刚度系数是k1,1换为一个极大的数，例如可换成k1,1×108；把与u1对应的节点荷载换成k1,1×108×u1=0，其余保留不变。对其它边界条件可以类推。
通过上述变化，式（1-2-23）中节点位移列阵成为未知量，荷载列阵成为已知向量，两端左乘刚度矩阵的逆阵可以求出节点位移，进而得到节点力和单元内力。上述以位移作为未知量求解并表示出节点力和单元内力的方法，称为“位移法”，相应的有限单元法为“位移法有限元”。以单元内力为未知量的有限元方法称为“力法有限元”，工程中采用不多。

[例1-1]桁架结构的平衡方程
如图1-6所示桁架结构，支承条件为：u1=v1=u4=v4=0，u3=b。该桁架共有6个杆单元，各单元的尺寸和倾角如表1-1所示。试列出该桁架结构的平衡方程。
表1-2-1 单元结构尺寸
杆单元
i点
j点
面积
长度
弹性模量
倾角θ（º）
α=cosθ
β=sinθ
α2
β2
αβ
12
1
2
A
l
E
90
0
1
0
1
0
13
1
3
A
l
E
45
1/
1/
1/2
1/2
1/2
14
1
4
A
l
E
0
1
0
0
0
0
23
2
3
A
l
E
0
1
0
0
0
0
24
2
4
A
l
E
315
1/
-1/
1/2
1/2
1/2
34
3
4
A
l
E
270
0
-1
0
1
0

图1-6 桁架
求解步骤
(1) 根据前述列出各单元的刚度矩阵
，，…
(2) 列出各单元的大域变换矩阵
，，…
(3) 进而计算整体刚度矩阵[K]，写出结构总体平衡方程为

(4) 引入边界条件后得到

3.1.1 有限单元法分析的一般步骤
1. 结构离散化
结构离散化就是将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。结构的离散化是有限单元法分析的第一步，关系到计算精度与计算效率，是有限单元法的基础步骤，包含以下三个方面的内容：
(1) 单元类型选择。离散化首先要选定单元类型，这包括单元形状、单元节点数与节点自由度数等三个方面的内容。
(2) 单元划分。划分单元时应注意以下几点：①网格划分越细，节点越多，计算结果越精确。网格加密到一定程度后计算精度的提高就不明显，对应力应变变化平缓的区域不必要细分网格。②单元形态应尽可能接近相应的正多边形或正多面体，如三角形单元三边应尽量接近，且不出现钝角；矩阵单元长宽不宜相差过大等。③单元节点应与相邻单元节点相连接，不能置于相邻单元边界上。④同一单元由同一种材料构成。⑤网格划分应尽可能有规律，以利于计算机自动生成网格。
(3) 节点编码
2. 单元分析
通过对单元的力学分析建立单元刚度矩阵Ke。
3. 整体分析
整体分析包括以下几方面内容：
(1) 集成整体节点载荷向量P。结构离散化后，单元之间通过节点传递力，所以有限单元法在结构分析中只采用节点载荷，所有作用在单元上的集中力、体积力与表面力都必须静力等效地移置到节点上去，形成等效节点载荷。最后，将所有节点载荷按照整体节点编码顺序组集成整体节点载荷向量。
(2) 集成整体刚度矩阵K，得到总体平衡方程
K δ=P
(3) 引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。

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