2014届武汉市高三5月供题(三)理科数学试题及答案.doc

武汉市2014届高三5月供题（三）
理科数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i=，则a＋bi=
A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i
2．命题“存在实数，使＞1”的否定是
A．对任意实数，都有＞1 B．不存在实数，使≤1
C．对任意实数，都有≤1 D．存在实数，使≤1
3．在四边形ABCD中，，，则四边形的面积为
A． B． C．5 D．10
4．执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出的S＝
A. B．
C. D．
5．若函数在上是增函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．如右图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x∈(0，))及直线x=a(a∈(0，))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值为
A． B．
C． D．
7．如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是
A．
B．
C．
D．

8．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则
A．5 B．6 C．7 D．8
9．函数的图象如图所示,在区间上可找到个不同的数使得，则的取值范围是
A． B．
C． D．
10．已知两条直线：y=m 和： y=(m＞0)，与函数的图象从左至右相交于点A，B ，与函数的图象从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b ，当m 变化时，的最小值为
A． B. C. D.

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．
（一）必考题（11—14题）
11．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝ ．
12．满足约束条件的目标函数的最小值是 ．
13．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），
则该几何体的体积为 m3．

14．设为数列的前n项和，则
（Ⅰ）__ ___；
（Ⅱ）__ ．
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答
15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切
线分别交DA、CA的延长线于E、F．已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为 ．
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），在以O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为，则C1与C2的交点个数为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋)（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）讨论f(x)在区间[0，]上的单调性．

18．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值．

19．（本小题满分12分）
A
B
C
D
E
F
G
M
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC．AB=２EF．
（Ⅰ）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；
（Ⅱ）若AC＝BC=2AE，求二面角A-BF-C的大小．

20．（本小题满分12分）
设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
（Ⅰ）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη=，Dη=，求a∶b∶c．

21．（本小题满分13分）
如图，已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1—C2型点”．
（Ⅰ）设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1—C2型点”；
（Ⅱ）求证：圆内的点都不是“C1—C2型点”．

22．（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为，证明：当时，有．

武汉市2014届高三5月供题（三）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题
1．C 2．C 3．C 4．A 5．D
6．B 7．D 8．B 9．B 10．B
二、填空题
11．4 12．－2 13．30 14．（Ⅰ）；（Ⅱ）
15． 16．2
三、解答题
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋)＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx
＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋＝2sin(2ωx＋)＋．
因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，
从而有＝π，故ω＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)＝2sin(2x＋)＋，
∵0≤x≤，∴≤2x＋≤．
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递增．
18．（本小题满分12分）
解：

19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为EG//AB，FG//AC，，
所以，∽.
因为AB=2EF，所以BC=2FG.
连结AF，由于FG//BC，FG=.
在平行四边形ABCD中，M是线段AD的中点.
则AM//BC，且AM=.
所以FG//AM且FG=AM.
所以四边形AFGM为平行四边形.
所以GM//FA.
又FA平面ABFE，GM平面ABFE.
所以GM//平面ABFE.
（Ⅱ）因为，所以.
又EA⊥平面ABCD，所以AC、AAE两两垂直.
分别以AC、AD、AE所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设AC=BC=2AE=2，则由题意得A（0，0，0），B（2，-2，0），C（2，0，0），E（0，0，1），所以，.
又，所以F（1，-1，1），.
设平面BFC的法向量为，则
所以
取，则.
设平面ABF的法向量为，则
A
B
C
D
M
E
F
G
x
y
z
所以
取，则.
所以.
因此，二面角A-BF-C的大小为.

20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得ξ=2，3，4，5，6．
故P(ξ=2)==，P(ξ=3)==，P(ξ=4)==，
P(ξ=5)==，P(ξ=6)== ．
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P

（Ⅱ）由题意知η的分布列为
η
1
2
3
P

所以E(η)=++=，
D(η)=×+×+×= ．
化简得解得a=3c，b=2c，
故a∶b∶c=3∶2∶1

21．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）直线与C2有交点,则
,若方程组有解,则必须;
直线与C2有交点,则
,若方程组有解,则必须
故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.
（Ⅱ）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在;
根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则

直线与圆内部有交点,故
化简得,............①
若直线与曲线C1有交点,则

化简得,.....②
由①②得,
但此时,因为,即①式不成立;
当时,①式也不成立
综上,直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,
即圆内的点都不是“C1-C2型点” .

22．（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)函数）的定义域为.
.
令，得.
当变化时，，的变化情况如下表：

-
0
+

↘
极小值
↗
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
(Ⅱ)当时，.
设，令.
由(Ⅰ)知，在区间上单调递增.
，.
故存在唯一的，使得成立.
(Ⅲ)因为，由(Ⅱ)知，，且，从而
，其中.
要使成立，只需.
当时，若，则由的单调性，有，矛盾.
所以，即，从而成立.
另一方面，令.
由，得.
当时，；当时，.
故对，.
因此成立.
综上，当时，有.

数学（理科）试卷 第13页