第1节-几何证明选讲(选修4-1).doc

选考部分
第十一篇 选修4系列
第1节　几何证明选讲(选修4-1)
　限时训练 规范答题·提升能力
【选题明细表】
知识点、方法
题号
相似三角形的判定与性质
1、2、8
圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题
10、11、13、15
与圆有关的比例线段
3、4、5、7、12、16
综合应用
6、9、14
1.(2014湖北三校联考)如图所示,矩形ABCD中,E是BC上的点,AE⊥DE,BE=4,EC=1,则AB的长为　　　. 

解析:法一　∵∠B=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵AE⊥DE,
∴∠AEB+∠CED=90°.
∴∠BAE=∠CED,
∴Rt△ABE∽Rt△ECD,
∴=,
即=,
∴AB=2.
法二　过E作EF⊥AD于F.
由题知AF=BE=4,

DF=CE=1.
则EF2=AF·DF=4.
∴AB=EF=2.
答案:2
2.(2013重庆市江津中学模拟)一直角三角形的两条直角边之比是1∶3,则它们在斜边上的射影的比是　　　　. 
解析:如图所示,设在Rt△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB于D,

AC=m,BC=3m,
则有AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,
===,
即它们在斜边上的射影的比是1∶9.
答案:1∶9
3.(2013重庆市高三学业调研(二))如图所示,AB,CD是圆的两条相交弦,其交点为E,BF∥CD交AD的延长线于F.若AE=3,BE=1,CE=,则线段FB=　　　　. 

解析:由相交弦定理可得AE·BE=CE·DE,
则DE==,
又由BF∥CD,可得=,
即得BF===3.
答案:3
4.(2013重庆市铜梁中学高三模拟)如图所示,PC切☉O于点C,割线PAB经过圆心O,弦CD⊥AB于点E,PC=4,PB=8,则CD=　　　　. 

解析:依题意得PC2=PA·PB,
PA==2,
AB=PB-PA=6;
连接OC,则有OC⊥PC,PO=PB-AB=5,

PO·CE=PC·OC,
故CE==,CD=2CE=.
答案:
5.(2012年高考陕西卷)如图所示,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=　　　　. 

解析:由相交弦定理可知ED2=AE·EB=1×5=5,
又由射影定理,得DF·DB=ED2=5.
答案:5
6.(2012年高考湖北卷)如图,点D在☉O的弦AB上移动,AB=4,连接OD,过点D作OD的垂线交☉O于点C,则CD的最大值为　　　　. 

解析:圆的半径一定,在Rt△ODC中解决问题.
当D为AB中点时,OD⊥AB,OD最小,
此时DC最大,所以DC最大值=AB=2.
答案:2
7.(2014高三珠海一中等六校联考)如图所示,过☉O外一点P作一条直线与☉O交于A,B两点,已知弦AB=6,点P到☉O的切线长PT=4,则PA=　　　. 

解析:由切割线定理得
PT2=PA·PB=PA(PA+AB),
即42=PA(PA+6),
∴PA2+6PA-16=0,
解得PA=2或PA=-8(舍去).
答案:2
8.(2013年高考陕西卷)如图,弦AB与CD相交于☉O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P.已知PD=2DA=2,则PE=　　　　. 

解析:由PD=2DA=2,得PA=PD+DA=2+1=3,
又PE∥BC,得∠PED=∠C,
又∠C=∠A,得∠PED=∠A,
在△PED和△PAE中,∠EPD=∠APE,∠PED=∠A,
所以△PED∽△PAE,
得=,
因此PE2=PA·PD=3×2=6,PE=.
答案:
9.(2013重庆冲刺卷五)如图所示,AB是圆O的直径,弦AD和BC相交于点P,连接CD.若∠APB=120°,则等于　　　　. 

解析:根据相似三角形得比例关系,再由正弦定理求解.
因为△CDP∽△ABP,
所以=,
连接AC,因为AB是圆O的直径,
所以∠ACP=90°.
因为∠APB=120°,
所以∠APC=60°,
所以∠CAP=30°,
则===.
答案:
10.(2013重庆市巴蜀中学高三第一次月考)如图所示,AB是☉O的直径,P是AB延长线上的一点,过P作☉O的切线,切点为C,PC=2,若∠CAP=30°,则☉O的直径AB=　　　　. 

解析:连接OC,

则∠COP=60°,
又PC为圆的切线,则有OC2+(2)2=4OC2,
解得OC=2,故圆的直径为4.
答案:4
11.(2014北京西城区模拟)如图所示,AB是圆O的直径,P在AB的延长线上,PD切圆O于点C.已知圆O半径为,OP=2,则PC=　　　;
∠ACD的大小为　　　　. 

解析:据已知易得PC2=PB×PA⇒PC2=(2-)×(2+)=1,故PC=1.
连接OC,
则OC⊥CP.
在直角三角形POC中,由PC=OP可得∠POC=30°,∠POC=2∠ACO=30°⇒∠ACO=15°,
因此∠ACP=90°+15°=105°,
故∠ACD=180°-105°=75°.
答案:1　75°
12.如图所示,AB,CD是圆的两条弦,且AB是线段CD的中垂线,已知AB=6,CD=2,则线段BC的长度为　　　. 

解析:设AB与CD交于点E,
∵AB是线段CD的中垂线,
∴CE=ED=CD=.
又设BE=x,∴AE=6-x,显然6-x>x,即x<3.
由相交弦定理得AE·BE=CE·ED,
即(6-x)x=·,∴x2-6x+5=0,
解得x=1或x=5(舍去),
∴BC===.
答案:
13.(2014雷州市第一中学高三月考) 已知PA是圆O的切线,切点为A,直线PO交圆O于B,C两点,AC=2,∠PAB=120°,则圆O的面积为　　　. 
解析:设∠PAC=θ,
∵PA是圆O的切线,且OA=OB,

∴∠CAP=∠OBA=∠OAB=θ.
又∵∠BCA=∠P+∠PAC=∠P+θ,
△ABP中,∠PAB+∠OBA+∠P=180°,
即θ+∠P=60°,
∴∠BCA=60°.
Rt△ABC中,AC=2,∠BCA=60°,
∴BC=4,即☉O的直径为4,半径为2.
∴圆O的面积为S=πr2=π·22=4π.
答案:4π
14.(2013重庆冲刺卷一)如图所示,☉O与☉P相交于A、B两点,点P在☉O上,☉O的弦BC切☉P于点B,CP及其延长线交☉P于D、E两点,过E作EF垂直于CE交CB的延长线于点F,若CD=2,CB=2,则EF的长等于　　　　. 

解析:连接BP,由于CB为☉P的切线,故CB⊥BP,
设☉P的半径为r,
则有CB2+BP2=(2)2+r2=CP2=(2+r)2,
解得r=1,利用△CBP与△CEF相似可得=⇒=,解得EF=.
答案:
15.(2013重庆巴蜀中学期末)如图所示,圆O的直径AC=4,CM∶MA=1∶3,∠BCD=120°,则DM=　　　　. 

解析:如图所示,连接OD.

∵AC=4,CM∶MA=1∶3,
∴OC=OD=2,CM=1,
∴OM=1.
∵∠BCD=120°,∴∠BAD=60°,
∴∠COD=60°,
∴△OCD为等边三角形.
∵OM=CM,∴DM⊥OC.
∴DM===.
答案:
16.(2013重庆考试说明样卷)设圆O的直径AB=2,弦AC=1,D为AC的中点,BD的延长线与圆O交于点E,则弦AE=　　　　. 
解析:如图所示,连接BC.

∵AB为圆O的直径,
∴∠ACB=∠AEB=90°.
∵AC=1,且D为弦AC的中点,
∴AD=DC=.
在Rt△ACB中,BC===.
在Rt△DCB中,
BD===.
由相交弦定理得AD·DC=BD·DE,
∴DE==.
∴BE=BD+DE=+=.
在Rt△AEB中,
AE===.
答案: