资源描述
2022—2023 学年九年级 4 月质量检查数学（问卷）
考试时间：120 分钟 满分：120 分
命题：苏青艳 审题：谭艳妮
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数
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3. 函数 y =
1
x - 2
中自变量 x 的取值范围是（ ）
A. x ¹ -2
B. x ¹ 2
C. x < 2
D. x > 2
4. 下列二次函数中，其图象的顶点坐标是(2,-1)的是（ ）
A. y = ( x - 2)2 +1
C. y = ( x - 2)2 -1
B. y = ( x + 2)2 +1
D. y = ( x + 2)2 -1
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. -9 的立方根是-3 B. 16 的平方根是±4
C. (p- 4)2 的算术平方根是 4 -p
D. 如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是
0 或 1
6. 已知eO 的半径是 8，点 P 到圆心O 的距离d 为方程 x2 - 4x - 5 = 0 的一个根，则点 P 在（ ）
A. eO 的内部 B.
C. eO 上或eO 的内部 D.
eO 的外部
eO 上或eO 的外部
7. 已知抛物线 y = ax2 + bx + c 经过(-1，m)，(3，m) 两点，下列结论：① b2 - 4ac＞0；②抛物线在 x = 1处取得最值；③无论 m 取何值，均满足3a + c = m ；④若（x0，y0 ) 为该抛物线上的点，当 xo＜-1 时， y0＜m
一定成立．正确的有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
8. 两个小组同时攀登一座 480m 高的山，第一组的攀登速度是第二组的 1.5 倍，第一组比第二组早 0.5h 到达顶峰，设第二组的攀登速度为v m/min，则下列方程正确的是（ ）
A. 480 = 480 + 0.5
1.5v v
C. 480 = 480 + 30
1.5v v
B. 480 = 480 - 0.5
1.5v v
D. 480 = 480 - 30
1.5v v
9. 如图，在等边 VABC 中，CD ^ AB ，垂足为 D ，以 AD ，CD 为邻边作矩形 ADCE ，连接 BE 交CD 边于点 F ，则cos ÐCBE 的值为（ ）
A. 5 7 14
B. 2 7 7
C. 1 21
14
D. 1 21
7
10. 已知抛物线 y = x2 + bx + c 的顶点是原点，点 A 在第一象限抛物线上，点 B 为点 A 关于原点对称点，
OC ^ AB 交抛物线于点 C，则VABC 的面积 S 关于点 A 横坐标的 m 的函数解析式为（ ）
A. S = m + m-1
B. S = m - m-1
C. S = m2 + m
D. S = m2 - m
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11. 不等式 2x -1 < 7 的解集是
12 因式分解： 3x2 -12 y2 = ．
13. 如图， VABC 中， AB = AC = 10, BC = 12 ，则底边 BC 上的高 AD = ．
14. 在VABC 中，ÐABC = 90° ，AC = 5 ，BC = 4 ，以 AC 为边作V ACD ，使得ÐACD=90° ，如果 VABC
与V ACD 相似，那么CD 的长为 ．
15. 如图，在等边VABC 中， AB = 4 ，以 A 为圆心、 AB 为半径作 B¼EC ﹐以 BC 为直径作 B¼FC ，两弧形成阴影图形，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π）．
16. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点O ， F 是线段OD 上的动点（点 F 不与点 O， D 重合）连接CF ，过点 F 作 FG ^ CF 分别交 AC ， AB 于点 H，G，连接CG 交 BD 于点 M，作OE P CD
交CG 于点 E，EF 交 AC 于点 N．有下列结论：①当 BG = BM 时，AG =
2BG ；② CN 2 = BM 2 + DF 2 ；
③ ÐGFM = ÐGCH 时， CF 2 = CN × BC ；④ OH
= OF ．其中正确的是
（填序号）．
OM OC
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
ì2x - y = 17
î
17 解方程组： í7x - 3y = 4
18. 如图，已知 AB = AD ， AC = AE ， ÐBAD = ÐCAE ．求证： BC = DE ．
19. 为了庆祝中共二十大胜利召开，某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，学生的得分为整数，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A 级为特等奖，B 级为一等奖，C 级为二等奖，D 级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：
（1） 本次被抽取的部分学生人数是 人；
（2） 把条形统计图补充完整；
（3） 九年级一班有 4 名获特等奖的学生小聪、小明、小伶、小俐，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中小聪和小明的概率．
20. 环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最 高允许的1.0mg / L ．环保局要求该企业立即整改，在 15 天以内(含 15 天)排污达标．整改过程中，所排污
水中硫化物的浓度 y (mg / L) 与时间 x (天)的变化规律如图所示，其中线段 AB 表示前3 天的变化规律，从第 3 天起，所排污水中硫化物的浓度 y 与时间 x 成反比例关系．
（1） 求整改过程中硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式；
（2） 该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在 15 天以内不超过最高允许的1.0mg / L ？为什么？
21. 如图，在VABC 中， ÐC = 90° .
（1）尺规作图：在 BC 上作一点 D，使得ÐADC = 2ÐB.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若 AC = 1, ÐB = 22.5° ，求 AC 的值.
BC
22. 某种商品的标价为 200 元/件，经过两次降价后的价格为 162 元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1） 求该种商品每次降价的百分率；
（2） 若该种商品进价为 156 元/件，若以 200 元/件售出，平均每天能售出 20 件，另外每天需支付其他各种
费用 150 元，在每件降价幅度不超过 10 元的情况下，若每件降价 1 元，则每天可多售出 5 件，如果每天盈
利 1450 元，每件应降价多少元?
23. 如图 1， AB 为半圆 O 的直径，C 为 BA 延长线上一点， CD 切半圆于点 D， BE ^ CD ，交CD 延长线于点 E，交半圆于点 F，已知 BC = 5 ， BE = 3 ．点 P，Q 分别在线段 AB，BE 上（不与端点重合），且
满足 AP = 5 ．设 BQ = x ， CP = y ．
BQ 4
（1） 求半圆 O 的半径．
（2） 求 y 关于 x 的函数表达式．
（3） 如图 2，过点 P 作 PR ^ CE 于点 R，连结 PQ，RQ ．当VPQR 为直角三角形时，求 x 的值．
24. 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交 x 轴于点 A(6，0)和点 B(－1，0)，交 y 轴于点 C．
（1） 求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2） 如图（1），点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的动点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的平行线，交直线 AC
于点 D，E，当 PD＋PE 取最大值时，求点 P 的坐标；
（3） 如图（2），点 M 为抛物线对称轴 l 上一点，点 N 为抛物线上一点，当直线 AC 垂直平分△AMN 的边
MN 时，求点 N 的坐标．
25. 阅读理解：如果一个直角与一条折线相交形成一个封闭图形，那么这条折线在封闭图形上的部分就称为 这个角的“补美边”． 例如：图 1 中∠QPK＝90°，它与折线 MNGH 形成的“补美边”有三条，分别是线段 MN、NG 和 GH．
解决问题：（1）如图 2，∠QPK 与矩形 ABCD 形成“补美边”，点 P 在边 AD 上且 AP＝2．若已知矩形 ABCD
中 AB＝4，AD＝8．分别记∠QPK 的两边 PQ 和 PK 交矩形的边于点 E 和点 F，设∠APE＝ b，0≤ b≤90°．
①若b＝30°，求∠QPK “补美边”的所有边长之和；
②若∠QPK “补美边”的所有边长之和为 9，求 tan b的值．
（2）如图 3，已知平行四边形 ABCD 中∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．点 P 在边 AD 上且 AP＝2，若∠QPK
与平行四边形 ABCD 形成“补美边”的所有边长之和为 10，请直接写出线段 AE 的长．
2022—2023 学年九年级 4 月质量检查数学（问卷）
考试时间：120 分钟 满分：120 分
命题：苏青艳 审题：谭艳妮
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“将图形绕着某一点旋转180° 与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．
【详解】A. 图形绕着圆心旋转180°与原图形重合，故此项正确；
B. 图形绕着圆心旋转180°与原图形不重合，故此项错误；
C. 图形绕着圆心旋转180°与原图形不重合，故此项错误；
D. 图形绕着圆心旋转180°与原图形不重合，故此项错误． 故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，掌握定义是解题的关键．
2. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数
【答案】D
【解析】
【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选 D．
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3. 函数 y =
1
x - 2
中自变量 x 的取值范围是（ ）
A. x ¹ -2
B. x ¹ 2
C. x < 2
D. x > 2
【答案】B
【解析】
【分析】由 x - 2 ¹ 0 ，可得 x ¹ 2 ，从而可得答案．
【详解】解：∵ x - 2 ¹ 0 ，
∴ x ¹ 2 ，
∴函数 y =
故选 B
1
x - 2
中自变量 x 的取值范围 x ¹ 2 ．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，熟记分式有意义的条件是解本题的关 键．
4. 下列二次函数中，其图象的顶点坐标是(2,-1)的是（ ）
A. y = ( x - 2)2 +1
C. y = ( x - 2)2 -1
B. y = ( x + 2)2 +1
D. y = ( x + 2)2 -1
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数 y = a ( x - h)2 + k 的图象的顶点坐标为(h, k ) 逐项判断即可求解．
【详解】解：A． y = ( x - 2)2 +1的图象的顶点坐标为(2,1) ，不符合题意；
B. y = ( x + 2)2 +1的图象的顶点坐标为(-2,1) ，不符合题意；
C. y = (x - 2)2 -1 的图象的顶点坐标为(2,-1)，符合题意；
D. y = ( x + 2)2 -1的图象的顶点坐标为(-2, -1) ，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解答的关键．
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. -9 的立方根是-3 B. 16 的平方根是±4
C. (p- 4)2 的算术平方根是 4 -p
D. 如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是
0 或 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据立方根及平方根与算术平方根的求法依次判断即可．
【详解】解：A、-9 的立方根是 3 -9 ，选项错误，不符合题意；
16
B、 = 4 ， 16 的平方根是±2 ，选项错误，不符合题意；
C、p- 4 < 0 ，
(p- 4)2 的算术平方根是4 -p，选项正确，符合题意；
D、如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是 0，选项错误，不符合题意； 故选：C．
【点睛】本题主要考查立方根及平方根与算术平方根的求法，熟练掌握运算法则是解题关键．
6. 已知eO 的半径是 8，点 P 到圆心O 的距离d 为方程 x2 - 4x - 5 = 0 的一个根，则点 P 在（ ）
A. eO 的内部 B.
C. eO 上或eO 的内部 D.
eO 的外部
eO 上或eO 的外部
【答案】A
【解析】
【分析】解一元二次方程根据点与圆的关系直接判定即可得到答案．
【详解】解：解方程可得，
x1 = 5 ， x2 = -1 ，
∵点 P 到圆心O 的距离d 为方程 x2 - 4x - 5 = 0 的一个根，
∴ d = 5 < 8 ，
∴点 P 在eO 的内部， 故选 A．
【点睛】本题考查解一元二次方程及点与圆的关系，解题的关键是正确解方程及掌握点到圆心距离与圆半 径关系判断点与圆的关系．
7. 已知抛物线 y = ax2 + bx + c 经过(-1，m)，(3，m) 两点，下列结论：① b2 - 4ac＞0；②抛物线在 x = 1 处
取得最值；③无论 m 取何值，均满足3a + c = m ；④若（x0，y0 ) 为该抛物线上的点，当 xo＜-1 时， y0＜m
一定成立．正确的有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】B
【解析】
【分析】由于 m 的值不确定，无法判断抛物线与 x 轴有没有交点，可以判断①；根据抛物线 y = ax2 + bx + c
经过(-1，m)，(3，m) 两点，可以求出抛物线的对称轴为 x = 1 ，故可以判断②；把(-1，m)，(3，m) 代入
y = ax2 + bx + c 可以判断③；根据 a > 0 和a < 0 时，由函数的性质可以判断④．
【详解】解：当 m = 0 时，抛物线与 x 轴有两个交点，
∴ b2 - 4ac＞0 ，
∵m 的值不确定，
∴ b2 - 4ac＞0 不一定成立， 故①错误；
∵抛物线过(-1，m)，(3，m) 两点，
∴抛物线的对称轴为直线 x = -1+ 3 = 1，
2
∴当 x = 1 时，抛物线取得最值， 故②正确；
∵ (-1，m)，(3，m) 两点均在抛物线上，
ì a - b + c = m
∴ í ，
î9a + 3b + c = m
解得3a + c = m ，
故无论 m 取何值，均满足3a + c = m ， 故③正确；
当 a＞0 时，抛物线开口向上，
∴在直线 x = 1 的左侧，y 随 x 的增大而减小，
∴当 xo＜-1 时， y0 > m ； 当 a＜0 时，抛物线开口向下，
∴在直线 x = 1 的左侧，y 随 x 的增大而增大， 当 xo＜-1 时，此时 y0＜m ，
故④错误． 故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题的关键是对二次函数性质的掌握和
运用．
8. 两个小组同时攀登一座 480m 高的山，第一组的攀登速度是第二组的 1.5 倍，第一组比第二组早 0.5h 到达顶峰，设第二组的攀登速度为v m/min，则下列方程正确的是（ ）
A. 480 = 480 + 0.5
1.5v v
C. 480 = 480 + 30
1.5v v
B. 480 = 480 - 0.5
1.5v v
D. 480 = 480 - 30
1.5v v
【答案】D
【解析】
【分析】设第二组的速度为v m/min,则第一组的速度是1.5v m/min，根据第一组比第二组早 30min,列出方程即可．
【详解】解：设第二组的速度为v m/min,则第一组的速度是1.5v m/min，由题意，得
480 = 480 - 30 ．
1.5v v
故选：D．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题 的关键．
9. 如图，在等边 VABC 中，CD ^ AB ，垂足为 D ，以 AD ，CD 为邻边作矩形 ADCE ，连接 BE 交CD 边
于点 F ，则cos ÐCBE 的值为（ ）
A. 5 7 14
【答案】A
B. 2 7 7
C. 1 21
14
D. 1 21
7
【解析】
【分析】设等边 VABC 的边长为 a，则 AB = BC = AC = a ．根据等边三角形的性质可得 AD = BD = 1 a ，
2
从而可由勾股定理求出CD =
3 a ．根据矩形的性质又可得出 AE = CD = 3 a ， AD = CE = 1 a ，
2 2 2
ÐBAE = 90° ，即又可利用勾股定理求出 BE =
7 a ．过点 C 作CG ^ BE 于点 G，由
2
S = 1 BE ×CG = 1 CE × AE ，可得出CG = 21 a ，进而由勾股定理可求出 BG = 5 7 a ，最后由余
V BCE 2 2 14 14
弦的定义即可求解．
【详解】解：设等边VABC 的边长为 a，则 AB = BC = AC = a ．
∵ CD ^ AB ，
∴ AD = BD = 1 AB = 1 a ， ÐADC = ÐBDC = 90° ，
2 2
∴ CD =
= 3 a ．
AC 2 - AD 2
2
∵四边形 ADCE 是矩形，
∴ AE = CD =
3 a ， AD = CE = 1 a ， ÐBAE = 90° ，
∴ BE =
2 2
AB 2 + AE 2
= 7 a ．
2
如图，过点 C 作CG ^ BE 于点 G，
∵ SV BCE
= 1 BE ×CG = 1 CE × AE ，
2 2
∴ 7 a ´ CG = 1 a × 3 a ，
2 2 2
∴ CG =
∴ BG =
21 a ，
14
BC 2 - CG 2
= 5 7 a ，
14
∴ cos ÐCBE = BG =
5 7 a
14
= 5 7 ．
BC a 14
故选 A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，求角的余弦值．正确作出辅助线是解题关 键．
10. 已知抛物线 y = x2 + bx + c 的顶点是原点，点 A 在第一象限抛物线上，点 B 为点 A 关于原点对称点，
OC ^ AB 交抛物线于点 C，则VABC 的面积 S 关于点 A 横坐标的 m 的函数解析式为（ ）
A. S = m + m-1
B. S = m - m-1
C. S = m2 + m
D. S = m2 - m
【答案】A
【解析】
【分析】先根据抛物线顶点坐标求出b = c = 0 ，继而写出 A，B 的坐标，用两点间距离公式得出 AB 的长， 再写出 AB 的解析式，根据垂直，可得直线OC 的解析式，联立抛物线解析式可求出点 C 点的坐标，继而 求出OC 的长，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】∵抛物线 y = x2 + bx + c 的顶点是原点，
∴ - b = 0,
4c - b2
= 0 ，
2 4
∴ b = c = 0 ，
∴解析式为 y = x2 ，
∴ A(m, m2 )，
∵点 B 为点 A 关于原点对称点，
∴ B (-m, -m2 )，
(m + m)2 + (m2 + m2 )2
∴直线 AB 的解析式为 y = mx ， AB =
∵ OC ^ AB 交抛物线于点 C，
∴直线OC 的解析式为 y = - 1 x ，
m
m2 + m4
令 x2 = - 1 x ，解得 x = - 1 （0 舍去），
= 2 ，
m m
∴ C æ - 1 , 1 ö ，
ç m m2 ÷
è ø
m2 m4
1 + 1
∴ OC = ，
m2 + m4
m2 m4
1 + 1
∴ S = 1 × AB × OC = 1 ´ 2 ´ =
2 2
即 S = m + m-1， 故选：A．
= m + 1 ，
æ 1 ö2
ç m +
è
m ø
÷
m
【点睛】本题考查了两点间距离公式，三角形的面积公式，二次函数的图象和性质，一次函数的解析式和
应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11. 不等式 2x -1 < 7 的解集是
【答案】 x < 4
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质，把常数移到不等式的右边，然后同时除以系数就可得到不等式的解集．
【详解】解： 2x -1 < 7 ，
2x < 8 ，
x < 4 ．
故答案为： x < 4 ．
【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而 出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
12. 因式分解： 3x2 -12 y2 = ．
【答案】3( x + 2 y )( x - 2 y )
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式求解即可．
【详解】解： 3x2 -12y2 = 3(x + 2y)(x - 2y)
故答案为： 3( x + 2 y )( x - 2 y )
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是掌握提公因式法和公式法．
13. 如图， VABC 中， AB = AC = 10, BC = 12 ，则底边 BC 上的高 AD = ．
【答案】8
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质得到 DC = 6 ，再根据勾股定理即可求出 AD ．
【详解】解：∵ AB = AC ， AD 为底边 BC 上的高，
∴ ÐADC = 90° ， DC = 1 BC = 6 ，
2
AC 2 - DC 2
102 - 62
∴ AD = = = 8 ．
故答案为：8
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质“三线合一”和勾股定理的应用，熟知两个知识点并结合图形灵活 应用是解题关键．
14. 在VABC 中，ÐABC = 90° ，AC = 5 ，BC = 4 ，以 AC 为边作V ACD ，使得ÐACD=90° ，如果 VABC
与V ACD 相似，那么CD 的长为 ．
20 15
【答案】 或
3 4
【解析】
【分析】根据三角形相似分情况讨论即可．
【详解】∵ ÐABC = 90° ， AC = 5 ， BC = 4 ，
52 - 42
∴ AB = = 3
VABC 与V ACD 相似当 AB = BC 时
AC CD
CD = 20 ，
3
当 AB = BC 时
CD AC
CD = 15 ，
4
20 15
故答案为 或
3 4
【点睛】此题考查了三角形相似，解题的关键根据相似分情况讨论．
15. 如图，在等边VABC 中， AB = 4 ，以 A 为圆心、 AB 为半径作 B¼EC ﹐以 BC 为直径作 B¼FC ，两弧形成阴影图形，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π）．
3
【答案】æ 4 - 2 πö
ç 3 ÷
è ø
【解析】
【分析】先求出扇形 ACB 、△ACB 和半圆 B¼FC 的面积，再根据阴影的面积=半圆 B¼FC 面积-（扇形 ACB
面积- △ACB 面积），即可求．
【详解】过 A 作 AH ^ BC 于点 H，
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∵ VABC 为等边三角形，
∴ BC = AC = AB = 4，ÐBAC = 60°，CH =
1 BC = 2 ，
2
AC 2 - CH 2
3
则 AH = = 2
∴扇形 ACB 的面积=
60 ´ 42p = p，
3
8
360 3
3
△ACB 的面积= 1 ´ 4 ´ 2
2
= 4 ，
第 17页/共 34页
半圆 B¼FC 面积=
1 ´ 22p =
2
2p，
则阴影的面积=
2p - æ 8 p - 4 3 ö = 4 - 2 p，
3
ç 3 ÷ 3
è ø
3
故答案为： æ 4 - 2 πö ．
ç 3 ÷
è ø
【点睛】本题考查的是扇形的面积计算，等边三角形的面积，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式．
16. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点O ， F 是线段OD 上的动点（点 F 不与点 O， D 重合）连接CF ，过点 F 作 FG ^ CF 分别交 AC ， AB 于点 H，G，连接CG 交 BD 于点 M，作OE P CD
交CG 于点 E，EF 交 AC 于点 N．有下列结论：①当 BG = BM 时，AG =
2BG ；② CN 2 = BM 2 + DF 2 ；
③ ÐGFM = ÐGCH 时， CF 2 = CN × BC ；④ OH
= OF ．其中正确的是
（填序号）．
【答案】①②③
OM OC
【解析】
2
【分析】①正确．利用面积法证明 AG = AC = 即可；
BG BC
②正确．如图 3 中，将VCBM 绕点C 顺时针旋转90° 得到VCDW ，连接 FW ．则CM = CW ，BM = DW ，
ÐMCW = 90° ， ÐCBM = ÐCDW = 45°，证明 FM = FW ，利用勾股定理，即可解决问题；
③正确．如图 2 中，过点 M 作 MP ^ BC 于 P ， MQ ^ AB 于Q ，连接 AF ．想办法证明CM = CF ，再利用相似三角形的性质，解决问题即可；
④错误．假设成立，推出ÐOFH = ÐOCM ，显然不符合条件．
【详解】解：如图 1 中，过点G 作GT ^ AC 于T ．
Q BG = BM ，
\ÐBGM = ÐBMG ，
QÐBGM = ÐGAC + ÐACG ， ÐBMG = ÐMBC + ÐBCM ，
Q 四边形 ABCD 是正方形，
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\ÐGAC = ÐMBC = 45° ， AC =
2BC ，
\ÐACG = ÐBCG ，
QGB ^ CB ， GT ^ AC ，
1
2
\ GB = GT ，
Q SV BCG
1 × BC × GB
= BG = 2
= BC = ，
SV ACG
AG 1 × AC × GT AC
2
\ AG =
2BG ，故①正确，
过点 F 作 ST ∥ AD ，如图所示：
∴四边形 ASTD 是矩形，
∵ ÐBDC = 45° ，
∴ DT = FT ，
在正方形 ABCD 中， AD = CD=ST ，
∴ ST - FT = CD - DT ，即 SF = CT ，
∵ ÐSFG + ÐTFC = ÐTFC + ÐTCF = 90° ，
∴ ÐSFG = ÐTCF ，
∵ ÐGSF = ÐFTC = 90° ，
∴ VSFG≌VTCF ，
∴ FG = FC ，
∴ ÐFCG = 45° ，
如图 3 中，将VCBM 绕点 C 顺时针旋转 90° 得到VCDW ，连接 FW ．则 CM = CW ， BM = DW ，
ÐMCW = 90° ， ÐCBM = ÐCDW = 45°，
∵ ÐFCW = ÐMCW - ÐFCG = 90° - 45° = 45° ，
\ÐFCG = ÐFCW = 45° ，
∵ CM = CW ， CF = CF ，
\VCFM ≌VCFW (SAS) ，
\ FM = FW ，
Q ÐFDW = ÐFDC + ÐCDW = 45° + 45° = 90° ，
\ FW 2 = DF 2 + DW 2 ，
\ FM 2 = BM 2 + DF 2 ，
Q BD ^ AC ， FG ^ CF ，
\ÐCOF = 90° ， ÐCFG = 90° ，
\ÐFCN + ÐOFC = 90° ， ÐOFC + ÐGFM = 90° ，
\ÐFCN = ÐGFM ，
∵ OE P CD ， AB P CD ，O 为 AC 的中点，
∴ CE = OC = 1，即CE = GE ，
GE OA
∴ FE ^ CG ，
∵ FC = FG ，
∴ ÐEFC = ÐEFG = 45° ；
Q ÐNFC = ÐFGM = 45° ， FG = CF ，
\VCFN≌VFGM (ASA) ，
\ CN = FM ，
\CN 2 = BM 2 + DF 2 ，故②正确，
如图 2 中，过点 M 作 MP ^ BC 于 P ， MQ ^ AB 于Q ，连接 AF ．
Q ÐOFH + ÐFHO = 90° ， ÐFHO + ÐFCO = 90° ，
\ ÐOFH = ÐFCO ，
Q AB = CB ， ÐABF = ÐCBF ， BF = BF ，
\V ABF≌VCBF (SAS) ，
\ AF = CF ， ÐBAF = ÐBCF ，
Q ÐCFG = ÐCBG = 90° ，
\ÐBCF + ÐBGF = 180° ，
Q ÐBGF + ÐAGF = 180° ，
\ÐAGF = ÐBCF = ÐGAF ，
\ AF = FG ，
\ FG = FC ，
\ÐFCG = ÐBCA = 45° ，
\ÐACF = ÐBCG ，
Q MQ∥CB ，
\ÐGMQ = ÐBCG = ÐACF = ÐOFH ，
QÐMQG = ÐFOH = 90° ， FH = MG ，
\VFOH≌VMQG (AAS) ，
\ MQ = OF ，
QÐBMP = ÐMBQ ， MQ ^ AB ， MP ^ BC ，
\ MQ = MP ，
\ MP = OF ，
Q ÐCPM = ÐCOF = 90° ， ÐPCM = ÐOCF ，
\VCPM ≌VCOF (AAS) ，
\CM = CF ，
QOE∥AG ， OA = OC ，
\ EG = EC ，
QVFCG 是等腰直角三角形，
\ÐGCF = 45°，
\ÐCFN = ÐCBM ，
Q ÐFCN = ÐBCM ，
\VBCM∽VFCN ，
\ CM = CB ，即CM·CF = CN·CB ，
CN CF
\CF 2 = CB × CN ，故③正确，
假设 OH = OF 成立，
OM OC
Q ÐFOH = ÐCOM ，
\VFOH∽VCOM ，
\ÐOFH = ÐOCM ，显然这个条件不成立，故④错误， 故答案为：①②③．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判 定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题， 属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
ì2x - y = 17
î
17. 解方程组： í7x - 3y = 4
ì x = -47
î
【答案】 í y = -111
【解析】
【分析】根据加减消元法可求解方程组．
ì2x - y = 17①
【详解】解： í
î7x - 3y = 4②
①´ 3 - ② 得： x = -47 ，
把 x = -47 代入①得： 2 ´(-47) - y = 17 ， 解得： y = -111，
ì x = -47
î
∴原方程组的解为í y = -111 ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
18. 如图，已知 AB = AD ， AC = AE ， ÐBAD = ÐCAE ．求证： BC = DE ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先求出ÐBAC = ÐDAE ，再利用“边角边”证明VABC 和V ADE 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】证明：∵ ÐBAD = ÐCAE ，
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