资源描述
1．(2011年高考广东卷改编)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为________．
解析：设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大于1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．
答案：抛物线
2．已知动点M到A(2,0)的距离等于它到直线x＝－1的距离的2倍，则点M的轨迹方程为________．
解析：设M(x，y)，由题意，得＝2|x＋1|.
化简，得－3x2－12x＋y2＝0.
答案：y2＝3x2＋12x
3．已知动抛物线以y轴为准线，且过点(1,0)，则抛物线焦点的轨迹方程为________．
解析：设焦点坐标为(x，y)，则＝|x|，
即y2＝2x－1.
答案：y2＝2x－1
4．设A、B两点的坐标分别是(2,0)、(－2,0)，若kMA·kMB＝－1，则动点M的轨迹方程是________．
解析：设M的坐标为(x，y)，
∵kMA·kMB＝－1，
∴·＝－1，即x2＋y2＝4(x≠±2)．
答案：x2＋y2＝4(x≠±2)
一、填空题
1．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是________．
解析：由图知PF1＋PF2＝2a.连结MO，则F1M＋MO＝a(a>F1O)．故M的轨迹是以F1、O为焦点的椭圆．
答案：椭圆
2．已知两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是________．
解析：|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>|F1F2|，根据定义可知动点P的轨迹是椭圆．
答案：椭圆
3．设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是________．
解析：设Q(x，y)，P(1，y0)，由·＝0知y0y＝－x.① 又OQ＝OP，∴＝，即x2＋y2＝1＋y.② 由①②消去y0，得点Q的轨迹方程为y＝1或y＝－1.
答案：两条平行线
4．设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是____________．
解析：设M(x，y)，点P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y.
∵－y＝1，∴x2－4y2＝1.
答案：x2－4y2＝1
5．如图所示，AB是平面α的斜线段，A为斜足．若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是________．
解析：点P到AB的距离为定值，即点P在空间中的轨迹为圆柱，α截圆柱为椭圆，故点P的轨迹为椭圆．
答案：椭圆
6．点P(a，b)是单位圆上的动点，则点Q(a＋b，ab)的轨迹方程是________．
解析：设Q(x，y)，则∵a2＋b2＝1，
即(a＋b)2－2ab＝1，
∴x2－2y＝1.
∴点Q的轨迹方程是x2－2y－1＝0.
答案：x2－2y－1＝0
7．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
解析：设P(x，y)，由已知O(0,0)，r＝，O′(4,0)，r′＝.∴PO2－r2＝PO′2－r2，即x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，整理得x＝.
答案：x＝
8．当θ取一切实数时，连结A(4sinθ，6cosθ)和B(－4cosθ，6sinθ)两点的线段的中点轨迹是________．
解析：设A、B线段中点的坐标为(x，y)，
则
∴2＋2＝2，即＋＝1.
答案：＋＝1
二、解答题
9．如图，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．
解：设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，因为点P是线段QN的中点，所以N点的坐标为(2x－x0,2y－y0)．
又点N在直线x＋y＝2上，所以2x－x0＋2y－y0＝2，
即x0＋y0＝2x＋2y－2.①
又QN⊥l，kQN＝＝1，即x0－y0＝x－y.②
由①②，得x0＝(3x＋y－2)，y0＝(x＋3y－2)．
又因为点Q在双曲线上，
所以(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1.
化简，得(x－)2－(y－)2＝.
所以线段QN的中点P的轨迹方程为(x－)2－(y－)2＝.
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程；
(2)设点K是曲线E上的一个动点，求线段KA的中点的轨迹方程．
解：(1)如图所示，以AB所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立平面直角坐标系．设P(x，y)，因为|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝4为定值，所以动点P的轨迹为椭圆，且a＝2，c＝1，b＝.所以曲线E的方程为＋＝1.
(2)设曲线E上的动点K(x1，y1)，线段KA的中点为Q(x，y)，A(－1,0)，则x＝，y＝，即x1＝2x＋1，y1＝2y，所以＋＝1，即2＋＝1.所以线段KA的中点的轨迹方程为2＋＝1.
11．已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若(1)中所求轨迹方程与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证OC⊥OD(其中O为原点)．
解：(1)题意得·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y2－8，化简得x2＝2y.故动点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)证明：设C，D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．将y＝x＋2代入x2＝2y得x2＝2(x＋2)，即x2－2x－4＝0，则Δ＝4＋16＝20>0，x1＋x2＝2，x1x2＝－4.因为y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，所以y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4.所以kOC·kOD＝·＝＝－1.所以OC⊥OD.
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