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第14章 波动光学
第14章 波动光学
14-1.在双缝干涉实验中，两缝的间距为0.6mm,照亮狭缝的光源是汞弧灯加上绿色滤光片．在2.5m远处的屏幕上出现干涉条纹，测得相邻两明条纹中心的距离为2.27mm．试计算入射光的波长，如果所用仪器只能测量的距离，则对此双缝的间距有何要求？
分析：由杨氏双缝干涉明纹位置公式求解。
解：在屏幕上取坐标轴，坐标原点位于关于双缝的对称中心。屏幕上第级明纹中心的距坐标原点距离：
可知
代入已知数据，得
对于所用仪器只能测量的距离时
14-2.在杨氏双缝实验中，设两缝之间的距离为0.2mm．在距双缝1m远的屏上观察干涉条纹，若入射光是波长为至的白光，问屏上离零级明纹20mm处，哪些波长的光最大限度地加强？()
分析：由双缝干涉屏上明纹位置公式，求k取整数时对应的可见光的波长。
解：已知：d＝0.2mm，D＝1m，x＝20mm
依公式
∴
故
k＝10 lλ1＝400nm
k＝9 λ2＝444.4nm
k＝8 λ3＝500nm
k＝7 λ4＝571.4nm
k＝6 λ5＝666.7nm
这五种波长的光在所给的观察点最大限度地加强．
题图14-3
14-3.如题图14-3所示，在杨氏双缝干涉实验中，若，求P点的强度I与干涉加强时最大强度Imax的比值．
分析：已知光程差，求出相位差．利用频率相同、振动方向相同的两列波叠加的合振幅公式求出P点合振幅。杨氏双缝干涉最大合振幅为2A。
解：设S1、S2分别在P点引起振动的振幅为A，干涉加强时，合振幅为2A，所以 , 因为
所以S2到P点的光束比S1到P点的光束相位落后
P点合振动振幅的平方为：
因为 所以
14-4. 在双缝干涉实验中，波长的单色平行光, 垂直入射到缝间距的双缝上，屏到双缝的距离．求：
(1) 中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距；
(2) 用一厚度为、折射率为的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将移到原来的第几级明纹处？
分析：（1）双缝干涉相邻两条纹的间距为 Dx =Dl / d ，中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距为20Dx.
（2）不加介质片之前，两相干光均在空气中传播，它们到达屏上任一点P 的光程差由其几何路程差决定，中央明纹对于O点的光程差，其余条纹相对O点对称分布．
插入介质片后，两相干光在两介质薄片中的几何路程相等，但光程不等。对于O点，光程差，故O点不再是中央明纹，整个条纹发生平移．干涉条纹空间分布的变化取决于光程差的变化．对于屏上某点P（明纹或暗纹位置），只要计算出插入介质片前后光程差的变化，即可知道其干涉条纹的变化情况．
插入介质前的光程差1 ＝r1 －r 2 ＝k1 λ（对应k1 级明纹），
插入介质后的光程差2 ＝(ne＋r1－e)－r2= (n－1）e ＋r1－r2＝k2 λ（对应k2 级明纹）．
光程差的变化量为
2 －1 ＝（n －1）e ＝（k2 －k1 ）λ＝λ
式中即为移过P点 的条纹个数．
求解这类问题，光程差的变化量是解题的关键．
解：(1)Dx、＝20Dx =20 Dl / d＝0.11(m)
(2) 覆盖云玻璃后，零级明纹应满足
(n－1)e＋r1＝r2
设不盖玻璃片时，此点为第k级明纹，则应有
r2－r1＝kl
所以
(n－1)e = kl
k＝=6.96≈7
零级明纹移到原第7级明纹处
题图14-5
14-5. 在题图14-5 所示劳埃德镜实验装置中，距平面镜垂距为1mm的狭缝光源发出波长为680nm的红光．求平面反射镜在右边缘到观察屏上第一条明条纹中心的距离．已知，光源至平面镜一端的距离为20cm．
分析：洛埃德镜可看作双缝干涉，光源和虚光源是相干光源（如解图14-5所示）．但是洛埃德镜的反射光有半波损失，故屏上的干涉条纹与双缝干涉条纹互补，即屏上的明暗位置互换．
解：
由明纹条件
代入，得
题图14-6
14-6. 如题图14-6 所示，在双缝干涉实验中，单色光源S0到两缝S1和S2的距离分别为和，并且，λ为入射光的波长，双缝之间的距离为d，双缝到屏幕的距离为D(D>>d)，求：
(1) 零级明纹到屏幕中央O点的距离；
(2) 相邻明条纹间的距离．
分析 考虑在双缝前，两束光就已经有光程差了，所以两束光的总光程差为光源到双缝及双缝到屏幕的光程差之和。零级明纹总光程差为零。
解：(1) 如解图14-6所示，设P为屏幕上的一点，距O点为x，则S1和S2到P点的光程差为
从光源S0发出的两束光的光程差为
零级明纹
所以零级明纹到屏幕中央O点的距离
(2) 明条纹条件
(k＝0，1，2，....)
(k＝0，1，2，....)
在此处令k＝0，即为(1)的结果．相邻明条纹间距
14-7 在折射率 的照相机镜头表面涂有一层折射率的MgF2 增透膜，若此膜仅适用于波长的光，则此膜的最小厚度为多少？
分析 照相机镜头镀膜后，放在空气中，空气的折射率取，因为 ，光在膜上下表面反射都有半波损失，所以膜上下表面两反射光之间没有由半波损失引起的附加相位差，设膜的最小厚度为e, 两反射光的光程差为．
本题所述的增透膜，就是希望波长λ＝550nm的光在透射中得到加强，因干涉的互补性，波长为550nm 的光在透射中得到加强，则在反射中一定减弱，具体求解时应注意在e >0的前提下，k 取最小的允许值．
解：两反射光的光程差2n2e，由干涉相消条件 ，得
取k ＝0，则
题图14-8
14-8. 如题图14-8所示在折射率n＝1.50的玻璃上，镀上＝1.35的透明介质薄膜．入射光波垂直于介质表面，然后观察反射光的干涉，发现对的光波干涉相消，对的光波干涉相长．且在600nm到700nm之间没有别的波长的光是最大限度相消或相长的情况．求所镀介质膜的厚度．
分析：上、下表面反射均为由光疏介质到光密介质，故不计附加光程差．光程差为．
解：当光垂直入射时，
对λ1（干涉相消）
①
对λ2（干涉相长）
②
由① ②解得
将k、λ2、代入②式得
14-9.白光垂直照射在空气中厚度为的玻璃片上，玻璃的折射率为1.50．试问在可见光范围内，哪些波长的光在反射中增强？哪些波长的光在透射中增强？
分析：当光垂直入射到玻璃片时，由于玻璃的折射率大于空气的折射率．因此，反射光在玻璃表面上存在半波损失．所以，反射光干涉时光程差，透射光干涉时光程差．
解：玻璃片上下表面的反射光加强时，应满足
即
在可见光范围内，只能取（其它值均在可见光范围外），代入上式，得
玻璃片上下表面的透射光加强时，应满足
或，反射光应满足干涉减弱条件（与透射光互补）即
得
在可见光范围内，k只能取2或3
时
时
题图14-10
14-10. 波长为λ 的单色光垂直照射到折射率为的劈形膜上，如题图14-10所示，图中，观察反射光形成的干涉条纹．
(1) 从劈形膜顶部O开始向右数起，第五条暗纹中心所对应的薄膜厚度是多少？
(2) 相邻的两明纹所对应的薄膜厚度之差是多少？
分析：因为 ，劈形膜上下表面都有半波损失，所以两反射光之间没有附加相位差，光程差为．
解：(1)第五条暗纹中心对应的薄膜厚度为
k = 4
(2)明纹的条件是
相邻两明纹所对应的膜厚度之差
题图14-11
14-11.如题图14-11所示，是用来检验加工件质量的标准件．是待测的加工件。它们的端面都经过磨平抛光处理．将和放置在平台上，用一光学平板玻璃盖住．设垂直入射的波长，与相隔，与以及与间的干涉条纹的间隔都是0.5mm.求与的高度差．
分析：出现干涉条纹，说明两物体不等高；干涉条纹间隔相等，说明两物体的端面平行，此干涉为劈尖干涉．
解：设劈尖角为，相邻两干涉条纹间隔为，空气劈尖相邻两明（暗）干涉条纹的间距为
两物体端面的高度差为
得
14-12.用波长为λ1的单色光垂直照射牛顿环装置时，测得中央暗斑外第1和第4暗环半径之差为，而用未知单色光垂直照射时，测得第1和第4暗环半径之差为，求未知单色光的波长λ2．
分析：用牛顿环暗环半径公式计算.
解：根据题意可得
得
题图14-13
*14-13. 如题图14-13所示，曲率半径为和的两个平凸透镜对靠在一起，中间形成一个空气薄层．用波长为的单色平行光垂直照射此空气层，测得反射光中第级的暗环直径为．
（1）说明此暗环的空气层厚度应满足：
（2）已知求.
分析：本题是等厚干涉问题，关键是要确定各处空气膜的厚度．对于上面是平凸透镜，下面是平板玻璃的一般牛顿环装置，在某处空气厚度为；现用平凸透镜代替平板玻璃，该处空气膜的厚度要增加。
解：(1) 用表示此暗环半径，某处空气膜的厚度为
（2）暗环条件
得
代入数据，有
得
14-14.用迈克耳孙干涉仪可测量单色光的波长。当移动距离时，测得某单色的干涉条纹移过条，求该单色光的波长．
分析：迈克耳孙干涉仪的一条臂上的反射镜移动，则在该臂上的光程将改变一个波长，由此将引起一条条纹的移动。
解：由得
14-15.某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a=0.15mm．缝后放一个焦距f = 400 mm的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧第三级暗条纹之间的距离为8.0mm，求入射光的波长．
分析：由单缝衍射暗纹条件及暗纹到中心的距离可求出波长。
解：设第三级暗纹在方向上，则有
此暗纹到中心的距离为
因为很小，可认为 ，所以
两侧第三级暗纹的距离是
所以
14-16.在单缝夫琅禾费衍射实验中，如果缝宽a与入射光波长的比值分别为(1)1，(2)10，(3)100，试分别计算中央明条纹边缘的衍射角．再讨论计算结果说明了什么问题．
分析：用单缝衍射中央主极大的半角宽度sinj=λ/a讨论。
解： (1) ， ,
(2) ， ,
(3) ， ,
这说明，比值 越小的时候，衍射角越小，中央明纹越窄(其它明纹也相应地变为更靠近中心点)，衍射效应越来越不明显．的极限情形即几何光学的情形：光沿直线传播.
14-17.在复色光照射下的单缝衍射图样中，其中某一波长的第3级明纹位置恰与波长的单色光的第2级明纹位置重合，求这光波的波长．
分析：夫琅禾费衍射的明纹公式为，由题意未知波长的第三级明纹与波长的单色光的第二级明纹应有相同的衍射角。
解：设未知波长为，由单缝衍射明纹条件：
得
解得
14-18.汽车的两盏前灯相距1.2m，试问汽车离人多远的地方，眼睛才可能分辩这两盏灯？假设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm，车灯发光波长为.
分析：两个物体能否分辨，取决于仪器的最小分辨角
解：设为两灯距离，为人车之间距离，恰可分辨时，两车灯对瞳孔的最小分辨角为
由瑞利判据
得
14-19.已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为，由它们发出的光波波长。望远镜物镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星？
分析：物镜的口径对两颗星的张角等于分辨极限角时，则能分辨出这两颗星。
解：由
得
14-20.一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，，．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角的方向上．求此光栅的光栅常数d．
分析：光栅方程，两种波长的谱线重叠时，具有相同的衍射角。
解：由光栅衍射主极大公式得
当两谱线重合时有j1=j2,即
两谱线第二次重合即是
， ，
由光栅公式可知
14-21.波长600nm的单色光垂直入射在一光栅上，第2级主极大在处，第4级缺级，试问：
（1）光栅上相邻两缝的间距有多大？
（2）光栅上狭缝可能的最小宽度有多大？
（3）按上述选定的、值，试问在光屏上可能观察到的全部级数是多少？
分析：（1）将已知条件代入光栅方程，可求出光栅常数即光栅上相邻两缝的间距；（2）用缺级公式，，可求出光栅上狭缝可能的最小宽度；（3）以为限先确定干涉条纹的级数，等于时对应的级次看不见，最后算出条纹数。
解：（1）由光栅方程 （k=2）
得光栅上相邻两缝的间距
（2）根据缺级条件，有
取,得狭缝的最小宽度
（3）由光栅方程
令,解得:
即时出现主极大，缺级,级主极大在处，实际不可见，光屏上可观察到的全部主极大谱线数有15条.
14-22 用一个每毫米有500 条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱（λ＝589nm），设透镜焦距f ＝1.00 m．问：（1） 光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱；
*（2） 光线以入射角30°入射时，最多能看到第几级光谱；
（3） 若用白光垂直照射光栅，求第一级光谱的线宽度．
分析 （1）光栅常数d为刻痕数N的倒数，光线垂直照射光栅时的衍射条件，，令，可得看，取整数．
(2)光线倾斜入，此时光栅衍射的明纹条件改变为，由于两侧条纹不再对称，令，可求得 和两个值，其中一个比垂直入射时的值小，另一个比值大，因而，在其他条件不变的情况下，倾斜入射时可以观察到较高级次的条纹．
（3） 用白光垂直照射光栅，除中央明纹仍为白色外，其余出现一系列彩色光谱带，称为光栅光谱．每个光谱带是由同一级次不同波长的明纹依次排列而成．第一级光谱的线宽度是指入射光中最小波长（取）和最大波长（取）的第一级明纹在屏上的间距，其余波长的第一级明纹均出现在此范围内．需要指出的是，对于较高级次的光谱会出现相邻光谱间的交错重叠的现象．
解 （1）光栅常数
光波垂直入射时， 光栅衍射明纹的条件为 ，令，可得
取整数，即最多能看到第3级光谱．
（2）光波倾斜入射时，光栅明纹的条件为
令，可求得位于中央主极大两侧，能观察到条纹的最大值分别为和（已取整数值）．故在法线两侧能观察到的最大级次分别为5级和1级．
（3） 白光的波长范围为400 nm ～760 nm，用白光垂直照射时，由可得第一级（k ＝1）光谱在屏上的位置．对应于λ1 ＝400 nm 和λ2 ＝760 nm 的明纹的衍射角为，利用可得明纹的位置为
则第一级光谱的线宽度为
14-23 以波长为0.11 nm 的X 射线照射岩盐晶体，实验测得X 射线与晶面夹角为11.5°时获得第一级反射极大．
（1）岩盐晶体原子平面之间的间距d为多大？
（2） 如以另一束待测X 射线照射，测得X 射线与晶面夹角为17.5°时获得第一级反射光极大，求该X 射线的波长．
解图14-23
分析 X 射线入射到晶体上，干涉加强条件为（k ＝0，1，2，…）式中d 为晶格常数，即晶体内原子平面之间的间距．
解 （1） 如解图14-23所示，根据布拉格公式
第一级反射极大，即k ＝1．因此，得
（2）由 ，取k ＝1，得
14-24. 将三个偏振片叠放在一起，第二个与第三个的偏振化方向分别与第一个的偏振化方向成45°和90°角．
(1) 强度为I0的自然光垂直入射到这一堆偏振片上，试求经每一个偏振片后的光强和偏振状态．
(2) 如果将第二个偏振片抽走，情况又如何？
分析：强度为的自然光通过偏振片后，变为光强为的线偏振光，线偏振光通过偏振片的强度取决于偏振片的偏振化方向与线偏振光的振动方向的夹角，根据马吕斯定律可进行求解。
解：(1) 自然光通过第一偏振片后，其强度
通过第二偏振片后
通过第三偏振片后
通过每一偏振片后的光皆为线偏振光，其光振动方向与刚通过的偏振片的偏振化方向平行．
(2) 若抽去第2片，因为第3片与第1片的偏振化方向相互垂直，所以此时, 仍不变．
14-25.如果起偏振器和检偏器的偏振化方向之间的夹角为.
（1）假定偏振器是理想的，则非偏振光通过起偏振器和检偏器后，其出射光强与原来光强之比是多少？
（2）如果起偏振器和检偏器分别吸收了10%的可通过光线，则出射光强与原来光强之比是多少？
分析：与题14-24相同。
解：非偏振光即自然光，设光强为
（1） 通过理想的起偏振器的光强为
通过理想的检偏器后的透射光强为
所以
（2）通过可吸收光的起偏振器后，光强为
通过有吸收的检偏器后，光强为
得
14-26.一光束由强度相同的自然光和线偏振光混合而成．此光束垂直入射到几个叠在一起的偏振片上． 问
(1) 欲使最后出射光振动方向垂直于原来入射光中线偏振光的振动方向，并且入射光中两种成分的光的出射光强相等，至少需要几个偏振片？它们的偏振化方向应如何放置？
(2) 这种情况下最后出射光强与入射光强的比值是多少？
分析：强度为的自然光通过偏振片后，变为强度为的线偏振光，线偏振光通过偏振片的强度可由马吕斯定律求出，最后出射光振动方向垂直于原来入射光中线偏振光的振动方向，最后通过的那块偏振片的偏振化方向必须垂直于入射线偏振光的振动方向。
解：设入射光中两种成分的强度都是，总强度为．
(1) 通过第一个偏振片后，原自然光变为线偏振光，强度为，原线偏振光部分强度变为，其中为入射线偏振光振动方向与偏振片偏振化方向P1的夹角．以上两部分透射光的振动方向都与P1一致．如果二者相等，则以后不论再穿过几个偏振片，都维持强度相等(如果二者强度不相等，则以后出射强度也不相等)．因此，必须有
，得＝45°．
为了满足线偏振部分振动方向在出射后“转过”90°，只要最后一个偏振片偏振化方向与入射线偏振光方向夹角为90°就行了．
综上所述，只要两个偏振片就行了(只有一个偏振片不可能将振动方向“转过”90°)．
如解图14-26所示，表示入射光中线偏振部分的振动方向.
P1、P2分别是第一、第二偏振片的偏振化方向
(2) 出射强度
比值
题图14-27
14-27 如题图14-27所示，测得一池静水的表面反射出来的太阳光是线偏振光，求此时太阳处在地平线的多大仰角处？ （水的折射率为1.33.）
分析 反射太阳光是线偏振光，说明太阳光（自然光）以入射角布儒斯特角iB 入射到水面，根据布儒斯定律，有（其中n1 为空气的折射率，n2 为水的折射率）．所求仰角 .
解 根据以上分析，有
则
14-28．测得不透明釉质（珐琅）的起偏振角为，它的折射率为多少？
分析：由布儒斯特定律求解。
解：由布儒斯特定律得
14-29.如题图14-29安排的三种透明介质Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的折射率分别为，和。Ⅰ、Ⅱ和Ⅱ、Ⅲ的界面互相平行．一束自然光由介质Ⅰ入射，若在两个交界面上的反射光都是线偏振光，则：
题图14-29
(1)入射角是多大?
(2)折射率n3是多大?
分析：由布儒斯特定律可知：自然光只有以布儒斯特角入射时，反射光才是线偏振光。
解: (1) 由布儒斯特定律
所以
(2) 令在介质Ⅱ中的折射角为,则
此在数值上等于介质Ⅱ、Ⅲ界面上的入射角, 由布儒斯特定律
得
题图14-30
14-30．一束平行的自然光从空气中垂直入射到石英上，石英（正晶体）的光轴在纸面内，方向如题图14-30所示，试用惠更斯作图法示意地画出折射线的方向，并标明o光和e光及其光矢量振动方向．
分析：正晶体沿光轴方向o光e光传播速度相等，其它方向。
解：用惠更斯作图法作图：
解图14-30
14-31．用方解石制作钠黄光（波长）适用的1/4波片．
(1)请指出应如何选取该波片的光轴方向；
(2)对于钠黄光，方解石的,，求此1/4波片的最小厚度d.．
分析：波晶片的的光轴应与晶体表面平行，经片后，o光e光光程差为。
解：(1)制作方解石晶片时，应使晶体光轴与晶片表面平行．
(2) = m
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