文科圆锥曲线测试题带详细答案.doc

高二数学测试题 2013.3.1
一．选择题
1. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 ( B)
A． B． C． D．
2.设双曲线的渐近线方程为，则的值为 (C)
A．4 B．3 C．2 D．1
3.双曲线的实轴长是 (C)
（A）2 （B） （C） 4 （D）4
4．设双曲线以椭圆=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( C )
A．±2 B．± C．± D．±
5.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( D )

6. 已知直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点， 为C的实轴长的2倍，C的离心率为( B)
（A） （B） （C） 2 （D） 3
7. 已知F1，F2为双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点，过F2作垂直x轴的直线，它与双曲线的一个交点为P，且∠ =30°，则双 曲线的渐近线方程为 (D )
A． B． C． D．
8．从集合{1，2，3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={(x，y)‖x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为 ( B )
A．43 B．72 C．86 D．90
9. 已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为( C )
A. B . 1 C. （D）
10.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于（A）
A． B．或2 C．2 D．

二．填空题
11．若曲线表示双曲线，则的取值范围是____________.
12. 在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是______;
【解析】依题意我们容易求得直线的方程为4x+2y-5=0，把焦点坐标(，0)代入可求得焦参数，从而得到准线方程。
13．已知抛物线，为其焦点，为抛物线上的任意点，则线段中点的轨迹方程是 .
试题分析：设中点为代入得化简得
14．设，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，则△ 的面积为 1 .
15．如果是抛物线上的点,它们的横坐标依次为是抛物线的焦点,若,则_______18________．
16．设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为 ．
【解析】本试题主要考查了椭圆的性质的运用，结合三点共线求解最值。
由题意F2（2，0），|MF2|=，由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|-|PF2|=+|PM|-|PF2|≤+|MF2|=，当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，
17.已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.

【解析】设BF=m,由抛物线的定义知中，AC=2m,AB=4m,, 直线AB方程为,与抛物线方程联立消y得,所以AB中点到准线距离为
三．解答题
18．已知双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求该双曲线方程，并求出其离心率、渐近线方程，准线方程。
解：椭圆的焦点为，设双曲线方程为
过点，则，得，而，
，双曲线方程为。

19. 求一条渐近线是，一个焦点是（4,0）的双曲线的标准方程。
解：
20． 已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，点为坐标原点.
X
O
B
Y
A
F

（Ⅰ）证明：为钝角.（Ⅱ）若的面积为，求直线的方程;。
解：(I)依题意设直线的方程为：（必存在）
，设直线与抛物线的交点坐标为，则有，依向量的数量积定义，即证为钝角
(Ⅱ) 由（I）可知: ,,
,, 直线方程为
21．已知点，直线： 交轴于点，点是上的动点，过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若 A、B为轨迹上的两个动点，且 证明直线AB必过一定点，并求出该定点．
【解析】 (1) 根据线段垂直平分线的定义所以点P到F的距离等于到直线的距离.
所以,点P的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,,
所以所求的轨迹方程为 －－－－－－－－－3分
(2) 设，直线AB的方程为， 代入到抛物线方程整理得 则，根据韦达定理，即， …………8分

即，解得m=2， 显然，不论为何值，直线AB恒过定点．
22．点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，
（1）求椭圆C的的方程；
（2）求点P的坐标；
（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值。
【解析】（1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1=，
∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴=，
∴所求的椭圆方程为 …………4分
（2）由已知,，设点P的坐标为，则
由已知得
…………6分
则，解之得，
由于y>0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为……8分
（3）直线，设点M是，则点M到直线AP的距离是，于是，又∵点M在椭圆的长轴上，即 ∴当时，椭圆上的点到的距离

又 ∴当时，d取最小值