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如何认识线性规划实际问题中有关最优解的精确问题

课本线性规划第二节，提到两个实际问题，一个要求将最优解精确到0.1，一个要求将最优解是整数，如果说师生们对例4的答案还可接受的话，那么，例3到最后四舍五入式的解答实在让人难以把握，况且最优解应为（12.3，34.5），那么关于这种最优解需要得到精确的题目有没有统一的解答步骤，我的回答是有。
在实际问题中，可行域一般都是一整片区域不存在间断现象，所以题目所要求的最优解无论精确到0.1还是精确到0.01，符合要求的最优解都确实存在在可行域中，我们要做的应该是把它找出来，而不是通过任何手段去精确。如何才能把它找出来呢 ？我的办法是，不考虑x、y需要精确的要求，先依其他条件列出不等式组，作出可行域，求出符合题中其他条件的最优解，然后看此最优解是否符合题目要求，若符合，则即为所求解．若不符合，则应继续滑动参照线，求出经过可行域内的符合要求的且与原点距离最远（或最近）的点的直线，在该线经过可行域的部分上寻找最优解即可。具体操作请看以下示范
课本例3、 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t。每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t甲种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t。甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？
分析：将已知数据列成下表：
产
品
消
耗
量
资
源

甲产品
（1t）
乙产品
（1t）
资源限额
（1t）

A种矿石（t）
10
4
300
B种矿石（t）
5
4
200
煤（t）
4
9
360
利润（元）
600
1000

解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，那么

5x+4y=200
4x+9y=360
3x+5y=0
50
90
40
10x+4y=300
30
o
40
y
x
75
Z=600x+1000y
作出以上不等式组的可行域如下

作直线l：600x+1000y=0 即直线l：3x+5y=0
把直线l向右上方平移，使其划过可行域，此时3x+5y>0
当直线经过点M时3x+5y达到最大,即z也达到最大，
此时3x+5y=209.655,

若要将最优解精确到0.1，需将直线向回平移到3x+5y=209.6
由 得到3x+5y=209.6与可行域左边界的交点A（12.343,34.514）
由 得到3x+5y=209.6与可行域右边界的交点B（12.431,34.462）
可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.4 代入3x+5y=209.6得到纵坐标约为34.48，不符合题目精确到0.1要求

继续将直线向回平移到3x+5y=209.5 由得到3x+5y=209.5与可行域左边界的交点C（12.214,34.571） 由 得到3x+5y=209.5与可行域右边界的交点D(12.462,34.423) ，
可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.3、12.4 ，将12.3代入3x+5y=209.5得到纵坐标约为34.52，将12.4代入3x+5y=209.5得到纵坐标约为34.46，均不符合题目精确到0.1要求

继续将直线向回平移到3x+5y=209.4
由得到3x+5y=209.4与可行域左边界的交点C（12.086,34.6284）
由 得到3x+5y=209.4与可行域右边界的交点D(12.4923，34.3846) ，
可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.1、12.2、12.3、12.4 ，将12.1代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.62，将12.2代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.56，将12.3代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.5，将12.4代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.44，其中只有（12.3，34.5 ）符合要求。所以符合题目要求的最优解只有（12.3，34.5 ）

答：应生产甲种产品12.3吨，乙种产品34.5吨，能使利润总额达到最大。

课本例 4、 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少。
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则
x+y=12
2x+y=15
27
A
x+y11.2
15
x+3y=27
o
7.5
18
C(4,8)
B(3,9)
x+2y=18
x+y=0
9
x

作出可行域如下

目标函数为 z=x+y
作出在一组平行线 x+y=t 中（t为参数 ）经过可行域且横截距最大的直线，此直线经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的焦点A，直线方程为x+y=11.2
由于都不是整数，而最优解(x,y)中，x、y必须都是整数，所以，可行域内点A不是最优解
由于x、y必须都是整数，所以，t =x+y必为整数，将平行线继续向里滑动到x+y=12
由 得到x+y=12与可行域左边界的交点B（3，9） 由 得到x+y=12与可行域右边界的交点D（），在BD线段上的整点均是本题的最优解，所以，B（3，9），C（4，8）都是最优解。
（注：若x+y=12时仍无整解出现，则需将平行线继续向里滑动到x+y=13按上面方法寻找即可）

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