可降阶的二阶微分方程市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,可降阶二阶微分方程,第六节,一、型微分方程,二、型微分方程,三、型微分方程,第1页,第1页,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过,n,次积分,可得含,n,个任意常数通解.,型微分方程,第2页,第2页,例1.,解:,第3页,第3页,型微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程通解,二、,第4页,第4页,例.,求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,第5页,第5页,例.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:,取坐标系如图.,考察最低点,A,到,(,:,密度,s,:,弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软绳索,两端固定,问该绳索平衡状态是如何曲线?,任意点,M,(,x,y,),弧段受力情况:,A,点受水平张力,H,M,点受切向张力,T,两式相除得,第6页,第6页,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索形状为,悬 链 线,第7页,第7页,三、,型微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程通解,第8页,第8页,例.,求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,第9页,第9页,M,:地球质量,m,:物体质量,例.,静止开始落向地面,求它落到地面时速度和所需时间,(不计空气阻力).,解:,如图所表示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高物体,受地球引力作用由,第10页,第10页,两端积分得,因此有,注意“”号,第11页,第11页,由于,y=R,时,由原方程可得,因此落到地面(,y,=,R,)时速度和所需时间分别为,第12页,第12页,阐明:,若此例改为如图所表示坐标系,解方程可得,问:,此时开方根号前应取什么符号?阐明道理.,则定解问题为,第13页,第13页,例.,解初值问题,解:,令,代入方程得,积分得,利用初始条件,依据,积分得,故所求特解为,得,第14页,第14页,为曲边曲边梯形面积,上述两直线与,x,轴围成三角形面,例.,二阶可导,且,上任一点,P,(,x,y,),作该曲线,切线及,x,轴垂线,区间 0,x,上以,解:,于是,在点,P,(,x,y,)处切线倾角为,满足方程.,积记为,(99 考研 ),第15页,第15页,再利用,y,(0)=1 得,利用,得,两边对,x,求导,得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,第16页,第16页,内容小结,可降阶微分方程解法,降阶法,逐次积分,令,令,第17页,第17页,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:,令,或,普通说,用前者以便些.,均可.,有时用后者以便.,比如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:,(1)普通情况,边解边定常数计算简便.,(2)碰到开平方时,要依据题意拟定正负号.,第18页,第18页,P165 1、,(1)()(),2、,()(),3、4,作业,第19页,第19页,速度,大小为 2,v,方向指向,A,提醒:,设,t,时刻,B,位于(,x,y,),如图所表示,则有,去分母后两边对,x,求导,得,又由于,设物体,A,从点(0,1)出发,以大小为常数,v,备用题,速度沿,y,轴正向运动,物体,B,从(1,0)出发,试建立物体,B,运动轨迹应满,足微分方程及初始条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,第20页,代入,式得所求微分方程:,其初始条件为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,第21页,