周期函数分解为傅里叶级数公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,12.2 周期函数分解为傅里叶级数,一、周期函数,f(t)=f(t+kT),T,为周期函数,f(t),周期，,k,=0，1，2，,假如给定周期函数满足狄里赫利条件，它就能展开成一个收敛,傅里叶级数,。,电路中非正弦周期量都能满足这个条件。,第1页,第1页,二、傅里叶级数两种形式,1、第一个形式,式中：K=1，2，3,第2页,第2页,系数计算公式,第3页,第3页,第4页,第4页,2、第二种形式,A,0,称为周期函数,恒定分量,（或直流分量）；,A,1m,cos(,1,t+,1,),称为,1次谐波,（或基波分量），其周期或频率与原周期函数相同；,其它各项统称为,高次谐波,，,即2次、3次、4次、,第5页,第5页,3、两种形式系数之间关系,第一个形式,第二种形式,A,0,=a,0,a,k,=,A,km,cos,k,b,k,=,-,A,km,sin,k,第6页,第6页,4、傅里叶分解式数学、电气意义,+,-,傅氏分解,A,0,U,1,U,2,+,-,u(t),u(t),分解后电源相称于无限个电压源串联,对于电路分析应用办法是,叠加定理,第7页,第7页,三、,f(t),频谱,傅里叶级数即使详尽而又准确地表示了周期函数分解结果，但,不很直观,。,为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包括哪些频率分量以及各分量所占“比重”，,用长度与各次谐波振幅大小相相应线段，,按频率高下顺序把它们依次排列起来，,得到图形称为,f(t),频谱,。,第8页,第8页,1、幅度频谱,各次谐波振幅用相应线段依次排列。,2、相位频谱,把各次谐波初相用相应线段依次排列。,O,A,km,k,1,4,1,3,1,2,1,1,第9页,第9页,例：求周期性矩形信号傅里叶级数展开式及其频谱,O,f(t),t,1,t,E,m,-E,m,2,T,解：,f(t),在第一个周期内表示式为,f(t),=,E,m,-E,m,第10页,第10页,依据公式计算系数,0,O,f(t),t,1,t,E,m,-E,m,2,T,第11页,第11页,O,f(t),t,1,t,E,m,-E,m,2,T,=0,第12页,第12页,当,k,为偶数时：,cos,(,k,)=1,b,k,=0,当,k,为奇数时：,cos,(,k,)=-1,第13页,第13页,代入求得,当,k,为偶数时：,cos,(,k,)=1,b,k,=0,当,k,为奇数时：,cos,(,k,)=-1,第14页,第14页,O,f(t),E,m,-E,m,1,t,图形曲线分析:,第15页,第15页,O,f(t),E,m,-E,m,1,t,取到11次谐波时合成曲线,比较两个图可见，谐波项数取得越多，合成曲线就越靠近于本来波形。,第16页,第16页,O,f(t),t,1,t,E,m,-E,m,2,T,f(t),=,E,m,-E,m,假设,E,m,=1，,1,t=/2，得,取到11次谐波时，结果为0.95;取到13次谐波时，结果为1.05;取到35次谐波时，结果为0.98,误差为2%,第17页,第17页,矩形信号,f(t),频谱,O,A,km,k,1,7,1,5,1,3,1,1,第18页,第18页,3、频谱与非正弦信号特性关系,波形越靠近正弦波，,谐波成份越少；,f,(t)=10cos(314t+30),O,A,km,k,1,1,第19页,第19页,1、偶函数,f,(t)=,f,(-,t,),纵轴对称性质,f(t),O,t,f(t),O,t,四、非正弦函数波形特性与展开式系数之间关系,第20页,第20页,能够证实：,b,k,=0,1、偶函数,纵轴对称性质,f,(t)=,f,(-,t,),展开式中只含有余弦项分量和直流分量,第21页,第21页,f,(t)=-,f,(-,t,),原点对称性质,f(t),O,t,f(t),O,t,2、奇函数,第22页,第22页,能够证实：,a,0,=0,a,k,=0,原点对称性质,f,(,t,)=-,f,(-,t,),2、奇函数,展开式中只含有正弦项分量,第23页,第23页,满足,f,(t)=,-,f,(,t+T/2,),称为,奇谐波函数,O,f(t),t,T,3、奇谐波函数:,f,(t)=,-,f,(,t+T/2,),叫做 镜对称性质,第24页,第24页,判断:利用镜对称性质,f,(,t,)=-,f,(,t+T/2,),3、奇谐波函数,能够证实：,a,2k,=b,2k,=0,f(t)=,展开式中只含有奇次谐波分量,第25页,第25页,f(t),O,t,判断下面波形展开式特点,f(t),是奇函数,展开式中只含有正弦分量,f(t),又是奇谐波函数,展开式中只含有奇次谐波,f(t)=,第26页,第26页,系数,A,km,与计时起点无关（但,k,是相关），,这是由于构成非正弦周期函数各次谐波振幅以及各次谐波对该函数波形相对位置总是一定，并不会因计时起点变动而变动；,因此，计时起点变动只能使各次谐波初相作相应地改变。,由于系数,a,k,和,b,k,与初相,k,相关，因此它们也随计时起点改变而改变。,4、系数和计时起点关系,第27页,第27页,由于系数,a,k,和,b,k,与计时起点选择相关，因此函数是否为奇函数或偶函数也许与计时起点选择相关。,但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点无关。,因此适当选择计时起点有时会使函数分解简化。,4、系数和计时起点关系,第28页,第28页,例：已知某信号半周期波形，在以下不同条件下画出整个周期波形,O,f(t),t,1、只含有余弦分量,2、只含有正弦分量,3、只含有奇次谐波分量,第29页,第29页,O,f(t),t,1、只含有余弦分量,f(t),应是偶函数,关于纵轴对称,第30页,第30页,O,f(t),t,2、只含有正弦分量,f(t),应是奇函数,关于原点对称,第31页,第31页,O,f(t),t,3、只含有奇次谐波分量,f(t),应是奇谐波函数,镜象对称,第32页,第32页,