不等式的性质(1).doc

2014届高要二中高三数学（理）导学案
不等关系与不等式（学生版）
主备人：杨素玲 审核：高三理科数学备课组 时间：2013-07-30
一、考点梳理
1．两个实数大小关系的比较
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有
a－b＞0⇔a＞b； a－b＝0⇔a＝b； a－b＜0⇔a＜b.
另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b.
考向一　比较大小
【例1】►已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．

【训练1】 已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)．
A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定

2．不等式的性质
(1)对称性：如果a>b，那么b<a.
(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.
(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.
(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
(8)可开方性：如果a>b>0，那么>(n∈N，n≥2)．
3．不等式的一些常用性质
(1)倒数性质：
①a＞b，ab＞0⇒＜. ②a＜0＜b⇒＜.
③a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞. ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜.
(2)有关分数的性质：若a＞b＞0，m＞0，则
①真分数：＜；＞(b－m＞0)；②假分数：＞；＜(b－m＞0)．
考向二　不等式性质的简单应用
【例2】(2012·上海十三校联考)若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3，则不正确的不等式的个数是(　　)．
A．0 B．1 C．2 D．3

【训练2】 已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③＞.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是(　　)．
A．0 B．1 C．2 D．3

考向三　不等式性质的综合应用
【例3】►已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．

【训练3】 若α，β满足试求α＋3β的取值范围．

二、当堂检测
1．(2011·浙江)若a，b为实数，则“0<ab<1”是“a<或b>”的 (　　)．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(2013·保定模拟)已知a>b，则下列不等式成立的是 (　　)．
A．a2－b2≥0 B．ac>bc
C．|a|>|b| D．2a>2b
3．(2012·晋城模拟)已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有 (　　)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2010江苏12）设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是_____▲____

5.(2010辽宁文15)．已知－1＜x+y＜4且2＜x－y＜3，则z=2x－3y的取值范围是　　　　　

6．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．

7．(13分)已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．

2014届高要二中高三数学（理）导学案
基本不等式及应用（学生版）
主备人：杨素玲 审核：高三理科数学备课组 时间：2013-07-30
一、考点梳理
1．考纲要求：均值不等式是高考的热点，主要考查命题的判定，及求最值等问题。
2．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均，即
2．基本不等式的变形
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)a＋≥2 (a>0)，当且仅当a＝1时取等号；
a＋≤-2 (a<0)，当且仅当a＝－1时取等号．
(4)＋≥2 (a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
(5)三个正数的算术-几何平均不等式：如果，则，当且仅当=c时，等号成立；
推广到一般情形：对于n个正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当时，等号成立
3．最值问题： 已知是正数，
①如果积是定值P，则当时，和有最小值；
②如果和是定值S，则当时，积有最大值.
利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。
4．学习要点：
（1）掌握基本不等式的结构特点，利用基本不等式可以求涉及和、积结构的代数式的最值，难点在于定值的确定。
（2）基本不等式的应用在于“定和求积、定积求和”。必要时可以通过变形（拆补）、运算（指、对数等）构造定值。
（3）只有在满足“一正、二定、三等”条件下，才能取到最值。
（4）基本不等式的主要应用有：求最值、证明不等式、解决实际问题。
二、例题分析：
例1．已知，则的最小值是_______.

【练习】⑴ 求的最大值.

⑵求f(x)＝(x>0)的最大值

例2．已知，且，求：（1）的最小值；（2）的最小值。

例3．已知，且求
⑴的最大值及相应的x，y的值；⑵求＋的最小值。

例4．某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少

三、当堂检测
1．设，且，则的最小值是
A．6 B． C． D．
2．下列函数中最小值是4的是
A． B．
C． D．
3．若是正实数， 则的最小值为
A．6 B． 9 C． 12 D． 15
5．若正数满足，则的取值范围是
A．　　 Ｂ．　　 C．　　　 D．
6（2010重庆） 已知，，，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C． D．
7．点在直线位于第一象限内的图象上运动，则的最大值是____________.

8．函数的最小值是_____________.

9. (2010安徽文15)．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是 .(写出所有正确命题的编号)．
①ab≤1； ②； ③a2+b2≥2； ④a3+b3≥3； ⑤．

10．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
（1）仓库面积的最大允许值是多少？
（2）为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

2014届高要二中高三数学（理）导学案
一元二次不等式的解法（学生版）
主备人：杨素玲 审核：高三理科数学备课组 时间：2013-07-30
考纲要求：
1． 会从实际问题中抽象出二元一次不等式组模型
2． 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系。
知识导学
1. 一元一次不等式ax>b
(1)当a>0时，解为；(2)当a＜0时，解为；(3)当a＝0，b≥0时无解；当a＝0，b＜0时，解为R．
2. 一元二次不等式：
a．一元二次不等式的解法
Ⅰ 将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
Ⅱ 计算相应的判别式．
Ⅲ 当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
Ⅳ 利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
b．三个“二次”间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象

一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＞x2,或x＜x1}

R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}

一、经典例题导讲
【例1】解下列关于x的不等式：
(1) (2) (3)x2－(3＋a)x＋3a>0.

【训练1】1. 求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集． 2. （2013年广东高考）

[例2] 一元二次不等式恒成立问题
已知函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．

【训练2】 1. 如果恒成立，则实数k的取值范围是 ( ).
A. －1≤k≤0 B. －1≤k<0 　C. －1<k≤0 D. －1<k<0

2. 已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．

二、知识点训练：
1、不等式组的解集为 .
2、
(A) (B)
(C) (D)

3、不等式的解为……………………………………………… （ ）
(A)x≥1　 (B)x>1 (C) x≥1或者x=－2 (D) x≥－2且x≠1
4、如果A＝，则实数a的集合为(  ) 
（A）{a|0＜a＜4}   （B）{a|0≤a＜4} （ C）{a|0＜a≤4}   （D）{a|0≤a≤4}
5、不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a= ；b= .
6、若a<0, 则关于x的不等式的解集是 ；
7、若函数)的定义域是R，求实数k的取值范围；
8、不等式恒成立，则a的取值范围是 ；
9、 (2013·大同一模)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋b2－b＋1(b∈R)，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________．

10、在实数集上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

2014届高要二中高三数学（理）导学案
绝对值不等式的解法（学生版）
主备人：杨素玲 审核：高三理科数学备课组 时间：2013-07-30
知识导学
1. 绝对值三角不等式
定理1 如果a,b是实数，则，当且仅当ab 0时，等号成立.
定理1 如果a,b,c是实数，则，当且仅当(a-b)(b-c) 0时，等号成立.
2. 绝对值不等式的解法
a. 绝对值的几何意义：一般地，如果a>0,那么表示数轴上到原点距离小于a的点的集合，表示数轴上到原点距离大于a的点的集合，因而
；
进而，如果a>0；
b. (Ⅰ) 型不等式的解法
（Ⅱ）型不等式的解法
3.分式不等式：先整理成＞0或≥0的形式，转化为整式不等式求解，即：
＞0f(x)·g(x)＞0, ≥0

4.指数不等式：

5. 对数不等式：

一、经典例题导讲
[例1] 解下列不等式
（1）； （2）；（3）；
（4）； （5） (6)

[训练1]1.(2012陕西) 若存在实数使成立，则实数的取值范围是 ．

2. （2006安徽文）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．

[例2]含绝对值不等式的证明
（2012江苏）已知实数x，y满足：求证：

[训练2] 对于实数x，y，若，，则的最大值为 .
的解集是______.

[例3]含绝对值不等式的恒成立问题
若函数且对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

二、知识点训练：
1. (2010上海卷)不等式的解集是________
2. (2010江西)不等式的解集是（　　）
A． B．　　　C． D．
3．(2010大纲全国Ⅱ理5)．不等式的解集为（　　）
A．　　　　　　B．
C．　　　　 D．
4. 已知集合（ ）
A． B． C． D．(0,1)
5. (2010陕西文)不等式<3的解集为　　　　　　．
6．(2010陕西理)不等式的解集为　　　　　　　．
7. 命题＜3，命题＜0，若A是B的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知集合，则集合=________.
9. 关于x的不等式解集为空集，则实数a的取值范围是………（ ）
A .(3,＋∞) B. [3,＋∞) C. (－∞,3] D. (－∞,3)
10．(2011陕西卷)若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是
11. (2012全国卷)已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围

12．(2011辽宁) 已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.
（I）证明：-3≤f（x）≤3；
（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.

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