圆辅助线的常用做法.doc

浅谈圆的辅助线作法
在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距
D
C
B
P
O
A
E
F
P
B
图 1
在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, ⊙O的弦AB、CD相交于点P，
且AC=BD。求证：PO平分∠APD。
BD，
(
AC
(
分析1：由等弦AC=BD可得出等弧 =
CD
(
AB
(
进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD，由同圆中
等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。
CD
(
AB
(
证法1：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F
BD
(
AC
(
AC=BD => = => = => AB=CD
=> OE=OF
∠OEP=∠OFP=90° => △OPE≌△OPF
D
C
B
P
O
A
P
B
图1-1
0OP=OP
=>∠OPE=∠OPF => PO平分∠APD
分析2：如图1-1，欲证PO平分∠APD，即证
∠OPA=∠OPD，可把∠OPA与∠OPD构造在两个
三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线
即半径OA，OD，因此易证△ACP≌△DBP，得AP=DP，从而易证△OPA≌△OPD。
证法2：连结OA，OD。
∠CAP=∠BDP
∠APC=∠DPB =>△ACP≌△DBP
AC=BD
=>AP=DP
OA=OD =>△OPA≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO平分∠APD
OP=OP
2.有直径，可作直径上的圆周角
B
D
C
M
A

O
.
A
2
1
图 2
对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
例2 如图2，在△ABC中，AB=AC，
以AB为直径作⊙O交BC于点D ，过D
作⊙O的切线DM交AC于M。求证 DM⊥AC。
分析：由AB是直径，很自然想到其所
对的圆周角是直角。于是可连结AD，得∠ADB=Rt∠,又由等腰三角形性质可得∠1=∠2，再由弦切角的性质可得∠ADM=∠B，故易证∠AMD=∠ADB=90°，从而DM⊥AC。
证明 连结AD。
=>∠1=∠2
AB为⊙O的直径 =>∠ADB=Rt∠
AB=AC
DM切⊙O于D => ∠ADM=∠B
=> ∠1+∠B=∠2+∠ADM =>∠AMD=∠ADB= Rt∠ => DM⊥AC
说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。
3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦
例3 如图3,AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，DC切⊙O于C点。求∠A的度数。
D
A
O
B
C
.
图 3
分析：由过切点的半径垂直于切线，
于是可作辅助线即半径OC，得Rt△，
再由解直角三角形可得∠COB的度数，
从而可求∠A的度数。
解：连结OC。
=> COS∠COD=OC/OD=1/2 =>∠COB=60°
DC切⊙O于C =>∠OCD=90°
OC=OB=BD
E
D
C
F
O
1
2
A
B
图 4
=> ∠A=1/2∠COB=30°
说明，由过切点的半径垂直于切线想到连结半径。
例4 如图4，已知△ABC中，∠1=∠2，
圆O过A、D两点，且与BC切于D点。
求证 EF//BC。
分析：欲证EF//BC，可找同位角或内错角
是否相等，显然同位角相等不易证，于是可连结DE，得一对内错角∠BDE与∠DEF，由圆的性质可知这两个角分别等于∠1和∠2，故易证EF//BC。
证明 连结DE。
BC切⊙O于D =>∠BDE= ∠1
∠2= ∠DEF =>∠BDE= ∠DEF =>EF//BC
∠1= ∠2
A
C
N
B
D
M
P
O1
O2
.
.
图 5
说明，由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。
4.当两圆相切，可作公切线或连心线
例5 已知：如图5，⊙O1与⊙O2外切
于点P，过P点作两条直线分别交⊙O1与
⊙O2于点A、B、C、D。求证 PB•PC=PA•PD。
分析：欲证PB•PC=PA•PD，即证PA∶PB=PC∶PD，
由此可作辅助线AC、BD，并证AC//DB，要证平行，需证一对内错角相等，如∠C=∠D，然后考虑到这两个角分别与弦切角有关，进而再作辅助线即两圆公切线MN，从而问题迎刃而解。
证明 连结AC、BD，过P点作两圆的内公切线MN
=> ∠C=∠D
=>∠APM=∠C，∠BPN=∠D
∠APM=∠BPN
=> AC//DB => PA∶PB=PC∶PD => PB•PC=PA•PD
T
B
A
O1
O2
1
2
图 6
说明，由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到作公切线和作弦。
例6 已知：如图6，⊙O1与⊙O2内切于点T，经过
切点T的直线与⊙O1与⊙O2分别相交于点A和B。
求证 TA∶TB=O1A∶O2B。
分析：欲证TA∶TB=O1A∶O2B，可考虑证这四条线段
所在的三角形相似，即证△TO1A∽△TO2B，于是只需连结O2O1，并延长，必过切点，则产生△TO1A和△TO2B，由∠1= ∠2=∠T，则O1A// O2B，易证线段比相等。
=> O2O1必过切点T
证明 连结并延长O2O1
⊙O1 和 ⊙O2内切于点T
=> ∠1= ∠2 => O1A// O2B
O1A=O1T =>∠1= ∠T
O2T= O2B =>∠2= ∠T
=>△TO1A∽△TO2B => TA∶TB=O1A∶O2B
F
E
B
C
A
O1
O2
.
.
图 7
D
说明，由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作连心线。
5．当两圆相交，可作公共弦或连心线。
例7 如图7，⊙O1与⊙O2相交于A、B
两点，过A点作⊙O2的切线交⊙O1于点C，
直线CB交⊙O2于点D，DA延长线交⊙O1
于点E，连结CE。求证 CA=CE。
分析：欲证CA=CE，考虑在三角形中证它们所对的角相等，即∠E=∠CAE，又由∠DAF=∠CAE，想到弦切角∠DAF与所夹弧对的圆周角相等，故需作辅助线：公共弦AB，得∠E=∠DBA，易证CA=CE。
证明 连结AB。
CA切⊙O2于A =>∠DAF=∠DBA
四边形ABCE内接于⊙O1 =>∠E=∠DBA
∠DAF=∠CAE
=>∠E=∠CAE => CA=CE
C

D
E
M
N
G
A
B
O2
O1
F
图 8
说明，由两圆相交及用到弦切角和圆内接四边形想到作公共弦。
例8 如图8，在梯形ABCD中，以两腰
AD、BC分别为直径的两个圆相交于M、N两点，
过M、N的直线与梯形上、下底交于E、F。
求证： MN⊥AB。
分析：因为MN是公共弦，若作辅助线O1O2，
必有MN⊥O1O2，再由O1O2是梯形的中位线，得O1O2//AB，从而易证MN⊥AB。
证明 连结O1O2交EF于G => MN⊥O1O2。
DO1=O1A，CO2=O2B => O1O2是梯形ABCD的中位线 => O1O2//AB
=>∠EFA=∠EGO1=Rt∠ => MN⊥AB

F

A
B
D
O
.
H
E
C
图 9
说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。
6．有半圆，可作整圆
例9 如图9，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，
BA
(
AF
(
= , AD交BF于E。求证 AE=BE
分析：欲证AE=BE，可考虑在三角形中证这两边
BH
(
BA
(
BH
(
AF，
(
所对角相等。即∠ABF=∠BAE，再考虑证这两个圆周角
所对的弧相等，故需补全⊙O，可证 = ，故有 = 易证AE=BE.
证明 补全⊙O，延长AD交⊙O于H，
BA=
AF，
(
(
BH
(
BA
(
直径BC⊥AD => =

BH
(
AF
(
=> = =>∠ABF=∠BAH => AE=BE
说明，由平分弦的直径必平分弦所对的弧想到补全圆。
P
A
Q
B
O2
O1
.
图 10
7．相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径
例10 如图10，⊙O1与⊙O2相交于
A、B两点，且O2在⊙O1上，点P在⊙O1上，
点Q在⊙O2上，若∠APB=40°，求∠AQB的度数。
分析 连结O2A、O2B，在⊙O1中利用
圆内接四边形性质求得∠AO2B=140°，在⊙O2中，
∠AQB=1/2∠AO2B=70°。
证明过程略。
说明，由同圆内同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半想到连结过交点的半径。
几何辅助线的添加，是几何学习的一个难点，正确添加辅助线，是沟通题设和结论的桥梁，也是解题的重要手段。学生在做几何题时，明知需要引辅助线，但又不知如何引，而是乱加辅助线，反而使图形复杂，影响思路与问题的解决。因此，恰当添加辅助线，使问题迎刃而解，从而调动学生积极性，激发学习兴趣，开发智力，掌握解题技能与技巧，提高解题效率，培养思维能力。
参考文献
1. 赵玉宽，《数理天地》中《圆内辅助线》
2. 林运来 ，《数理天地》中〈〈圆的辅助线〉〉
3. 伊红 钟旭天 陈士军 〈〈初中数学教学案例专题研究〉〉

6