解析—归类整理——定点定值问题.doc

圆锥曲线——定点定值问题
直线过定点问题
1．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且，
（1）求椭圆的方程；
（2）M为椭圆的上顶点，过点M作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=8，求证：AB过定点，并求出定点坐标．
解：（1）由已知得c=2，丨PQ丨==2，即a=b2，①由a2=b2+c2=b2+1，②由①②解得：b=2，a=2
故椭圆方程为；
（2）证明：若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，且m≠±2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0，x1+x2=﹣，x1x2=，由已知可知：+=8，
则+=8，即2k+（m﹣2）=8，…（8分）∴k﹣=4，整理得m=k﹣2．
故直线AV的方程为y=kx+k﹣2，即y=k（x+）﹣2．所以直线AB过定点（﹣，﹣2）． …（10分）
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知，
得．此时AB方程为，显然过点（﹣，﹣2）．综上，直线AB过定点（﹣，﹣2）．…（12分）
2.已知椭圆C的方程为=1（a＞b＞0）．左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2．点M是椭圆C上一点，满足∠F1MF2=60°，且=，
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）过点P（0，1）分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜律分别为k1，k2，且k1+k2=2，求证：直线AB过定点．
解：（Ⅰ）设|MF1|=m，|MF2|=n，则∵∠F1MF2=60°，且=，
∴4=m2+n2﹣mn，mn•=，∴m+n=2，∴2a=2，∴a=，∵c=1，b=1，
∴椭圆C的方程为（5分）
（Ⅱ）当直线AB存在斜率时，设其方程为y=kx+m（m≠0），又设A（x1，y1），B（x2，y2）．
把y=kx+m代入并整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，且，∵k1+k2=2，∴，∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴，即，可得m=k﹣1，
所以直线AB方程为：y=k（x+1）﹣1，显然直线AB恒过定点（﹣1，﹣1）
当直线AB过定点（﹣1，﹣1）且垂直x轴时，也满足k1+k2=2．
综上，直线AB过定点（﹣1，﹣1）．
1．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，
∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．
把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．
证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，
∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，，x1x2=，
则=====﹣1，又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，
当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．

3．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 如图，设A是椭圆长轴一个顶点，直线l与椭圆交于P、Q（不同于A），若∠PAQ=90°，求证直线l恒过x轴上的一个定点，并求出这个定点的坐标．
解：（Ⅰ）2a=4，a=2，，，∴椭圆的方程是．
（Ⅱ）设直线AP的方程为l1：y=k（x﹣2），P（x1，y1）由得，（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．
则，∴，，∵∠PAQ=90°，设Q（x2，y2）
以代换x1，y1表达式中的k，得，，设直线PQ交x轴于点M（m，0），，
，，
∴，5m（1+k2）=6（1+k2）则，∴直线EF过定点．

4.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为12．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 设点B是椭圆C 的上顶点，点P，Q是椭圆上；异于点B的两点，且PB⊥QB，求证直线PQ经过y轴上一定点．
解：（Ⅰ）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，则∵椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为12，离心率为，∴，解得，∴b2=a2﹣c2=9．∴所求椭圆C的方程为：．…（4分）
（Ⅱ） 显然直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+b
联立方程组，消去y整理得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣36=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=．∴y1+y2=k（x1+x2）+2b=，y1y2=…（8分）∵PB⊥QB，且=（x1，y1﹣3），=（x2，y2﹣3），∴•=x1x2+（y1﹣3）（y2﹣3）=0，
∴+﹣3•+9=0∴5b2﹣6b﹣27=0．解得b=﹣或 b=3（舍去）∴直线PQ经过y轴上一定点（0，﹣）．…（12分）
3．（2013•陕西）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．
解：（Ⅰ）设圆心C（x，y）（x≠0），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=|MN|，∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，
∴（x﹣4）2+y2=42+x2，化为y2=8x．当x=0时，也满足上式．∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．
∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴kPB=﹣kQB，∴，∴，化为8+y1y2=0．
直线PQ的方程为，∴，化为，
化为，y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1，∴直线PQ过 定点（1，0）

定值问题
1.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（0，）．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．
（1）解：∵C的焦点在x轴上且半短轴为，可设椭圆C的方程为 +=1∵e=，∴可得，解得a=2，∴椭圆C的方程为：．
（2）证明：P是椭圆C长轴上的一个动点，设P（m，0）（﹣2≤m≤2），过P作斜率为的直线l，
∴直线l的方程是y=，联立⇒2x2﹣2mx+m2﹣4=0（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，∴x1+x2=m，x1x2=
∴|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=（x1﹣m）2+（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+（x2﹣m）2
=[（x1﹣m）2+（x2﹣m）2=[（x1+x2）2﹣2m（x1+x2）﹣2x1x2+2m2]=[m2﹣2m2﹣（m2﹣4）+2m2]=7
1．已知椭圆C的中心是坐标原点O，长轴在x轴上，且经过点．C上任意一点到两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知M，N是椭圆上的两点，且OM⊥ON，求证：为定值．
（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为（a＞b＞0）．∵椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．可得a=2，经过点．∴，2a=4，解得b2=3．∴椭圆C的标准方程为．
（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），
则直线OQ的方程为y=﹣x（k≠0），P（x，y）．联立，化为x2=，
∴|OM|2=x2+y2=，同理以代替k可得|ON|2=，
∴==为定值．当直线OM或ON的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．因此为定值．

2．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆交于P、Q，O为坐标原点，若∠POQ=90°，求证+为定值．

（Ⅰ）解：由题意可得：2a=4，a=2，又，c=，则，∴椭圆的方程是；
（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），若k存在，设直线OP的方程为l1：y=kx，代入，得，
即，∵∠PAQ=90°，以代换上式的k得，，
∴=．若k不存在，即P、Q分别是椭圆长、短轴的顶点，|OP|2=4，|OQ|2=1．则．综上：．
3．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．
（Ⅰ）解：由已知，得．所以a2=2b2．所以C：，即x2+2y2=2b2．因为椭圆C过点，所以，得b2=4，a2=8．所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．
根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），
由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2）．
由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0．则 ，．
所以|MN|===．
同理可得|PQ|=．所以==．

3．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、N两点．
（ I）求椭圆C的方程；（ II）若直线l与圆O：相切，证明：∠MON为定值．
解：（1）根据题意，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，
则有；
（2）当直线l垂直X轴时，直线方程为直线方程为时，M、N分别为，有同理直线方程为时，有，
当直线l与X轴不垂直时，设当直线l为y=kx+t，M（x1，y1），N（x2，y2）；则…①
，∴；
∴；
由①②得为定值．
4．（2015•陕西）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．

解：（Ⅰ）由题设知，=，b=1，结合a2=b2+c2，解得a=，所以+y2=1；
（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，
可得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，由已知得（1，1）在椭圆外，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，
则x1+x2=，x1x2=，且△=16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞0，解得k＞0或k＜﹣2．
则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+
=+=2k+（2﹣k）（+）=2k+（2﹣k）•=2k+（2﹣k）•=2k﹣2（k﹣1）=2．
即有直线AP与AQ斜率之和为2．

4．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．
（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N．求证：∠MQN为定值．

解：（Ⅰ）依题意得解得：a=2，．所以圆O的方程为x2+y2=2，椭圆C的方程为．
（Ⅱ）证法一：如图所示，设P（x0，y0）（y0≠0），Q（xQ，y0），则即，
又由得．由得．
所以 ，．
所以 ．所以 QM⊥QN，即∠MQN=90°．
（Ⅱ）证法二：如图所示，设P（x0，y0），AP：y=k（x+2）（k≠0）．由得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4=0．
所以 ，即．所以 ，即．
所以 直线BP的斜率为．所以 ．令x=0得：M（0，2k），．
设Q（xQ，y0），则，．
所以 ．因为 ，
所以 ．所以 QM⊥QN，即∠MQN=90°．

5．已知F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆E的离心率为．过原点O的直线交椭圆于C、D两点，若四边形C F1DF2的面积最大值为2．
（1）求椭圆E的方程（2）若直线1与椭圆E交于A、B且OA⊥OB，求证：原点O到直线1的距离为定值．
解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，e==，a=2c，当C，D位于椭圆的上下顶点时，四边形CF1DF2的面积最大值为2，即×2c×2b=2．则bc=，则c=1，b=，a=2，∴椭圆E的方程；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1=x2，y1=﹣y2，
∵⊥，即•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴x12﹣y12=0∵3x12+4y12=12，∴|x1|=|y1|=，
∴原点O到直线l的距离为d=|x1|=．
②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，m2＜3+4k2，△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，整理得：∴x1+x2=﹣，x1x2=，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，∵⊥，即•=0，∴x1x2+y1y2=0，（1+k2）×﹣km×+m2=0，即=0，∴7m2=12（k2+1）∴原点O到直线的距离为d==，
综上，点O到直线AB的距离为定值．
1. 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，
求证：直线BC的斜率是定值．
证明　设kAB＝k(k≠0)，∵直线AB，AC的倾斜角互补，∴kAC＝－k(k≠0)，
∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．
∴4·xB＝，即xB＝.以－k代换xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝＝＝＝＝－.

6．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．圆E的圆心在椭圆C上，半径为2．直线y=k1x与直线y=k2x为圆E的两条切线．
（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问：k1•k2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
解：（1）由椭圆C：=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，短轴长为2，则2b=2，即b=，
∵椭圆的离心率e====，∴1﹣=，解得：a2=20，b2=5，…（2分）
∴椭圆C的标准方程为：；…（4分）
（2）
设E（x0，y0），圆E的方程为：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=4，由直线y=k1x与圆E：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=4相切，
∴=2，…（6分）整理得：（x02﹣4）k12﹣2x0y0k1+y02﹣4=0，同理可得：直线y=k2x与圆E：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=4相切，∴（x02﹣4）k22﹣2x0y0k2+y02﹣4=0，∴k1，k2为方程（x02﹣4）x2﹣2x0y0x+y02﹣4=0的两个根…（8分）∴k1•k2=，又∵E（x0，y0），在椭圆上，∴y02=5（1﹣）…（10分）
∴k1•k2===﹣，故k1•k2是定值，为﹣．…（12分）
7．在平面直角坐标系xoy中，已知点P（2，1）在椭圆C：上且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）不经过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点（不与点P重合），且线段AB的中为D，直线OD的斜率为1，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．

【解答】解：（1）由椭圆的离心率e===，则a2=2b2，由P（2，1）在椭圆上，则，
解得：b2=3，则a2=6，∴椭圆的标准方程：；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（，），由直线的斜率为1，则x1+x2=y1+y2，
由点A，B在椭圆上，则，，
两式相减整理得：，x1﹣x2+2（y1﹣y2）=0，则=﹣，设直线l的方程y=﹣x+t，
，整理得：3x2﹣4tx+4t2﹣12=0，则x1+x2=，x1x2=，
则k1•k2==，=
==，∴k1•k2为定值．

7．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点A（2，1）．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 若不经过点A的直线l：y=kx+m与C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值．
解：（Ⅰ） 因为椭圆C的焦距为，且过点A（2，1），所以，2c=2．…（2分）
因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，…（3分）所以椭圆C的方程为=1．…（4分）
证明：（Ⅱ）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+m，y2=kx2+m，
由，消去y得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣8=0，（*）．…（5分）则，，…（6分）因为kPA+kQA=0，即=﹣，…（7分）化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0．
即2kx1x2+（m﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4m+4=0．（**）…（8分）代入得﹣﹣4m+4=0，…（9分）整理得（2k﹣1）（m+2k﹣1）=0，所以k=或m=1﹣2k．…（10分）
若m=1﹣2k，可得方程（*）的一个根为2，不合题意．…（11分）
所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…（12分）

8．在直角坐标系xOy中，已知定圆M：（x+1）2+y2=36，动圆N过点F（1，0）且与圆M相切，记动圆圆心N的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设A，P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP，BP分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值．
解：（1）因为点F（1，0）在M：（x+1）2+y2=36内，所以圆N内切于圆M，则|NM|+|NF|=6＞|FM|，
由椭圆定义知，圆心N的轨迹为椭圆，且2a=6，c=1，则a2=9，b2=8，所以动圆圆心N的轨迹方程为．
（2）设P（x0，y0），A（x1，y1），S（xS，0），T（xT，0），则B（x1，﹣y1），
由题意知x0≠±x1．则，直线AP方程为y﹣y1=kAP（x﹣x1），
令y=0，得，同理，
于是，
又P（x0，y0）和A（x1，y1）在椭圆上，故，
则．
所以．

9．已知P是圆上任意一点，点F2的坐标为（1，0），直线m分别与线段F1P、F2P交于M、N两点，且．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）直线l：y=kx+m与轨迹C相交于A，B两点，设O为坐标原点，，判断△AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．
解：（1）∵P是圆上任意一点，点F2的坐标为（1，0），
直线m分别与线段F1P、F2P交于M、N两点，且．
∴点N是线段PF2的中点，（）2=（）2，化简可得=0，
∴NM⊥PF2，可得MN是线段PF2的垂直平分线，∴||=||，可得||+||=||=4
∴点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，长轴2a=4，焦距2c=1，可得b2=a2﹣c2=3点M的轨迹C的方程为=1．
（2）设A（x1，y1），（x2，y2），则A，B的坐标满足，整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．
∴，．由△＞0，得4k2﹣m2+3＞0．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）===．
∵，∴=﹣，即y1y2=﹣，∴=﹣，即2m2﹣4k2=3．
∵|AB|====．
O到直线y=kx+m的距离d=，∴S△AOB=
===为定值．

10．如图，点F是抛物线τ：x2=2py （p＞0）的焦点，点A是抛物线上的定点，且=（2，0），点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC斜率分别为k1，k2．
（ I）求抛物线τ的方程；（Ⅱ）若k2﹣k1=2，点D是点B，C处切线的交点，记△BCD的面积为S，证明S为定值．

解：（Ⅰ）设A（x0，y0），可知F（0，），故．∴，代入x2=2py，得p=2．
∴抛物线τ的方程为x2=4y．
（Ⅱ）过D作y轴的平行线交BC于点E，并设B（），C（），由（Ⅰ）得A（﹣2，1）．
=2，∴x2﹣x1=8．直线DBy=，直线CDy=，解得．∴直线BC的方程为y﹣=，将xD代入得．
∴△BCD的面积为S=×ED×（x2﹣x1）==（定值）

11．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M在椭圆上，△MF1F2的周长为，面积的最大值为2．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线y=kx（k＞0）与椭圆C交于A，B，连接AF2，BF2并延长交椭圆C于D，E，连接DE．探索AB与DE的斜率之比是否为定值并说明理由．

解：（ I），…2′，，…4′
得，所以．…6′
（2）（ II）设A（x0，y0），则B（﹣x0，﹣y0）．直线，…8′
代入得，
因为，代入化简得，
设，则，所以，．…12′
直线，同理可得，．
所以
=，
所以kDE：k=9． …15′

存在性问题——定点定值综合
1．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点M为椭圆上一动点，△F1MF2面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P、Q两点，问•是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，
∴设c=t（t＞0）．则a=2t，b=，又△F1PF2面积取最大值时，即点P为短轴端点，∴=，解得t=1，∴椭圆方程为．
（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，
∴，，直线AA1的方程为y=，
直线BA1的方程为y=，∴P（4，），Q（4，），∴=（3，），=（3，），∴=9+（）（）=，∴•为定值0．
2．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），直线l：x=my+c与椭圆C交于两点M，N且当时，M是椭圆C的上顶点，且△MF1F2的周长为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，直线AM，AN与直线：x=4分别相交于点P，Q，问当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
解：（1）当时，直线的倾斜角为120°，又△MF1F2的周长为6所以：…（3分）
解得：，…（5分）所以椭圆方程是：；…（6分）
（2）当m=0时，直线l的方程为：x=1，此时，M，N点的坐标分别是，又A点坐标是（﹣2，0），
由图可以得到P，Q两点坐标分别是（4，3），（4，﹣3），以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6，猜测当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6，…（8分）
证明如下：
设点M，N点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则直线AM的方程是：，
所以点P的坐标是，同理，点Q的坐标是，…（9分）
由方程组得到：3（my+1）2+4y2=12⇒（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
所以：，…（11分）
从而：
==0，
所以：以PQ为直径的圆一定过右焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6．…（13分）

3．已知动圆P经过点N（1，0），并且与圆M：（x+1）2+y2=16相切．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）设G（m，0）为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A、B两点，当k为何值时？ω=|GA|2+|GB|2是与m无关的定值，并求出该值定值．
解：（1）由题设得：|PM|+|PN|=4，∴点P的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，∵2a=4，2c=2，∴，
∴椭圆方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直线l：y=k（x﹣m），
由，得（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0，，
∴．
．
∴
=．
∵ω=|GA|2+|GB|2的值与m无关，∴4k2﹣3=0，解得．此时ω=|GA|2+|GB|2=7．
4．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C标准方程；
（Ⅱ）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）由e=，得=，即c=a，①（1分）以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，（2分）此圆与直线2x﹣+6=0相切，∴a==，代入①得c=2，（4分）
∴b2=a2﹣c2=2，∴椭圆的方程为． （5分）
（Ⅱ）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，，（7分）根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，则有=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）•（x2﹣m）+y1y2
==（k2+1）
=（k2+1）•﹣（2k2+m）•+（4k2+m2）=，（9分）
要使上式为定值，即与k无关，则应有3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），（10分）即m=，（11分）
此时=为定值，定点为（）．（12分）
2．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求k的取值范围；
（3）在y轴上，是否存在定点E，使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．

所以k的取值范围是：
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=﹣
又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣，
y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4=
设存在点E（0，m），则，
==
要使得 =t（t为常数），只要 =t，
从而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0，即
由（1）得 t=m2﹣1，代入（2）解得m=，从而t=，
故存在定点 ，使 恒为定值 ．
5．已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，且椭圆的焦距为2，离心率为e=﹒
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（I）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），由已知得：2c=2，=，b2=a2﹣c2，联立解得c=1，b=1，a=．
∴椭圆E的方程为+y2=1．
（Ⅱ）符合条件的点M存在，其坐标为．证明如下：假设存在符合条件的点M（m，0），又设P（x1，y1），Q（x2，y2），则：=x1x2﹣m（x1+x2）+m2+y1y2．
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+（2k2﹣2）=0，
∴x1+x2=，x1•x2=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[﹣（x1+x2）+x1•x2+1]=﹣．
∴=，
对于任意的k值，上式为定值，所以2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m=，此时=﹣为定值．
②当直线l的斜率不存在时，直线l：x=1，x1x2=1，x1+x2=2，y1y2=﹣．由m=，得=1﹣2×+﹣=﹣为定值．综上述①②知，符合条件的点M存在，其坐标为．
8．（2016•河东区一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；
②若点M（﹣，0），求证：•为定值．
【解答】（1）解：因为满足a2=b2+c2，，…（2分）
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，可得．
从而可解得，所以椭圆方程为
（2）证明：①将y=k（x+1）代入中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0
△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，
因为AB中点的横坐标为，所以，解得
②由①知，
所以…（11分）
==
===

2．（2013•江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①
由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=，故椭圆的方程为
（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③
代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
x1+x2=，④，在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），
从而，，=k﹣，注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有==k
所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤
④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1，又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3，故存在常数λ=2符合题意
方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为，令x=4，求得M（4，）
从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），
则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=
所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意