函数值域的求法总结.doc

专题：求函数值域的方法总结
一、观察法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。
【例1】求函数的值域。

【例2】求函数的值域。

【例3】已知函数，，求函数的值域。

二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。
【例1】 求函数的值域。

【变式】已知，求函数的最值。

【例2】 若函数时的最小值为，（1）求函数
（2）当[-3,-2]时，求g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法）

【例3】 已知，当时，求的最大值．

【例4】 (1) 求在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数在上的最大值。

【例5】 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。

【变式】 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。

【例6】 已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。

【例7】 求函数的值域.

三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为(常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。
【例1】 求函数的值域

【例2】 求函数的值域。

【变式】求下列函数的值域：
(1) (2) .

四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
【例1】求函数的值域。

【例2】求函数值域。

【例3】 求函数的值域。

【例4】 求函数的值域。
五、 判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。（解析式中含有分式和根式。）
 【例1】求函数的值域。

【例2】求函数的值域。

【例3】 已知函数的值域为[1，3]，求的值。

【例4】求函数的值域。

【例5】已知函数的最大值为4，最小值为 —1 ，则= ，=

【例6】求函数的值域。

六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。
对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。
【例1】求函数的值域。
【例2】求函数的值域。
【例3】求函数的值域。
【例4】求函数的值域。
【例5】求函数的值域。
【例6】求函数，的值域。
【例7】 求函数的值域。
【例8】求函数的值域。
【例9】求函数的值域。
【例10】．求函数的值域。
七、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
 【例1】 求函数的值域。
【例2】求函数的值域。
【例3】求函数的值域。
 【例4】
【例5】 已知a>0，x1,x2是方程ax2+bx-a2=0的二个实根，并且|x1|+|x2|=2,求 a的取值范围以及b的最大值 。
八、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
【例1】求函数的值域。
【例2】求函数在区间上的值域。
构造相关函数，利用函数的单调性求值域。
【例4】求函数的值域。
【例5】求函数的值域。
九. 图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。
【例1】求函数的值域。
【例2】求函数的值域。

【例3】求函数的值域。
十、 基本不等式法：利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
【例1】求下列函数的值域：(1) (k>0);(2) 。
【例2】若，求的最小值
【例3】求函数的最小值
【例4】求y=(xÎ)的最小值。
【例5】若函数y=f(X)的值域为,则函数的值域是 。
【例6】求函数的值域。
十一、 利用向量不等式 
性质1 若，则

当且仅当时等式成立
性质2 ，当且仅当a，同向平行时右边等式成立，a，反向平行时左边等式成立。
性质3 ，当且仅当方向相同且两两平行时等式成立。
类型（1）型（同号）
【例1】 求函数的最大值。
【例2】 求函数的最大值。
【例3】求函数的最小值。
【例4】 设x1（i＝1，2，……，2003）为正实数，且，试求
的最小值。
【例5】 已知，求的最小值。
十二、一一映射法
原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
【例1】求函数的值域。
十三、多种方法综合运用
【例1】求函数的值域。
【例2】 求函数的值域。