中考“四边形”热点题型分类解析(含解答)-.doc

2006年中考“四边形” 热点题型分类解析

【专题考点剖析】
本专题只有《四边形》一章内容，它是《平行线》和《三角形》这两章知识的应用和深化．试题所反映出的考点主要有：
1．能根据多边形的内角和、外角和公式确定多边形的边数，会用分割法确定多边形的对角线数、三角形数等变化规律．
2．会借助平行四边形的性质定理解决线段相等、角相等和求值等问题．
3．能借助定义及判定定理判断四边形中的特殊四边形．
4．会根据性质定理确定特殊四边形具有性质，并结合定义和判定定理判断与四边形有关的真假命题．
5．能根据三角形中位线定理，梯形中位线定理证明有关线段平行及等量关系的问题．
6．既会作特殊四边形的图形，又会借助平行线等分线段定理等分已知线段．
7．利用特殊四边形的面积公式解决一类与面积有关的几何问题（包括应用问题），并会解答折叠问题．
8．本单元重点考查了方程思想、对称思想以及转化思想，而且考查了学生识别图形的能力、动手操作图形的能力、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索、发现问题的能力．
【解题方法技巧】
1．平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的包含关系．注意把握特殊平行四边形与一般平行四边形的异同点才能准确、灵活地运用，中考中以矩形为主，也可与相似、圆的知识综合运用．
2．梯形的运用．
有关梯形问题，常常用添加辅助线的方法把梯形转化成特殊四边形与三角形的问题来解决，常见的辅助线如图：

3．三角形、梯形中位线的应用．
（1）注意三角形的中位线与三角形中线的区别．
（2）在实际问题中常过一边的中考作另一边的平行线，从而运用中位线定理解决问题．
【热点试题归类】
题型1 平行四边形
1．（2006，南安）如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n=_______．
2．（2006，浙江温州）如图1，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC，△HFG， △DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1、S2、S3，若S1+S2=10，则S2=______．

（1） （2） （3） （4）
3．（2006，攀枝花）如图2，AD=BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充的一个条件是：__________．
4．（2006，晋江）不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB=CD，AB∥CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
5．（2006，广东课改区）如图3，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中一定成立的是（ ）
A．AC⊥BD B．OA=OC C．AC=BD D．AO=OD

（5）
6．（2006，苏州）如图4，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°，那么∠BCD的度数等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
7．（2006，淄博）如图5，在△MBN中，BM=6，点A、C、D分别在MB、NB、MN上，四边形ABCD为平行四边形，∠NDC=∠MDA，那么ABCD的周长是（ ）
A．24 B．18 C．16 D．12
8．（2006，海淀区）已知：如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC和AD上的点，且BE=DF．求证：△ABE≌△CDF．

9．（2006，旅顺口）如图，在ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
求证：AE=CF．

10．（2006，福建泉州）已知：如图，在ABCD中，E、F是对角线AC上的两点， AE=CF．求证：BE=DE．

11．（2006，南京）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．求证：
（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形AECF是平行四边形．

12．（2006，大连）如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可）．
（1）连结__________；（2）猜想：_________．
（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）．

题型2 矩形、菱形、正方形
1．（2006，深圳）如图1所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_________．

(1) (2) (3) (4)
2．（2006，陕西）如图2，矩形ABCG（AB<BC）与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2006，黄冈）如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连结BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（ ）
A．BE=AF B．∠DAF=∠BEC
C．∠AFB+∠BEC=90° D．AG⊥BE
4．（2006，浙江）如图4，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2， 那么ABCD的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
5．（2006，成都）把一张长方形的纸片按如图5所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（ ）
A．85° B．90° C．95° D．100°

(5) (6) (7)
6．（2006，白云山区）菱形的两条对角线分别为6cm，8cm，则它的面积为（ ）
A．6cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．48cm2
7．（2006，广州）如图6（1），将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板，用这副七巧板拼成如图（2）所示的图案，则图6（2）中的阴影部分的面积是整个图案面积的（ ）
A． B． C． D．
8．（2006，天津）下列判断中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
9．（2006，绵阳）如图7，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
10．（2006，广安）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）

(8)
A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角 D．四条边相等
11．如图8，平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC边上的一点，若再增加一个条件________，就可推得BE=DF．
12．（2006，上海）在下列命题中，真命题是 （ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两要对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相平行的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
13．（2006，晋江）已知：如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上， 连结BE、DG，求证：BE=DG．

14．（2006，盐城）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．

15．（2006，哈尔滨市）已知：如图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，连结BE，过点A作AH⊥BE，垂足为H，延长AH交CD于点F．
求证：DE=CF．

16．（2006，海淀区）下图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．

17．（2006，成都）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．
（1）求证：AF=CE；
（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

题型3 梯形
1．（2006，南安市）已知等腰梯形的一个内角为100°，则其余三个角的度数分别是______．
2．（2006，成都）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠AD，对角线AC、BD相交于点O，如下四个结论：
①梯形ABCD是轴对称图形；②∠DAC=∠DCA；③△AOB≌△DOC；④△AOD∽△BOC．
请把其中正确结论的序号填在横线上：________．

(1) (2)
3．观察图2所示图形并填表：
梯形个数
1
2
3
4
5
6
…
n
周长
5
9
13
17

…

4．（2006，福建泉州）下列命题中，假命题的是（ ）
A．四条边都相等的四边形是菱形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形．
5．（2006，哈尔滨）下列各命题正确的是（ ）
A．，是同类二次根式
B．梯形同一底上的两个角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
6．（2006，白云山区）四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：1：1：2，则四边形ABCD的形状是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．平行四边形
7．（2006，哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．矩形 C．正五边形 D．等腰梯形
8．（2006，天津）如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点，若EF=18cm，MN=8cm，则AB的长等于（ ）
A．10cm B．13cm C．20cm D．26cm

(3) (4) (5)
9．（2006，温州）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，则AD的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（2006，浙江绍兴）如图5，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：2 D．2：3
11．（2006，攀枝花）若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形一内角是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
12．（2006，深圳市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠ADC=120°．
（1）求证：BD⊥DC；（2）若AB=4，求梯形ABCD的面积．

题型4 综合创新
1．（2006，深圳）如图1，在ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cosA的值等于（ ）
A．

(1) (2) (3)
2．（2006，晋江）将n个边长都为1cm的正方形按如图2所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
A．cm2 B．cm2 D．（）ncm2
3．（2006，南京）如图3，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH，矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD，令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

4．（2006，旅顺口）如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1，试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

5．（2006，攀枝花）某社区拟筹资金2 000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/平方米的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．

6．（2006，白云区）在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”（小正方形的边长设为1个长度单位），以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题．
（1）把格点△ABC向右平移6个长度单位，得△A′B′C′，请画出该三角形．
（2）以a、b交点O为对称中心，画出△A′B′C′关于点O的中心对称图形△A″B″C″；
（3）如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（-3，4），请写出△A″B″C″各顶点的坐标，并求出△A″B″C″的周长（结果用根号表示）．

7．（2006，江西南昌）如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连结C′E．
（1）求证：四边形CDC′E是菱形；
（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明．

8．（2006，旅顺口区）如图①②③，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、 正五边形ABCMN中心C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．
（1）求图①中∠APD的度数．
（2）图②中∠APD的度数为_____，图③中∠APD的度数为_______．
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

9．（2006，南京）有矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图①），AF=，求DE的长；
（2）如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G（如图②），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．

10．（2006，绵阳）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足为E、F，如图①．（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论．
（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．

11．（2006，陕西）如图，D为ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．
（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；
（2）求证：∠MAE=∠NCF．

12．（2006，温州）如图，在ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB交BC于M，PN∥AD交DC于N．连结AM，设AP=x．
（1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由．
（2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等？

13．（2006，陕西）观察如图所示网格中的图形，解答下列问题：
（1）将网格中左图沿水平方向向右平移，使点A移至点A′处，作出平移后的图形；
（2）（1）中作出的图形与右边原有的图形组成一个新的图形，这个新图形是中心图形还是轴对称图形？

14．（2006，陕西）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子，另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．
（1）求FC的长．
（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm2）最大？最大面积是多少？
（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长．

① ②

15．（2006，广安）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是底边BC的中点，连结AE、DE，求证：△ADE是等腰三角形．

16．（2006，重庆）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．
（1）求证：DC=BC；
（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值．

17．如图①所示，有一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图②所示）．将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移．在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、B2C2分别交于点F、P．
（1）当△AC1D1平移到如图③所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围．
（3）对于（2）的结论是否存在这样的x的值，使得重叠部分面积为△ABC面积的？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

18．（2006，上海市）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE=GF=GC．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形．
（2）当∠FGC=2∠EFB时，求证：四边形AEFG是矩形．

题型5 中考新题型
1．下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的图形是_______．（请填图形下面的代号）．

2．（2006，浙江）小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）

3．（2006，海淀区）在5×5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是（ ）

A．先向下移动1格，再向左移动1格
B．先向下移动1格，再向左移动2格
C．先向下移动2格，再向左移动1格
D．先向下移动2格，再向左移动2格
4．（2006，温州）如图，在边长为1的正方形网格中，按下列方式得到“L”形图形，第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是12，则第n个“L”形图形的周长是________．

5．（2006，广州）下图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF，从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B→D→A→E，路线2是B→C→F→E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．

6．（ 2006，浙江）现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一次操作），如图①（虚线表示折痕）．除图①外，请你再给出三种不同的操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作，如图①和图②表示相同的操作）．

7．（2006，浙江台州）善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形，他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？
问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊梯形入手探究．假设梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位线（如图①），根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似？
（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形_______（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明）．
问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？
（1）从特殊平行线入手探究，梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形________（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明）．
（2）从特殊梯形入手探究．同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P、Q在梯形的两腰上，如图②），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由．
（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定_______（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似．若存在，则确定这条平行线位置的条件是=________（不妨设AD=a，BC=b，AB=c，CD=d，不要求证明）．

① ② ③

8．（2006，晋江）如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．
（1）当点P运动2s时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
（2）当点P运动2s时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以1cm/s的速度匀速运动（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动），过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为ts（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）．
①求S关于t的函数关系式；②求S的最大值．

【热点试题详解】
题型1
1．6 点拨：（n-2）·180°=360°×2，解得n=6．
2．4 点拨：设S△ABC=S，
则S1=S△ABC -2S△BMF =S-2×S=S，
S2=S-S-S=S，
S3=4S-2S=2S．
∵S1+S3=10，即S+2S=10，
解得S=4．
∴S2=S=4．
3．答案不唯一，如①AD∥BC，②AB=CD，③∠A+∠B=180°，④∠C+∠D=180°等．
4．C 5．B 6．C
7．D 点拨：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∴∠NDC=∠NMB．
∵∠NDC=∠MDA，∴∠NMB=∠MDA，
∴AD=AM．
∴ABCD的周长=2AD+2AB=2（AM+AB）=2BM=12．
8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF．
9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．
∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）．
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°（垂直定义）．
∴∠ABE=∠CDF（等角的余角相等）．
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）．
10．证明：如图，

∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠1=∠2．
又∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF．
∴BE=DF．
11．证明：（1）ABCD中，
AD=CB，AB=CD，∠D=∠B．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴DF=CD，BE=AB，
∴DF=BE．
∴△AFD≌△CEB．
（2）在ABCD中，AB=CD，AB∥CD．
由（1）得BE=DF，∴AE=CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
12．解：（1）CF；（2）CF=AE；
（3）证明：∵ABCD是平行四边形（已知），
∴ADCB（平行四边形的对边平行且相等）．
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）．
∴∠ADE=∠CBF（等角的补角相等）．
在△CBF和△ADE中，
∴△CBF≌△ADE（SAS）．
∴CF=AE（全等三角形的对应边相等）．
题型2
1．答案不唯一，如AC=BD或∠BAD=90°，
2．C 3．C
4．D 点拨：∵EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=4，
∴ABCD的周长=4BC=16．
5．B 点拨：∠EMF=∠EMB′+∠FMB′
=∠BMC′+∠CMC′=×180°=90°．
6．C 点拨：S菱形=×6×8=24（cm2）．
7．D 8．D 9．D 10．A
11．答案不唯一，如AE=CF或DE=BF或BE∥DF等．
12．C
13．证明：∵四边形ABCD、EFGC是正方形，
∴∠ECB=∠GCD=90°，BC=DC，EC=GC，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE=DG．
14．证明：∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°．
∵ABCD是平行四边形，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF．
∴AE=CF，∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
又EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
15．证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，
∵AH⊥BE，∴∠AHB=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠DAF=∠ABE．
在△ADF与△BAE中，
∴AE=DF，
∴AD-AE=CD-DF，即DE=CF．
16．解：如图．

17．（1）证明：∵AF∥CE，
∴∠FAD=∠ECD．
在△ADF和△CDE中，
∴△ADF≌△CDE．
∴AF=CE．
（2）解：∵AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∵AC=EF，
∴四边形AFCE是矩形．
题型3
1．100°，80°，80° 2．①③④
3．21，25，4n+1 4．D
5．A 点拨：选项A，=3；
选项B，应为等腰梯形同一底上的两个角相等；
选项C，应为过直线一点；
选项D，应为两条平行直线．
6．C 点拨：∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
7．B 点拨：等边三角形、正五边形、等腰梯形仅是轴对称图形．
8．D 点拨：EM=FN=（EF-MN）=5cm，CD=2EM=10cm，
AB+CD=2EF=36cm，
∴AB=36-CD=26cm．
9．B 点拨：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∵CA平分∠BCD，∴∠ACD=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD=5．
10．A
11．B 点拨：如图，过点D作DE∥AB，交BC于E，

则△DEC是等边三角形，∴∠C=60°．
12．（1）证明：∵AD∥BC，AB=DC=AD，
∴ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD=∠ADC=120°，
∠ADB=∠ABD=（180°-∠BAD）=30°．
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=90°，
∴BD⊥DC．
（2）解：过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥BC于F．
在Rt△DCE中，DC=AB=4，∠C=60°，
∴DE=DC·sinC=4sin60°=2，
∴BC=2CE+EF=2×2+4=8．
∴S梯形ABCD=×（4+8）×2=12．
题型4
1．A
2．C 点拨：每一个重叠部分的面积为正方形面积的．
3．解：∵矩形MFGN∽矩形ABCD，
∴，
∵AB=2AD，MN=x，
∴MF=2x．
∴EM=EF-MF=10-2x．
∴S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2（x-）2+．
∴当x=时，S有最大值为．
4．解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，
则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4），
易知CN=4-x，EM=4-y．
且有．
即=，∴y=-x+5．
S=xy=-x2+5x（2≤x≤4）．
此二次函数的图象开口向下，
对称轴为x=5．
∴当x≤5时，函数值是随x的增大而增大，
对2≤x≤4来说，当x=4时，S有最大值，
S最大=-×42+5×4=12．
5．解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴△AMD∽△BMC，
∵AD=10，BC=20，．
∵S△AMD=500÷10=50（平方米），
∴S△BMC=200平方米．
还需要资金200×10=2 000（元），
而剩余资金为2 000-500=1 500（元）<2 000（元），
∴资金不够用．
6．解：（1）图形略．
（2）图形略．
（3）A″（-3，-4），B″（-1，-1），C″（-3，-1）．
∵A″C″=3，B″C″=2，
∴A″B″==．
∴△A″B″C″的周长为
A″C″+B″C″+A″B″=5+．
7．（1）证明：根据题意可得：
CD=C′D，∠C′DE=∠CDE，CE=C′E，
∵AD∥BC，∴∠C′DE=∠CED．
∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE，
∴CD=C′D=C′E=CE，
∴四边形CDC′E为菱形．
（2）解：当BC=CD+AD时，四边形ABED为平行四边形，
理由：（1）知CE=CD，
又∵BC=CD+AD，∴BE=AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形．
8．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°．
∵BE=CD，∴△ABE≌△BCD．
∴∠BAE=∠CBD．
∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°．
（2）90°，108°．
（3）能．点E、D分别是正n边形ABCM中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，BD与AE交于点P，则∠APD的度数为．
9．解：（1）在矩形ABCD中，
AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°，
根据轴对称的性质，得EF=AF=，
∴DF=AD-AF=．
在Rt△DEF中，DE==．
（2）如图，设AE与FG的交点为O，

根据轴对称的性质，得AO=EO．
取AD的中点M，连结MO．
则MO=DE，MO∥DC，
设DE=x，则MO=x．
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°．
∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心，
延长MO交BC于点N，则ON∥CD，
∴∠CNM=180°-∠C=90°，
∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形，
∴MN=CD=AB=2，
∴ON=MN-MO=2-x．
∵△AED的外接圆与BC相切，
∴ON是△AED的外接圆的半径，
∴OE=ON=2-x，
∴AE=2ON=4-x．
在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，
∴12+x2=（4-x）2，
解这个方程，得x=．
∴DE=，OE=2-x=．
根据轴对称的性质，得AE⊥FG，
∴∠FOE=∠D=90°．
又∵∠FEO=∠AED，
∴△FEO∽△AED，
∴·AD．
可得FO=．
又AB∥CD，
∴∠EFO=