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2010届惠州市高三艺术生模拟考试数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
若锥体的底面积为，高为，则锥体的体积为
第一部分 选择题(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设，则＝（ ）
A． B． C． D．
2．已知是实数，是纯虚数（是虚数单位），则=（ ）
A．1 B．－1 C． D．－
3. 已知是互相垂直的单位向量， =+，=-2，并且，垂直，则（ ）.
A.=1 B.=2 C.=3 D.=4
4. 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
5. 设P是椭圆上一点， F1、F2分别是椭圆的两个焦点，若，则( )
A．1或5 B．６ C ．3 D．9
6. 已知、满足约束条件，则的最小值为（ ）．
A．0 B． C ．2 D．4
7．在等差数列中，，则的值为 （ ）
A．24 B．22 C．20 D．－8
8.将函数的图象向左平移个单位，得到的图象（），则等于( ).
A． B． C． D．
9. ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（ ）
Ａ． Ｂ．
俯视图
主视图
侧视图
Ｃ． Ｄ．
10．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图
与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图
轮廓为正方形，则此几何体的表面积是（ ）
A．12 B．
C． D．8
第二部分 非选择题(共100分)
否
否
开始
输入x
是
是
输出
结束
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11～13题）
11. 曲线在点处的切线的倾斜角为 .
12．运行右边算法流程，若输入2时，输出的值为___________ .
13．已知函数，则 .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题,）
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，
圆的圆心的极坐标是 ．
15.（几何证明选讲选做题）如图，⊙中，
是圆内接四边形，∠，
则∠BDC的度数是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间.
17. (本小题满分14分)
已知四棱锥中, 底面是边长为1的正方形, 侧棱底面，且，是侧棱上的动点.
(1) 求四棱锥的体积；
(2) 若是的中点，求证：∥平面
.s.5.u.c.o.m (3) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论．
18、（本题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）求函数的极值.
19．（本题满分14分）
某单位为了解职工的睡眠情况，从中抽取40名职工作为样本进行调查.调查的数据整理分组如下表示：
睡眠时间
（单位：小时）
频 数
2
6
12
8
频 率
0．20
（1）将以上表格补充完整，
（2）在给定的坐标系内画出样本的频率分布直方图；
（3）若按下面的方法在样本中从睡眠不足6小时的职工中抽取一人：把睡眠不足6小时的8人从2到9进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到5或8号的概率.
20．（本小题满分14分）
设等比数列的前项和为, 公比， 已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和。
21.（本小题共14分）高考资源网
已知双曲线的离心率为，实轴长为2.
（1）求双曲线C的方程；。
（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.
2010届惠州市高三艺术生模拟考试（数学）参考答案
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
Ｂ
Ｂ
B
Ｃ
Ｂ
Ｃ
C
Ｂ
A
二、填空题：
11、 45° 12、4 13、
14. 15.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.解：(1)
…………………… 2分
…………………… 5分
所以函数的最小正周期为. ………………… 7分
(2)由(1)
令， ………………… 9分
得 ………………… 11分
所以函数的单调递增区间是. …………… 12分
17.(1) ∵四棱锥的底面是边长为1的正方形，
侧棱底面，且.
∴,
即四棱锥的体积为. ………………… 4分
(2) 连结交BD于O，再连OE
∵是正方形
∴是的中点 ………………… 5分
又是的中点
∴ ……………… 6分
∴ ………………… 9分
(3)不论点在何位置，都有. ………………… 10分
证明：∵是正方形
∴.
∵底面且平面
∴. …………………… 12分
又∵,AC、PC平面
∴平面. …………………… 13分
∵不论点在何位置，都有平面.
∴不论点在何位置，都有. ………………… 14分
18.解:（1）由 得
…………… 2分
当
…………… 4分
当
即函数 …………… 6分
（2）令 …………… 7分
(－∞,－1)
－1
(－1,3)
3
(3,+ ∞)
+
0
—
0
+
↗
↘
—9
↗
…………… 11分
∴当
当 …………… 12分
19．解：（1）见下表： …………………… 4分
睡眠时间
（单位：小时）
频 数
2
6
8
12
8
4
频 率
0.05
0.15
0.20
0.30
0.20
0.10
(2) 样本的频率分布直方图如下图示 …………………… 9分
（3）设“抽到5或8号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）.
所有的基本事件有（1,1）,（1,2）,（1,3）, (1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…,（6,6），共36个.事件A包含的基本事件有：（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），（2,6），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2）共9个 …………………… 11分
…………………… 14分20.解:
(1), ∴ …………………… 2分
又 ∴ …………………… 4分
∴ …………………… 6分
(2)由(1) ∴
∴ ①
∴ ②
…………………… 9分
①－② 得:
…………………… 13分
∴ ……………………14分
21.（1）由题意,得
∴所求双曲线的方程为. …………………… 6分
(2)设A,B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，
由得 …………………… 8分
∴, …………………… 9分
∵点在圆上，∴，
解得: ……………………12分 ……………………13分
∴. ……………………14分
用心 爱心 专心
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