九年级上《第22章二次函数》导学案.docx

第22章 二次函数
22.1.1二次函数
一.阅读教科书
二.学习目标:1.知道二次函数的一般表达式;2.会利用二次函数概念分析解题;3.列二次函数表达式解实际问题.
三.知识点:
一般地,形如______________的函数,叫做二次函数。其中x是________,a是_______,b是_______,c是_____.
四.基本知识练习
1.观察:①y＝6x2;②y＝－x2＋30x;③y＝200x2＋400x＋200.这三个式子中,虽然函数有一项的,两项的或三项的,但自变量的最高次项的次数都是____次.一般地,如果y＝ax2＋bx＋c(a.b.c是常数,a≠0),那么y叫做x的__.
2.函数y＝(m－2)x2＋mx－3(m为常数).1)当m_____时,该函数为二次函数; 2)当m_______时,该函数为一次函数.
3.下列函数表达式中,哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数,请指出各项对应项的系数.
(1)y＝1－3x2 (2)y＝3x2＋2x (3)y＝x (x－5)＋2 (4)y＝3x3＋2x2 (5)y＝x＋
五.课堂训练
1.y＝(m＋1)x－3x＋1是二次函数,则m的值为_________________.
2.下列函数中是二次函数的是( ) A.y＝x＋ B. y＝3 (x－1)2 C.y＝(x＋1)2－x2 D.y＝－x
3.一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s＝5t2＋2t,则当t＝4秒时,该物体所经过的路程为
A.28米 B.48米 C.68米 D.88米
4.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________.
5.已知y与x2成正比例,并且当x＝－1时,y＝－3.
求:(1)函数y与x的函数关系式;(2)当x＝4时,y的值;(3)当y＝－时,x的值.
6.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住(如图).若设绿化带的BC边长为x m,绿化带的面积为y m2.求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
六.目标检测
1.若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数,则( ) A.a＝1 B.a＝±1 C.a≠1 D.a≠－1
2.下列函数中,是二次函数的是( ) A.y＝x2－1 B.y＝x－1 C.y＝ D.y＝
3.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.
4.已知二次函数y＝－x2＋bx＋3.当x＝2时,y＝3,求 这个二次函数解析式.

22.1.2二次函数y＝ax2的图象与性质
一.阅读课本
二.学习目标:1.知道二次函数的图象是一条抛物线;
2.会画二次函数y＝ax2的图象;3.掌握二次函数y＝ax2的性质,并会灵活应用.
三.探索新知:
画二次函数y＝x2的图象.【提示:画图象的一般步骤:①列表(取几组x.y的对应值;②描点(表中x.y的数值在坐标平面中描点(x,y);③连线(用平滑曲线).】
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…

…
列表:

描点,并连线

图象可得二次函数y＝x2的性质:
1.二次函数y＝x2是一条曲线,把这条曲线叫做______________.
2.二次函数y＝x2中,二次函数a＝_______,抛物线y＝x2的图象开口__________.
3.自变量x的取值范围是____________.
4.观察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y值相等,所描出的各对应点关于________对称,从而图象关于___________对称.
5.抛物线y＝x2与它的对称轴的交点( , )叫做抛物线y＝x2的___.因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_
6.抛物线y＝x2有____________点(填“最高”或“最低”) .
四.例题分析
例1.在同一直角坐标系中,画出函数y＝x2,y＝x2,y＝2x2的图象.
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝x2
…

…
解:列表并填:

x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y＝2x2
…

…
y＝x2的图象刚画过,再把它画出来.
归纳:抛物线y＝x2,y＝x2,y＝2x2的二次项系数a_______0;顶点都是__________;对称轴是_________;顶点是抛物线的最_________点(填“高”或“低”) .
例2.请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2,y＝－x2, y＝－2x2的图象.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y＝x2
…

…
列表:

x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=－x2
…

…

x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝－2x2
…

…
归纳:抛物线y＝－x2,y＝－x2, y＝－2x2的二次项系数a______0,顶点都是________,对称轴是___________,顶点是抛物线的最________点(填“高”或“低”) .
五.理一理:1.抛物线y＝ax2的性质

图象(草图)
开口方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
a＞0

当x＝____时,y有最___值,是______.
a＜0

当x＝____时,y有最____值,是______.
2.抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称,因此,抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______对称,开口大小______.
3.当a＞0时,a越大,抛物线的开口越___________; 当a＜0时,｜a｜ 越大,抛物线的开口越_________;
因此,｜a｜越大,抛物线的开口越________,反之,｜a｜ 越小,抛物线的开口越________.
六.课堂训练

开口方向
顶点
对称轴
有最高或低点
最值
y＝x2

当x＝____时,y有最_____值,是______.
y＝－8x2

1填表:
2.若二次函数y＝ax2的图象过点(1,－2),则a的值是___________.
3.二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下,则m____________.
4.如图,①y＝ax2②y＝bx2③y＝cx2④y＝dx2比较a.b.c.d的大小,用“＞”连接.__________
七.目标检测
1.函数y＝x2的图象开口向_______,顶点是_____,对称轴是____,当x＝____时,有最___值是_____.
2.二次函数y＝mx有最低点,则m＝_____.3.二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示,则k的取值范围为_____.
4.写出一个过点(1,2)的函数表达式_________________.
22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
一.阅读课本:
二.学习目标:1.会画二次函数的顶点式y＝a (x－h)2＋k的图象;2.掌握二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质;
3.会应用二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质解题.
三.探索新知:
画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象,指出它的开口方向.对称轴及顶点.最值.增减性.
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
y＝－(x＋1)2－1
…

…
列表:

由图象归纳:
1.函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y＝－(x＋1)2－1

2.把抛物线y＝－x2向____平移_____个单位,再向____平移_______个单位,就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1.

y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a (x-h)2
y＝a (x－h)2＋k
开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性(对称轴右侧)

四.理一理知识点

2.抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2形状___________,位置________________.
五.课堂练习
1.
y＝3x2
y＝－x2＋1
y＝(x＋2)2
y＝－4 (x－5)2－3
开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性(对称轴左侧)

2.y＝6x2＋3与y＝6 (x－1)2＋10_____________相同,而____________不同.
3.顶点坐标为(－2,3),开口方向和大小与抛物线y＝x2相同的解析式为( )
A.y＝(x－2)2＋3 B.y＝(x＋2)2－3 C.y＝(x＋2)2＋3 D.y＝－(x＋2)2＋3
4.二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________.
5.将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析式为____________.
6.若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上,且x＝1时,y＝－3,求a.k的值.
7.若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A’的坐标为______________.
六.目标检测
1.
开口方向
顶点
对称轴
y＝x2＋1

y＝2 (x－3)2

y＝－ (x＋5)2－4

2.抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中,当x＝_______时,y有最________值是________.
3.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化,这一过程可近似地用下列哪幅图表示( )

A B C D
4.将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为______________.
5.一条抛物线的对称轴是x＝1,与x轴有唯一的公共点,且开口方向向下,则这条抛物线的解析式为_.(任写一个)

22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质1
一.阅读课本:
二.学习目标:1.配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标.对称轴;
2.熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式; 3.会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象.
三.探索新知:
1.求二次函数y＝x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴.(解:将函数等号右边配方:y＝x2－6x＋21)
2.画二次函数y＝x2－6x＋21的图象.(解:y＝x2－6x＋21配成顶点式为_______________________.)
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
y＝x2－6x＋21
…

…
列表:

3.用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点与对称轴.
四.理一理知识点:

y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a(x－h)2
y＝a(x－h)2＋k
y＝ax2＋bx＋c
开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性(对称轴左侧)

五.课堂练习
1.用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标. 2.用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标.
3.二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(1,－2),则b＝________,c＝_________.
4.已知二次函数y＝－2x2－8x－6,当________时,y随x的增大而增大;当x＝________时,y有______值是_____.
六.目标检测:1.用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝x2－2－1的顶点坐标.
2.二次函数y＝－x2＋mx中,当x＝3时,函数值最大,求其最大值.
22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质2
一.复习知识点:
二.学习目标:
1.懂得二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴.y轴的交点的方法；2.知道二次函数中a,b,c以及△＝b2－4ac对图象的影响.
三.基本知识练习
1.求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为_______________,与x轴的交点坐标____________.
2.二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______________,对称轴为______________.
3.一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝______________.
4.二次函数y＝x2＋bx过点(1,4),则b＝________________.
5.一元二次方程y＝ax2＋bx＋c(a≠0),△＞0时,一元二次方程有_______________,
△＝0时,一元二次方程有___________,△＜0时,一元二次方程_______________.
四.知识点应用
1.求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点(含y＝0时,则在函数值y＝0时,x的值是抛物线与x轴交点的横坐标).
例1 求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标.
2.求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点(含x＝0时,则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标).
例2 求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标. 3.a.b.c以及△＝b2－4ac对图象的影响.
(1)a决定:开口方向.形状 (2)c决定与y轴的交点为(0,c)
(3)b与－共同决定b的正负性 (4)△＝b2－4ac
例3 如图,由图可得:a_______0,b_______0,c_______0,△______0
例4 已知二次函数y＝x2＋kx＋9.
① 当k为何值时,对称轴为y轴；
②当k为何值时,抛物线与x轴有两个交点；
③当k为何值时,抛物线与x轴只有一个交点.
五.课后练习
1.求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________,与y轴的交点坐标为_______.
2.抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上,则m＝__________.
3.如图:由图可得: a_______0,b_______0,c_______0,△＝b2－4ac______0
六.目标检测:1.求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________.
2.若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点,求m的范围.
3.如图:由图可得:a _________0, b_________0,　c_________0,　△＝b2－4ac_________0
22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质3
一.阅读教科书:P15的探究
二.学习目标:几何问题中应用二次函数的最值.
三.课前基本练习
1.抛物线y＝－(x＋1)2＋2中,当x＝___________时,y有_______值是__________.
2.抛物线y＝x2－x＋1中,当x＝___________时,y有_______值是__________.
3.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,当x＝___________时,y有_______值是__________.
四.例题分析:(P15的探究)
用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化,当l是多少时,场地的面积S最大？
五.课后练习
1.已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最大值是多少？
2.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式是h＝30t－5t2.小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
3.如图,四边形的两条对角线AC.BD互相垂直,AC＋BD＝10,当AC.BD的长是多少时,四边形ABCD的面积最大？

4.一块三角形废料如图所示,∠A＝30°,∠C＝90°,AB＝12.用这块废料剪出一个长方形CDEF,其中,点D.E.F分别在AC.AB.BC上.要使剪出的长方形CDEF面积最大,点E应造在何处？

六.目标检测
如图,点E.F.G.H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形.当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小？

22.2 二次函数与一元二次方程
一.阅读课本:
二.学习目标:1.知道二次函数与一元二次方程的关系.
2.会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数.
三.探索新知
1.问题:如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h＝20t－5t2.
考虑以下问题:(1)球的飞行高度能否达到15m？如能,需要多少飞行时间？
(2)球的飞行高度能否达到20m？如能,需要多少飞行时间？
(3)球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
(4)球从飞出到落地要用多少时间？
2.观察图象:
(1)二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点,则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0;
(2)二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有_ __个交点,则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_____0;
(3)二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点,则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0.
四.理一理知识
1.已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值.
一般地:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m.反之,解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac.
(1)当△＝b2－4ac＞0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;
(2)当△＝b2－4ac＝0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点;
(3)当△＝b2－4ac＜0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点.
五.基本知识练习
1.二次函数y＝x2－3x＋2,当x＝1时,y＝________;当y＝0时,x＝_______.
2.二次函数y＝x2－4x＋6,当x＝________时,y＝3.
3.如图,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________
4.如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________
5.如图填空:(1)a________0 (2)b________0
(3)c________0 (4)b2－4ac________0
六.课堂训练
1.特殊代数式求值:
①如图看图填空: (1)a＋b＋c_______0
(2)a－b＋c_______0 (3)2a－b _______0
②如图2a＋b _______0 4a＋2b＋c_______0
2.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________;
(2)方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________;
(3)方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________;
(4)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________;
(5)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________;
(6)不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________.
七.目标检测
根据图象填空:
(1)a_____0;(2)b_____0;(3)c______0;
(4)△＝b2－4ac_____0;(5)a＋b＋c_____0;
(6)a－b＋c_____0;(7)2a＋b_____0;
(8)方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________;
(9)当y＞0时,x的范围为___________;
(10)当y＜0时,x的范围为___________;
八.课后训练
1.已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上,则k＝____________.
2.已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点,则k的取值范围___________.
3.已知函数y＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,且a≠0)的图象如图所示,则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是(
A.有两个不相等的正实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等实数根 D.无实数根
4.如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象,在下列说法中:
①ac＜0;②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1,x2＝3;③a＋b＋c＞0;
④当x＞1时,y随x的增大而增大.正确的说法有__________________(把正确的序号都填在横线上).

22.3 实际问题与二次函数1
一.阅读课本:
二.学习目标:1.懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2.会应用二次函数的性质解决问题.
三.探索新知
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件；每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大？
分析:调整价格包括涨价和降价两种情况,用怎样的等量关系呢？
解:(1)设每件涨价x元,则每星期少卖_________件,实际卖出_________件,设商品的利润为y元.
(2)设每件降价x元,则每星期多卖_________件,实际卖出__________件.
四.课堂训练
1.某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100－x)件,应如何定价才能使利润最大？
2.蔬菜基地种植某种蔬菜,由市场行情分析知,1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x(月份)与市场售价P(元/千克)的关系如下表:
上市时间x/(月份)
1
2
3
4
5
6
市场售价P(元/千克)
10.5
9
7.5
6
4.5
3

这种蔬菜每千克的种植成本y(元/千克)与上市时间x(月份)满足一个函数关系,这个函数的图象是抛物线的一段(如图).
(1)写出上表中表示的市场售价P(元/千克)关于上市时间x(月份)的函数关系式；
(2)若图中抛物线过A.B.C三点,写出抛物线对应的函数关系式；
(3)由以上信息分析,哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？
最大值为多少？(收益＝市场售价－种植成本)

五.目标检测
某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空间.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定介增加x元,求:
(1)房间每天入住量y(间)关于x(元)的函数关系式；
(2)该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数关系式；
(3)该宾馆客房部每天的利润w(元)关于x(元)的函数关系式,当每个房间的定价为多少元时,w有最大值？最大值是多少？
22.3实际问题与二次函数2
一.阅读课本:第27页探究3
二.学习目标:1.会建立直角坐标系解决实际问题;2.会解决桥洞水面宽度问题.
三.基本知识练习
1.以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时,可设这条抛物线的关系式为___________.
2.拱桥呈抛物线形,其函数关系式为y＝－x2,当拱桥下水位线在AB位置时,水面宽为12m,这时水面离桥拱顶端的高度h是( )
A.3m B.2m C.4m D.9m
3.有一抛物线拱桥,已知水位线在AB位置时,水面的宽为4米,水位上升4米,就达到警戒线CD,这时水面宽为4米.若洪水到来时,水位以每小时0.5米的速度上升,则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？
四.课堂练习
1.一座拱桥的轮廓是抛物线(如图①所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②所示),其关系式y＝ax2＋c的形式,请根据所给的数据求出a.c的值;
(2)求支柱MN的长度;
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
图①

2.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式.
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1h时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行).试问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥？若能,请说明理由.若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米？