第五章第4讲数列求和.doc

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学案5.4　数列求和
基础知识梳理
1．等差数列的前n项和公式
Sn＝＝na1＋d．
2．等比数列的前n项和公式
Sn＝
3．一些常见数列的前n项和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n．

1．辨明两个易误点
(1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．
(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
2．数列求和的常用方法
(1)倒序相加法：
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
(2)错位相减法：
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
(3)裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(4)分组求和法：
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．
(5)并项求和法：
一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

__分组法求和__________________________
例1(2014·高考湖南卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．

[规律方法]　1.分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
2．本题中求前2n项和转化为求数列{22n}与{(－1)nn}的和，在求{(－1)nn}的和时，又利用了并项求和法．
__错位相减法求和______________________
例2.(2015·浙江宁波高三模拟)设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝1，b1＝2，a2＋b3＝10，a3＋b2＝7.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，记cn＝·an，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.

[规律方法]　用错位相减法求和时，应注意：
(1)要善于识别题目类型， 特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
__裂项相消法求和(高频考点)____________
裂项相消法求和是每年高考的热点，题型多为解答题，难度适中，属中档题．
高考对裂项相消法的考查常有以下两个命题角度：
(1)求前n项和；
(2)比较大小或不等式证明．
例3.(2014·高考广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.

[规律方法]　1.解答本题利用了裂项相消法，而解答此题的关键是借助于放缩，即≤＝，即可相消．
2．利用裂项相消法求和应注意
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项；
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝.
课后达标检测
A 组
1．数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和为9，则n等于(　　)
A．9　　　　　　　　　 B．99
C．10 D．100
2．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，则数列的前10项的和为(　　)
A．120 B．100
C．75 D．70
3．(2015·山东济南期末)已知{an}为等差数列，a10＝33，a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S20－2S10等于(　　)
A．40 B．200
C．400 D．20
4．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为________．
B组
5．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5，则数列的前8项和为(　　)
A．－ B．－
C. D.
6．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________．