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导数问题的常见题型

导数问题的常见题型有：一、求曲线的切线方程；二、讨论函数的单调性；三、求函数的极值、最值；四、恒成立问题与存在性问题；五、与方程有关的问题；六、与函数图象的有关问题；七、证明不等式。
例1．设函数。
（1）当=1时，求的单调区间；
（2）若在上的最大值为，求的值.
解：对函数求导得：，定义域为（0，2）.
（1）当=1时，令，
当为增区间；当为减函数。
故的单调增区间是，减区间是.
（2）当时，>0，为增函数，。
例2.已知函数.
求的单调区间；
若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。
解：（1）
当时，对，有当时，的单调增区间为；
当时，由解得或；由解得，
故当时，的单调增区间为；单调减区间为.
（2）因为在处取得极大值，所以
所以由解得.
由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，
在处取得极小值.
因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，结合的单调性可知，的取值范围是.
例3．已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使
，求实数取值范围.

（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，
有，又已知存在，使，所以，，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。
例4.设函数．
（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．
解：(1) ,
因为,, 即 恒成立,
所以 , 得，即的最大值为.
(2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ;
所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ；
故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.
例5．设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求的取值范围．
【思路点拨】（Ⅰ）可以构造函数，利用导数单调性，求当时的最值证明不等式成立，
（Ⅱ）可结合（Ⅰ）的结论和方法证明，要注意对分类讨论.
解：（Ⅰ）当时，当且仅当.
令 ， 则
当时， 是增函数； 当时，是减函数；
于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当时，即
所以当x>-1时，
（Ⅱ）由题设 ，此时
当<0时，若，则 不成立；
当0时， 令，则.当且仅当.

⑴当时，由（Ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在是减函数，即
⑵当时，由⑴知x

当时，,所以h(x)>h(0)=0，即
综上，的取值范围是[0,.
例6.设函数,其中.
(I)当时,判断函数在定义域上的单调性；
(II)求函数的极值点.
解：(I) 函数的定义域为.
，
令，则在上递增，在上递减，
. 当时，，
在上恒成立.
即当时,函数在定义域上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：
（1）由（I）知当时函数无极值点.
（2）当时，，
时， 时，
时，函数在上无极值点。
（3）当时，解得两个不同解
，.
当时，，，

此时在上有唯一的极小值点.
当时，
在都大于0 ，在上小于0 ，
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点.
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