2010年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)(数学[文]).doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)

数　学

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁UA＝(　　)
A．{1,3}　　　　　　　B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
解析：U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}．由补集定义知：∁UA＝{3,9}．
答案：D
2．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则(　　)
A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1
C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3
解析：等式的两边同乘以a＋bi，整理得1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，
则∴a＝，b＝.
答案：A
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：，①－②得：3a3＝a4－a3,4a3＝a4，q＝＝4.
答案：B
4．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(　　)
A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)
B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)
C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)
D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：由题知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．
答案：C
5．如果执行右面的程序框图，输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于
(　　)
A．720 B．360
C．240 D．120
解析：k＝2，p＝12；k＝3，p＝60；k＝4，p＝360，k＝4时不满足k＜m，所以输出的p＝360.
答案：B
6．设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)
A. B. C. D．3
解析：由题意知k T＝k＝(k∈N*)，∴ω＝k，即ω的最小值为.
答案：C
7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)
A．4 B．8 C．8 D．16

解析：如图，由直线AF的斜率为－，得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，∴∠PAF＝60°.又由抛物线的定义知|PA|＝|PF|，∴△PAF为等边三角形，由|HF|＝4得|AF|＝8，∴|PF|＝8.
答案：B
8．平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则
△OAB的面积等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：cos 〈a，b〉＝，sin ∠AOB＝＝，所以S△OAB＝|a||b|sin ∠AOB＝.
答案：C
9．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：设双曲线方程为－＝1(a，b＞0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直关系得－·＝－1(－显然不符合)，即b2＝ac，
又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝(舍负)．
答案：D
10．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　)
A. B．10 C．20 D．100
解析：a＝log2m，b＝log5m，代入已知得logm2＋logm5＝2，即logm10＝2，所以m＝.
答案：A
11．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于(　　)
A．4π B．3π C．2π D．π

解析：如图，以SA，AB，BC为棱长构造长方体，得体对角线长为＝2R，所以R＝1，S＝4πR2＝4π.
答案：A
12．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(，) C．(，) D．[，π)
解析：y′＝－＝－.设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[，π)．
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．

解析：

基本事件总数为6，所含基本事件个数为2，所以所求的概率是P＝＝.
答案：
14．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
解析：由S3＝3，S6＝24，得解得所以a9＝a1＋8d＝15.
答案：15
15．已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．(答案用区间表示)
解析：设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，由待定系数法可得所以
z＝－(x＋y)＋(x－y)，

两式相加得z∈(3,8)．
答案：(3,8)

16．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
解析：由三视图得到直观图(如图)，从而最长的棱长是2.

答案：2
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
故cosA＝－，又A∈(0，π)，故A＝120°.
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.
又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝.
因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.
所以△ABC是等腰的钝角三角形．
18．(本小题满分12分)
为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表

疱疹面积
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
频数
30
40
20
10

表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
频数
10
25
20
30
15

(1)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

(2)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
表3：

疱疹面积小于70 mm2
疱疹面积不小于70 mm2
合计
注射药物A
a＝
b＝

注射药物B
c＝
d＝

合计

n＝

附：K2＝
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

解：(1)

从频率分布直方图中可以看出注射药物A后皮肤疱疹面积的中位数在65至70之间 ，而注射药物B后皮肤疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．
(2)表3：

疱疹面积小于70 mm2
疱疹面积不小于70 mm2
合计
注射药物A
a＝70
b＝30
100
注射药物B
c＝35
d＝65
100
合计
105
95
n＝200

K2＝≈24.56.
由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
19．(本小题满分12分)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．
解：(1)证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1.
又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1.又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
(2)如图，设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．
因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE.
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．
即A1D∶DC1＝1.
20．(本小题满分12分)
设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
解：(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，
故c＝2.
所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＜0，y2＞0，
直线l的方程为y＝(x－2)．
联立，得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
因为＝2，所以－y1＝2y2.
即＝2·，
得a＝3.而a2－b2＝4，所以b＝.
故椭圆C的方程为＋＝1.
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，
|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
解：(1)由题知f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，故f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)，在(0，＋∞)上单调递减；
当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝.则当x∈(0，)时，f′(x)＞0；
x∈( ，＋∞)时，f′(x)＜0.故f(x)在(0，)上单调递增，
在( ，＋∞)上单调递减．
(2)证明：不妨假设x1≥x2.由(1)知当a≤－2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，
即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.
令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4＝.
于是g′(x)≤＝≤0.
从而g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故g(x1)≤g(x2)，
即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2，
故对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．
解：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.
故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE.
又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.
则sin ∠BAC＝1，又∠BAC为三角形的内角，所以∠BAC＝90°.
23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解：(1)由已知，M点的极角为，且M的极径等于，
故点M的极坐标为(，)．
(2)M点的直角坐标为(，)，A(1,0)，故直线AM的参数方程为
(t为参数)．
24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
证明：法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
＋＋≥3(abc)－，
所以(＋＋)2≥9(abc)－.②
故a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立，即当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．
法二　因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，
c2＋a2≥2ac，
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①
同理＋＋≥＋＋.②
故a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．