2014届四川省高中毕业班联考诊断测试(二)理科数学试题及答案.doc

四川省高中2014届毕业班联考诊断测试（二）
数学（理工农医类）
第I卷（选择题 共50分）
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意。
1. 设集合，，则
A. B.
C. D.
2. 已知是虚数单位，则
A. B. C. D.
3. 某中学进行模拟考试有80个考室，每个考室30个考生，每个考试座位号按1~30号随机抽取试卷进行评分标准，每个考场抽取座位号为15号考生试卷质检，这种抽样方法是
A.简单随机抽样 B.系统抽样
C.分层抽样 D.分组抽样
4. 双曲线的离心率为
A. B.
C. D.
5.仔细观察右边的程序框图，则输出的值等于
A. B.
C. D.
6. 一几何体在空间直角坐标系中，其顶点坐标,,,,,,，则几何体D的外接球的表面积是
A. B. C. D.

7. 一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
8. 设若直线与圆相切，则的取值范围是
A. B.
C D.
9. 已知函数，若，则的取值范围是
A. B. C. D.
10. 给出下列5个命题：①函数的值域为；②函数的图像可以由函数的图像向左平移个单位得到；③已知角构成公差为的等差数列，若，则；④函数的零点个数为1；⑤若△ABC的三边满足，则△ABC必为锐角三角形，其中正确的命题个数是
A.2 B.3 C.4 D.5.

第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。
11.若，则函数的单调递减区间是___.
12.已知，则向量与向量的夹角是________.
13.若，则________.
14.设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为AB的中点，则 △ .
15.若曲线存在垂直轴的切线，则实数的取值范围是 △ .
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明和证明或推算过程。
16. （本小题满分12分）
设等差数列的前项和为，满足,,递增的等比数列中，满足.
（I）求数列、的通项公式；
（II）设，试比较的大小.

17. （本小题满分12分）
在△ABC中，为内角的对边，且有.
（I）若，求；
（II）求的取值范围.

18. （本小题满分12分）
天府新区的战略定位是以城乡一体化、全面现代化、充分引进国际化为引领，并以现代制造业为主，高端服务业集聚，宜业宜商宜居的国际化现代新城区，为引进优秀厂家，某企业对16家厂家根据地域分为两组，分别由A、B两组评委对各项指标进行综合评比打分，两个组队对16家厂家评比最后综合得分的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，若某厂家总和得分高于16家厂家的平均分则确定为优秀厂家.
（I）若在确定为优秀厂家的厂家中随机抽取2家进行复查，求抽取的2家进行复查的分别是A、B组评定出的优秀厂家各1个的概率；
（II）若从A、B两组评定出确定为优秀厂家中随机选取3家人户，记选取的3家来自B组评定出的优秀厂家数为，求随机变量的分布列和数学期望.

19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，点M在线段PC上，MC=2PM.
（I）求证：PA∥平面MQB；
（II）若平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.

20. （本小题满分13分）
已知椭圆：上的顶点为，离心率为.
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线交椭圆于点B,C两点（点B在点C的左侧），点D在椭圆上，且满足
（为实数），求的最大值以及对应点D的坐标.

21. （本小题满分14分）
已知函数在处取得最大值，.
（I）求函数的解析式；
（II）如果当时，判断函数的单调性，并求出函数的最值；
（III）求证：.

四川省高中2014届毕业班联考诊断测试（二）
数学（理科类）参考答案及评分意见
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题:（每小题5分，共50分）
1.D; 2.A; 3.B; 4.C; 5.B; 6.A; 7.B; 8.C; 9.D; 10.C
第II卷（非选择题 共100分）
二、 填空题：（每小题5分，共25分）
11.; 12.； 13.; 14.； 15.或
三、 解答题：（75分）
16.解：（I）由题意得：在等差数列中，.....①
......②；联立①②解出，
所以；在数列中，.......4分
因为是递增数列；所以，而；所以
所以数列的通项公式为；通项公式为.......6分
（II）由（I）得，
而，图像如右所示：
显然①当时，，所以.
②时，或，所以
...............................................12分
17. 解：（I）由题意得：；整理化简得：
；即，在△ABC中，
∴；由余玄定理得：；带入数据:...6分
（II）因为
整理得：；因为，
可令；所以
函数如右图所示：
所以 ..........................................................12分
18. 解：（I）由题意得：
符合满足上述条件的优秀厂家数：7个；其中A组4个，B组3个；
∴抽取的两家评出的优秀厂家个1个的概率为.........................................6分
（II）从题意中获知的取值可为0,1,2,3.发生对应事件的概率为
∴；；；

0
1
2
3

∴的分布列如下表：

∴....................................................12分
19. 解：（I）证明：连接AC交BQ予点N，连接MN，因为AQ∥BC，∴
而；∴,故在△PAC中，，而平面MQB
∴平面MQB................................5分
（II）因为PQ⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，所以PQ⊥平面ABCD.以Q为坐标原点，分别一QA,QB，QP所在的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.由，则;.
设平面MQB的方向量为，由;且⊥,⊥可得：
；令，得，
∴为平面MQB的一个方向量.
取平面ABCD的方向量为
则，故二面角大小为60°.........................12分
20. 解：（I）由题意得：在椭圆中，；且；，
∴；∴椭圆的方程为：...............................................4分
（II）将带入椭圆方程中得，∵B点在C点左侧；故,;而,∴；,设点，则因为，即；
整理：...............................7分
∴；令；则满足消去整理方程得：
，使满足；则；..10分
所以的最大值为；即时满足........11分
而所以.....................................13分
21. 解：（I）由题意得：；令，即；
∴当 ，；，；∴函数在处有极大值；
∴；函数解析式..........................................5分
（II）由（I）得，∴，令
发现当时，；∴函数在单调递增；
故存在最小值为：.............................................................................9分
（III）由（II）得恒成立，即
令，则，∴，
；叠加可得：
=（不等式性质传递性）
则...........................................................................12分
所以....................................................................14分

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